苏科版九年级数学上学期期中考点大串讲专题08等可能条件下的概率【考题猜想32题6种题型】(原卷版+解析)

专题08等可能条件下的概率（32题6种题型）一、根据概率公式计算概率（共3小题）1．（2023秋·江苏宿迁·九年级统考期末）在一个不透明的袋中装有2个白球、3个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同．（1）将袋中的球摇匀后，求从袋中随机摸出一个球是黑球的概率；（2）现在再将若干个黑球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋甲随机摸出一个球是黑球的概率是，请求出后来放入袋中的黑球的个数．2．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期末）一个不透明的口袋里有10个除颜色外形状大小都相同的球，其中有4个红球，6个黄球．(1)从中随机摸出一个球，则“摸到黑球”是事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；(2)若从中随机摸出一个球是红球的概率为，求袋子中需再加入几个红球？3．（2022秋·江苏南京·九年级校联考期末）计算:(1)抛掷一枚质地均匀的硬币1次，抛掷的结果是正面朝上的概率是．(2)抛掷一枚质地均匀的硬币3次，求在3次抛掷的结果中有且只有1次正面朝上的概率．二、已知概率求数量（共3小题）4．（2022秋·江苏淮安·九年级校考期末）不透明的口袋里装有红、黄两种颜色的小球（除颜色不同外，其它都相同），其中红球2个，现在从中任意摸出一个球，摸到黄球的概率为．（1）求袋中有几个黄球？（2）第一次摸出一个小球（不放回），第二次再摸出一个小球，请用树状图或列表法求两次摸出的都是红球的概率．5．（2022秋·江苏盐城·九年级校考期中）在一个暗箱中装有红、黄、白三种颜色的乒乓球（除颜色外其余均相同），其中白球、黄球各个，且从中随机摸出一个球是白球的概率是．(1)求暗箱中红球的个数；(2)先从暗箱中随机摸出一个球，记下颜色不放回，再从暗箱中随机摸出一个球，画树状图或列表求两次摸到的球颜色不同的概率．6．（2022秋·江苏盐城·九年级校考期末）不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色不同外，其它都一样），其中红球2个，蓝球1个，现在从中任意摸出一个红球的概率为．（1）求袋中黄球的个数；（2）第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的都是红球的概率．三、几何概率（共7小题）7．（2021秋·广东广州·九年级统考期末）如图，在正方形中，分别以为圆心，以正方形的边长为半径画弧，形成阴影部分的树叶图案（计算时取）．（1）求的长和阴影部分的面积；（2）若在正方形中随机撒一粒豆子，求豆子落在阴影区域内的概率（豆子落在弧上不计）8．（2022秋·江西吉安·九年级统考期末）如图，从一个大正方形中截去面积为3cm²和12cm²的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，求米粒落在图中阴影部分的概率．9．（2022秋·广东河源·九年级校考期末）“六一”儿童节期间，某商厦为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被平均分成16份），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准哪个区域，顾客就可以获得相应的奖品．颜色奖品红色玩具熊黄色童话书绿色彩笔小明和妈妈购买了125元的商品，请你分析计算：(1)小明获得奖品的概率是多少？(2)小明获得童话书的概率是多少？10．（2022秋·陕西安康·九年级统考期末）向如图所示的等边三角形区域内扔沙包（区域中每个小等边三角形除颜色外完全相同），沙包随机落在某个等边三角形内．(1)扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是________；(2)要使沙包落在图中阴影区域的概率为，还要涂黑几个小等边三角形？请说明理由．11．（2022秋·浙江衢州·九年级统考期末）童老师在教学《简单事件的概率》时，设计了一个“挑战自我”的环节，即挑战的同学从如图1所示的A，B，C，D四张图片中随机选取一张，老师点击该图片，显示挑战问题，挑战的同学思考并回答．(1)求第一位挑战的伟芳同学选取图片C的概率．(2)童老师点击图片C，显示如下问题：自由转动如图2所示的三色转盘一次，求事件“指针落在红色区域”的概率．伟芳同学思考后回答说“该事件的概率是”．你同意伟芳同学的回答吗？若不同意，请写出你的正确答案，并说明理由．(3)请你根据上述情境，编写一道与“简单事件的概率”这节内容相关的数学题，并写出参考答案．12．（2019秋·湖南长沙·九年级统考期中）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：顾客消费200元（含200元）以上，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折区域，顾客就可以获得此项优惠，如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘．（1）某顾客正好消费220元，他转一次转盘，他获得九折、八折、七折优惠的概率分别是多少？（2）某顾客消费中获得了转动一次转盘的机会，实际付费168元，请问他消费所购物品的原价应为多少元．13．（2022秋·山西阳泉·九年级统考期中）综合与探究【问题再现】(1)课本中有这样一道概率题：如图①，是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少？请你解答．【类比设计】(2)在元旦晚会上班长想设计这样一个摇奖转盘：在图②中设计一个转盘，自由转动这个转盘，当它停止转动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为，二等奖：指针落在白色区域的概率为，一等奖：指针落在黄色区域的概率为．请你帮忙设计．【拓展运用】(3)在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为16份，顾客每消费100元转动1次，对准红（1份），黄（2份），绿（4份）区域，分别奖励50元，30元，20元、其他区域无奖励．则转动1次获奖金的概率是．四、利用列举法求概率（共5小题）14．（2021秋·江苏南京·九年级统考期中）国庆期间，甲、乙两人分别从《长津湖》、《我和我的父辈》、《皮皮鲁与鲁西西》三部电影中随机选择两部观看．（1）甲选择《长津湖》、《我和我的父辈》观看的概率为；（2）求甲、乙两人选择观看的两部电影恰好相同的概率．15．（2023秋·江苏南京·九年级校联考期末）小明、小红两位同学邀请数学老师合影，3人随机站成一排．(1)数学老师站在中间的概率是______；(2)求小明与数学老师相邻的概率．16．甲、乙、丙、丁4名同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中选2名同学打第一场比赛，求下列事件的概率．（1）已确定甲打第一场，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学；（2）随机选取2名同学，其中有乙同学.17．（2020秋·江苏苏州·九年级统考期末）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取环保志愿者．求下列事件的概率：

（1）抽取1名，恰好是甲；

（2）抽取2名，甲在其中．18．某地铁站有4个出站口，分别为1号、2号、3号、4号，小华和小明先后在该地铁站下车，任意选择一个出站口出站．（1）小华从1号出站口出站的概率是；（2）求两人不从同一个出站口出站的概率．五、利用列表法、树状图法求概率（共7小题）19．（2022秋·江苏无锡·九年级校联考期中）某社区组织A，B，C，D四个小区的居民进行核酸检测，有很多志愿者参与此项检测工作，志愿者王明和李丽分别被随机安排到这四个小区中的一个小区组织居民排队等候．(1)王明被安排到A小区进行服务的概率是．(2)请用列表法或画树状图法求出王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率．20．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）为传承中华民族优秀传统文化，提高学生文化素养，学校举办“经典诵读”比赛，比赛题目分为“诗词之风”“散文之韵”“小说之趣”“戏剧之雅”四组（依次记为A，B，C，D）．小雨和莉莉两名同学参加比赛．其中一名同学从四组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组．(1)小雨抽到A组题目的概率是_________；(2)请用列表法或画树状图的方法，求小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的概率．21．（2023春·江苏宿迁·九年级统考期中）为庆祝建党100周年，某校开展“唱爱国歌曲，扬红船精神”大合唱活动．规律是：将编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其他完全相同）背面朝上洗匀后放在桌面上，参加活动的班级从中随机抽取1张，按照卡片上的曲目演唱．（1）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，抽到C卡片的概率为；（2）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，记下曲目后放回洗匀，七年二班再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率．22．（2022秋·江苏宿迁·九年级沭阳县怀文中学校考期末）共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是；（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）23．（2023春·江苏南京·九年级统考期中）为庆祝建党100周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字，（1）“A志愿者被选中”是______事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）；（2）请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果，并求出A，B两名志愿者被选中的概率．24．（2022秋·江苏·九年级期末）学校决定每班选取4名同学参加12.2全国交通安全日“细节关乎生命•安全文明出行”主题活动启动仪式，班主任决定从名同学（小明、小山、小月、小玉）中通过抽签的方式确定2名同学去参加该活动．抽签规则：将4名同学的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片的背面朝上，洗匀后放在桌子上，王老师先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的3张卡片中随机抽取一张，记下名字．(1)“小刚被抽中”是_________事件，“小明被抽中”是_________事件（填“不可能”、“必然”、“随机”），第一次抽取卡片抽中小玉的概率是_________；(2)试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出小月被抽中的概率．25．（2022春·江苏无锡·九年级无锡市天一实验学校校考期中）某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用不透明的红布包住三根颜色长短相同的细绳AA1、BB1、CC1，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从红布两端各选两根细绳打个结，若拿开红布，三根细绳连成一条，则称两人一条心，分在同队；否则互为反方队员．(1)若甲嘉宾随意打了个结，求他恰好将AA1和BB1连成一条的概率；(2)请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分在同队的概率．六、游戏公平性（共7小题）26．（2021秋·江苏泰州·九年级校考期末）一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的小球，其中2个红球，2个白球，摇匀后从中一次性摸出两个小球．（1）请用列表格或画树状图的方法列出所有可能性；（2）若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两个小球颜色不同，乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由．27．（2023秋·江苏南通·九年级启东市长江中学校考期末）小明、小颖和小凡做“剪刀、石头、布”游戏．游戏规则如下：由小明和小颖做“剪刀、石头、布”的游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，布胜石头，剪刀胜布”的规则决定小明和小颖中的获胜者．假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同．(1)利用画树状图或列表的方法表示小明和小颖做“剪刀、石头、布”游戏的所有可能出现的结果（其中剪刀、石头、布分别用序号①、②、③表示）；(2)在（1）的基础上，试说明该游戏对三人是否公平？28．（2022春·江苏淮安·九年级校联考期中）有两个构造完全相同(除所标数字外)的转盘A、B．小红和小明做了一个游戏，游戏规定，转动两个转盘各一次，两次转动后指针指向的数字之和为奇数则小红获胜，数字之和为偶数则小明获胜，请用树状图或列表说明谁获胜的可能性大．29．（2021秋·江苏苏州·九年级统考期中）一个不透明的袋子中装有四个小球，球面上分别标有数字-1，0，1，2四个数字．这些小球除了数字不同外，其他都完全相同，袋内小球充分搅匀．（1）随机地从袋中摸出一个小球，则摸出标有数字2的小球的概率为；（2）小强设计了如下游戏规则：先从袋中随机摸出一个小球（不放回），然后再从余下的三个小球中随机摸出一个小球．把2次摸到的小球数字相加，和为奇数，甲获胜；和为偶数，乙获胜．小强设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表说明理由）30．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期末）小明和小丽在做一个“配紫色”游戏：一个不透明的袋子中装有1个白球，1个蓝球和2个红球，它们除颜色外都相同．从中摸出2个球，若一个是红色，一个是蓝色，则可以配成紫色，游戏获胜、搅匀后，小明从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球；搅匀后，小丽从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球．这个游戏公平吗？为什么？31．小丽和小华想利用摸球游戏决定谁去参加市里举办的书法比赛，游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字外完全相同的4个小球，上面分别标有数字2，3，4，5．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和为偶数，则小丽去参赛；否则小华去参赛．（1）用列表法或画树状图法，求小丽参赛的概率．（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．32．甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定，转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为奇数时，甲获胜；为偶数时，乙获胜．（1）用列表法（或画树状图）求甲获胜的概率；（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？请简要说明理由．

专题08等可能条件下的概率（32题6种题型）一、根据概率公式计算概率（共3小题）1．（2023秋·江苏宿迁·九年级统考期末）在一个不透明的袋中装有2个白球、3个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同．（1）将袋中的球摇匀后，求从袋中随机摸出一个球是黑球的概率；（2）现在再将若干个黑球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋甲随机摸出一个球是黑球的概率是，请求出后来放入袋中的黑球的个数．【答案】（1）；（2）18【分析】（1）求出黑球占总数的几分之几即可；（2）根据概率的意义列方程求解即可．【详解】解：（1）摸到黑球的概率为，答：摸到黑球的概率为；（2）设再放入黑球个，由题意得，（3+x）：（10+x）=3:4，解得，答：再放入18个黑球．【点睛】本题考查概率的计算，掌握概率的计算方法是正确解答的前提，理解“摸出一个球是黑球的概率是，就是黑球占总数的”是解决问题的关键．2．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期末）一个不透明的口袋里有10个除颜色外形状大小都相同的球，其中有4个红球，6个黄球．(1)从中随机摸出一个球，则“摸到黑球”是事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；(2)若从中随机摸出一个球是红球的概率为，求袋子中需再加入几个红球？【答案】(1)不可能(2)8个【分析】(1)根据10个球中没有黑球，可以判断黑球是不可能事件；(2)设袋子中需再加入x个红球，根据摸出红球的概率为，可以列出方程求解即可．【详解】（1）∵有10个除颜色外形状大小都相同的球，其中有4个红球，6个黄球，∴随意摸出一个球是黑球是不可能事件；故答案为：不可能；（2）设袋子中需再加入x个红球．依题意可列：解得x=8，经检验x=8是原方程的解，故若从中随意摸出一个球是红球的概率为袋子中需再加入8个球．【点睛】本题考查了概率的知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．3．（2022秋·江苏南京·九年级校联考期末）计算:(1)抛掷一枚质地均匀的硬币1次，抛掷的结果是正面朝上的概率是．(2)抛掷一枚质地均匀的硬币3次，求在3次抛掷的结果中有且只有1次正面朝上的概率．【答案】(1)；(2).【分析】根据等可能事件概率的计算方法计算即可；【详解】（1）P（正面朝上）=（2）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，朝上一面所有可能出现的结果共有8种，即（正，正，正）、（正，正，反）、（正，反，正）、（正，反，反）、（反，正，正）、（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反），这些结果出现的可能性相等．所有的结果中，满足有且只有1次正面朝上（记为事件A）的结果有3种，即（正，反，反）、（反，正，反）、（反，反，正）．所以P（A）＝．【点睛】本题主要考查了概率的计算，根据题目，分析事件发生的可能性，求出符合题意的事件的概率是解题的关键．二、已知概率求数量（共3小题）4．（2022秋·江苏淮安·九年级校考期末）不透明的口袋里装有红、黄两种颜色的小球（除颜色不同外，其它都相同），其中红球2个，现在从中任意摸出一个球，摸到黄球的概率为．（1）求袋中有几个黄球？（2）第一次摸出一个小球（不放回），第二次再摸出一个小球，请用树状图或列表法求两次摸出的都是红球的概率．【答案】（1）1个；（2）【分析】（1）设袋中黄球的个数为x个，由题意得出方程，解方程即可；（2）画树状图，共有6个等可能的结果，两次摸出的都是红球的结果有2个，再由概率公式求解即可．【详解】解：（1）设袋中黄球的个数为x个，由题意得：解得：x＝1，经检验x＝1是原方程的解，答：袋中黄球的个数为1个．（2）画树状图如图：共有6个等可能的结果，两次摸出的都是红球的结果有2个，∴两次摸出的都是红球的概率为．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用和画树状图求解概率，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.5．（2022秋·江苏盐城·九年级校考期中）在一个暗箱中装有红、黄、白三种颜色的乒乓球（除颜色外其余均相同），其中白球、黄球各个，且从中随机摸出一个球是白球的概率是．(1)求暗箱中红球的个数；(2)先从暗箱中随机摸出一个球，记下颜色不放回，再从暗箱中随机摸出一个球，画树状图或列表求两次摸到的球颜色不同的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）设红球有个，根据意摸出一个球是白球的概率是列方程求解可得；（2）根据题意先列出表格，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】（1）解：设红球有个数，根据题意得，解得，所以暗箱中红球的个数为2个；（2）根据题意列表如下：第一次红红黄白红（红，红（红，黄）（红，白）红（红，红（红，黄）（红，白）黄（黄，红（黄，红（黄，白）白（白，红（白，红（白，黄）一共有种情况，两次摸到的球颜色不同的有种情况，两次摸到的球颜色不同的概率为．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．6．（2022秋·江苏盐城·九年级校考期末）不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色不同外，其它都一样），其中红球2个，蓝球1个，现在从中任意摸出一个红球的概率为．（1）求袋中黄球的个数；（2）第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的都是红球的概率．【答案】（1）袋中黄球的个数为1个；（2）【分析】（1）袋中黄球的个数为x个，根据概率公式得到，然后利用比例性质求出x即可；（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次摸出的都是红球的结果数，然后根据概率公式计算即可．；【详解】解：（1）设袋中黄球的个数为x个，根据题意得，解得x＝1，经检验，x＝1是方程的根，所以袋中黄球的个数为1个；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的都是红球的结果数为2，所以两次摸出的都是红球的概率．【点睛】本题主要考查了概率公式的应用，树状图求概率，分式方程的计算，准确计算是解题的关键．三、几何概率（共7小题）7．（2021秋·广东广州·九年级统考期末）如图，在正方形中，分别以为圆心，以正方形的边长为半径画弧，形成阴影部分的树叶图案（计算时取）．（1）求的长和阴影部分的面积；（2）若在正方形中随机撒一粒豆子，求豆子落在阴影区域内的概率（豆子落在弧上不计）【答案】（1）3；（2）【分析】（1）根据弧长公式，即可求值；（2）用阴影部分面积÷正方形面积，即可求解．【详解】解：（1）的长＝；S阴影＝2S扇形−S正方形＝；（2）豆子落在阴影区域内的概率＝2÷4＝．【点睛】本题考查了几何概率，弧长公式，扇形面积公式，解题的关键是正确的求得阴影部分的面积．8．（2022秋·江西吉安·九年级统考期末）如图，从一个大正方形中截去面积为3cm²和12cm²的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，求米粒落在图中阴影部分的概率．【答案】【分析】先根据题意求出两个空白正方形的边长，即可求出大正方形的边长和面积，然后求出阴影部分的面积，最后根据几何法求解概率即可．【详解】解：∵两个空白正方形的面积分别为12cm²和3cm²，∴边长分别为cm和cm，∴大正方形的边长为cm，∴大正方形的面积为cm²，∴阴影部分的面积为27-12-3=12cm²，∴米粒落在图中阴影部分的概率．【点睛】本题考查了几何法求概率，解题的关键是根据题意求出大正方形的边长和面积．9．（2022秋·广东河源·九年级校考期末）“六一”儿童节期间，某商厦为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被平均分成16份），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准哪个区域，顾客就可以获得相应的奖品．颜色奖品红色玩具熊黄色童话书绿色彩笔小明和妈妈购买了125元的商品，请你分析计算：(1)小明获得奖品的概率是多少？(2)小明获得童话书的概率是多少？【答案】（1）；（2）.【分析】（1）看有颜色部分的面积占总面积的多少即为所求的概率．（2）看黄色部分的面积占总面积的多少即为所求的概率．【详解】解：（1）∵转盘被平均分成16份，其中有颜色部分占6份，∴小明获得奖品的概率==．（2）∵转盘被平均分成16份，其中黄色部分占2份，∴小明获得童话书的概率==．【点睛】本题考查了几何概率，用到的知识点：概率=相应的面积与总面积之比10．（2022秋·陕西安康·九年级统考期末）向如图所示的等边三角形区域内扔沙包（区域中每个小等边三角形除颜色外完全相同），沙包随机落在某个等边三角形内．(1)扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是________；(2)要使沙包落在图中阴影区域的概率为，还要涂黑几个小等边三角形？请说明理由．【答案】(1)(2)2个，理由见解析【分析】（1）由图中共有16个等边三角形，其中阴影部分的三角形有6个，利用概率公式计算可得；(2)要使沙包落在图中阴影区域的概率为，所以图形中阴影部分的小等边三角形要达到8个，据此可得．【详解】（1）解：图中共有16个等边三角形，其中阴影部分的三角形有6个，∴扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是，故答案为：；（2）解：涂黑2个；∵图形中有16个小等边三角形，要使沙包落在图中阴影区域的概率为，∴所以图形中阴影部分的小等边三角形要达到8个，已经涂黑了6个，∴还需要涂黑2个；如图所示：【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率．11．（2022秋·浙江衢州·九年级统考期末）童老师在教学《简单事件的概率》时，设计了一个“挑战自我”的环节，即挑战的同学从如图1所示的A，B，C，D四张图片中随机选取一张，老师点击该图片，显示挑战问题，挑战的同学思考并回答．(1)求第一位挑战的伟芳同学选取图片C的概率．(2)童老师点击图片C，显示如下问题：自由转动如图2所示的三色转盘一次，求事件“指针落在红色区域”的概率．伟芳同学思考后回答说“该事件的概率是”．你同意伟芳同学的回答吗？若不同意，请写出你的正确答案，并说明理由．(3)请你根据上述情境，编写一道与“简单事件的概率”这节内容相关的数学题，并写出参考答案．【答案】(1)伟芳同学选取图片C的概率是；(2)不同意，正确答案是(3)见解析【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）指针落在红色区域的概率=指针落在红色区域的面积：总面积，据此即可解答；（3）设计一个游戏公平性的问题：首先确定出事件发生的所有情况，分别算出甲胜和乙获胜发生的概率，比较概率的大小，即可判定游戏的公平性，如不公平，设计出两人发生的概率相同就可解决问题．【详解】（1）解：A，B，C，D四张图片中随机选取一张，伟芳同学选取图片C的概率是；答：伟芳同学选取图片C的概率是；（2）解：不同意，理由如下：∵指针落在红色区域的面积为圆面积的，∴指针落在红色区域的概率是；答：不同意，正确答案是；（3）问题：你如果利用如图2所示的三色转盘来做游戏，规定转动一次停止后，指针落在蓝色区域则甲获胜．落在红色区域则乙获胜，你认为对双方公平吗？若认为公平，请简要说明理由；若认为不公平，请提出公平合理的方案．解：不公平，理由如下：因为指针落在蓝色区域的概率是；指针落在红色区域的概率是；所以游戏不公平．建议：规定转动一次停止后，指针落在蓝色区域则甲获胜．落在红色或黄色区域则乙获胜，因为指针落在蓝色区域的概率是；指针落在红色或黄色区域的概率也是；概率相等，所以游戏公平．【点睛】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是利用长度比，面积比，体积比等．12．（2019秋·湖南长沙·九年级统考期中）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：顾客消费200元（含200元）以上，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折区域，顾客就可以获得此项优惠，如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘．（1）某顾客正好消费220元，他转一次转盘，他获得九折、八折、七折优惠的概率分别是多少？（2）某顾客消费中获得了转动一次转盘的机会，实际付费168元，请问他消费所购物品的原价应为多少元．【答案】（1），，；（2）210元或240元【分析】（1）由圆盘可知，七折圆心角为30°，八折圆心角为60°，九折圆心角为90°，利用它们所占圆的百分比即可算出概率；（2）对于实际花费的168元进行三种情况的计算，即可得到答案．【详解】（1）获得九折的概率为获得八折的概率为，获得七折的概率为，（2）∵∴他没有获得九折优惠．∵∴，∵∴答：他消费所购物品的原价应为210元或240元．【点睛】本题考查了用扇形统计图计算概率，解题的关键是掌握概率的计算，以及实际问题的应用情况．13．（2022秋·山西阳泉·九年级统考期中）综合与探究【问题再现】(1)课本中有这样一道概率题：如图①，是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少？请你解答．【类比设计】(2)在元旦晚会上班长想设计这样一个摇奖转盘：在图②中设计一个转盘，自由转动这个转盘，当它停止转动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为，二等奖：指针落在白色区域的概率为，一等奖：指针落在黄色区域的概率为．请你帮忙设计．【拓展运用】(3)在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为16份，顾客每消费100元转动1次，对准红（1份），黄（2份），绿（4份）区域，分别奖励50元，30元，20元、其他区域无奖励．则转动1次获奖金的概率是．【答案】(1)，；(2)见解析(3)11.875【分析】（1）用红色区域的面积除以圆的面积可得到指针落在红色区域的概率；用白色区域的面积除以圆的面积可得到指针落在白色区域的概率；（2）把圆分成8等份，然后把红色占3份，白色占三份，黄色占2份即可；（3）根据相应金额和百分比可得到每转动一次转盘所获购金额的平均数．【详解】（1）根据几何概率的意义可得：，；（2）如图②，（3）（元）；故答案为：11.875．【点睛】本题考查了几何概率，正确记忆概率的含义是解题关键．四、利用列举法求概率（共5小题）14．（2021秋·江苏南京·九年级统考期中）国庆期间，甲、乙两人分别从《长津湖》、《我和我的父辈》、《皮皮鲁与鲁西西》三部电影中随机选择两部观看．（1）甲选择《长津湖》、《我和我的父辈》观看的概率为；（2）求甲、乙两人选择观看的两部电影恰好相同的概率．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用概率的定义公式计算即可；（2）用列举法把所有可能性都列出来，数出满足要求的结果数，代入概率的定义公式即可．【详解】解：（1）∵甲从《长津湖》、《我和我的父辈》、《皮皮鲁与鲁西西》三部电影中任意选出2部观看有6种等可能结果，其中选择《长津湖》、《我和我的父辈》观看的结果有2种，∴甲选择《长津湖》、《我和我的父辈》观看的概率为；（2）将《长津湖》、《我和我的父辈》、皮皮鲁与鲁西西》三部电影分别用字母A、B、C表示．甲、乙各选择两部电影观看，所有可能出现的结果共有9种，即（AB，AB）、（AB，AC）、（AB，BC）、（AC，AB）、（AC，AC）、（AC，BC）、（BC，AB）、（BC，AC）、（BC，BC），这些结果出现的可能性相等．所有的结果中，满足甲、乙两人选择观看的两部电影相同（记为事件M）的结果有3种，所以P（M）==．【点睛】本题考查了概率的定义，列举法求概念，正确理解概率的定义是解决本题的关键．15．（2023秋·江苏南京·九年级校联考期末）小明、小红两位同学邀请数学老师合影，3人随机站成一排．(1)数学老师站在中间的概率是______；(2)求小明与数学老师相邻的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用已知条件可知一共有6种等可能结果，其中数学老师站在中间的结果有2种，然后利用概率公式求解即可；（2）利用已知条件可知一共有6种等可能结果，其中小明与数学老师相邻而站的结果有4种，然后利用概率公式求解即可．【详解】（1）解：根据题意，小明、小红和数学老师3人随机站成一排，共有6种等可能性结果：（小明，小红，老师）、（小明，老师、小红）、（小红，小明，老师）、（小红，老师，小明）、（老师，小明，小红）、（老师，小红，小明），其中满足“数学老师站在中间”（记为事件）的结果有2种，所以，数学老师站在中间的概率是．故答案为：；（2）由（1）可知，3人随机站成一排，共有6种等可能性结果，其中满足“小明与数学老师相邻而站”（记为事件）的结果有4种，所以，小明与数学老师相邻的概率．【点睛】本题主要考查了概率的简单应用，正确理解题意并掌握简单概率的计算公式是解题关键．16．甲、乙、丙、丁4名同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中选2名同学打第一场比赛，求下列事件的概率．（1）已确定甲打第一场，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学；（2）随机选取2名同学，其中有乙同学.【答案】（1）．（2）.【分析】（1）由一共有3种等可能性的结果，其中恰好选中乙同学的有1种，即可求得答案．（2）先用列举法求出全部情况的总数，再求出符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：（1）已确定甲打第一场，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率是．（2）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学，所有等可能出现的结果有：（甲、乙）、（甲、丙）、（甲、丁）、（乙、丙）、（乙、丁）、（丙、丁），共有6种，所有的结果中，满足“随机选取2名同学，其中有乙同学”（记为事件A）的结果有3种：（甲、乙）、（乙、丙）、（乙、丁）．∴P（A）=.【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概型的求解方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．（2020秋·江苏苏州·九年级统考期末）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取环保志愿者．求下列事件的概率：

（1）抽取1名，恰好是甲；

（2）抽取2名，甲在其中．【答案】(1);(2).【分析】（1）根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.因此，由从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，直接利用概率公式求解即可求得答案.（2）利用列举法可得抽取2名，可得：甲乙，甲丙，乙丙，共3种等可能的结果，甲在其中的有2种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【详解】（1）∵从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取环保志愿者，∴抽取1名，恰好是甲的概率为：.（2）∵抽取2名，可得：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁共6种等可能的结果，甲在其中的有3种情况，∴抽取2名，甲在其中的概率为：.考点：概率.18．某地铁站有4个出站口，分别为1号、2号、3号、4号，小华和小明先后在该地铁站下车，任意选择一个出站口出站．（1）小华从1号出站口出站的概率是；（2）求两人不从同一个出站口出站的概率．【答案】（1）

;(2)【分析】根据概率知识,列举法表示出所有的情况即可解题.【详解】解：（1）．（2）两人任意选择一个出站口出站，所有可能出现的结果有：，共有16种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“两人不从同一个出站口出站”（记为事件）的结果有12种，所以.【点睛】本题考查了概率的实际应用,属于简单题,列举出所有的可能性是解题关键.五、利用列表法、树状图法求概率（共7小题）19．（2022秋·江苏无锡·九年级校联考期中）某社区组织A，B，C，D四个小区的居民进行核酸检测，有很多志愿者参与此项检测工作，志愿者王明和李丽分别被随机安排到这四个小区中的一个小区组织居民排队等候．(1)王明被安排到A小区进行服务的概率是．(2)请用列表法或画树状图法求出王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据概率公式求解即可；（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】（1）解：王明被安排到A小区进行服务的概率是，故答案为：；（2）列表如下：A，B，C，D表示四个小区，ABCDA（A，A）（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（B，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（C，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（D，D）由表知，共有16种等可能结果，其中王明和李丽被安排到同一个小区工作的有4种结果，所以王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率为．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）为传承中华民族优秀传统文化，提高学生文化素养，学校举办“经典诵读”比赛，比赛题目分为“诗词之风”“散文之韵”“小说之趣”“戏剧之雅”四组（依次记为A，B，C，D）．小雨和莉莉两名同学参加比赛．其中一名同学从四组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组．(1)小雨抽到A组题目的概率是_________；(2)请用列表法或画树状图的方法，求小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；（2）通过列表法，可得共有16种等可能结果，其中，小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的结果数有4种，再根据概率公式求解即可．【详解】（1）（小雨抽到A组题目），故答案为：；（2）列表如下：小雨莉莉ABCDAAABACADABABBBCBDBCACBCCCDCDADBDCDDD由图得，共有16种等可能结果，其中，小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的结果数有4种，（小雨和莉莉两名同学抽到相同题目）．【点睛】本题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．21．（2023春·江苏宿迁·九年级统考期中）为庆祝建党100周年，某校开展“唱爱国歌曲，扬红船精神”大合唱活动．规律是：将编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其他完全相同）背面朝上洗匀后放在桌面上，参加活动的班级从中随机抽取1张，按照卡片上的曲目演唱．（1）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，抽到C卡片的概率为；（2）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，记下曲目后放回洗匀，七年二班再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率．【答案】（1）；（2）图表见解析，【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；（2）根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得．【详解】解：（1）小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为C的概率为，故答案为：；（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果数，其中两个班恰好选择一首歌曲的有3种结果，所以两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率为＝．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的求解方法，解题的关键是理解列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．22．（2022秋·江苏宿迁·九年级沭阳县怀文中学校考期末）共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是；（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得．【详解】（1）∵有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片，∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是，故答案为：；（2）画树状图如图：共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率=．【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．（2023春·江苏南京·九年级统考期中）为庆祝建党100周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字，（1）“A志愿者被选中”是______事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）；（2）请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果，并求出A，B两名志愿者被选中的概率．【答案】（1）随机；（2）【分析】（1）随机事件是在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，随机事件与确定性事件相比，是不确定的，因为对这种事件我们不能确定它是发生呢，还是不发生，即对事件的结果无法确定．根据定义可得答案；（2）先画树状图得到所有的等可能的结果数，得到都被选中的结果数，再利用概率公式计算即可得到答案．【详解】解：（1）由随机事件的定义可得：“A志愿者被选中”是随机事件，故答案：随机．（2）画树状图如下：一共有种等可能的结果，其中都被选中的结果数有种，A，B两名志愿者被选中的概率【点睛】本题考查的是随机事件的概念，利用画树状图或列表的方法求解简单随机事件的概率，掌握列表法或画树状图的方法是解题的关键．24．（2022秋·江苏·九年级期末）学校决定每班选取4名同学参加12.2全国交通安全日“细节关乎生命•安全文明出行”主题活动启动仪式，班主任决定从名同学（小明、小山、小月、小玉）中通过抽签的方式确定2名同学去参加该活动．抽签规则：将4名同学的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片的背面朝上，洗匀后放在桌子上，王老师先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的3张卡片中随机抽取一张，记下名字．(1)“小刚被抽中”是_________事件，“小明被抽中”是_________事件（填“不可能”、“必然”、“随机”），第一次抽取卡片抽中小玉的概率是_________；(2)试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出小月被抽中的概率．【答案】(1)不可能；随机；(2)【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式解答可得；（2）列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．【详解】（1）解：该班同学“小刚被抽中”是不可能事件，“小明被抽中”是随机事件，第一次抽取卡片“小玉被抽中”的概率为，故答案为：不可能、随机、；（2）解：根据题意可画树状图如下：共有12种等可能结果，其中小月被抽中的有6种结果．所以.【点睛】此题主要考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．25．（2022春·江苏无锡·九年级无锡市天一实验学校校考期中）某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用不透明的红布包住三根颜色长短相同的细绳AA1、BB1、CC1，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从红布两端各选两根细绳打个结，若拿开红布，三根细绳连成一条，则称两人一条心，分在同队；否则互为反方队员．(1)若甲嘉宾随意打了个结，求他恰好将AA1和BB1连成一条的概率；(2)请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分在同队的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接根据概率公式求解即可,概率的公式为：概率=所求情况数与总情况数之比；（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数和甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】（1）解：∵共有三根细绳，且抽出每两根细绳打结的可能性相同∴甲嘉宾从中任意选择两根细绳打结，恰好将细绳，BB1连成一条的的概率是．（2）解：画树状图：共有9种等可能的结果数.∵三根细绳连成一条，则称两人一条心，分在同队∴甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数为6种情况∴甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率是：．【点睛】本题主要考查列表法或树状图法求概率，注意首先分别求得左右两端的情况，再画出树状图是解题的关键．六、游戏公平性（共7小题）26．（2021秋·江苏泰州·九年级校考期末）一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的小球，其中2个红球，2个白球，摇匀后从中一次性摸出两个小球．（1）请用列表格或画树状图的方法列出所有可能性；（2）若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两个小球颜色不同，乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）这个游戏对甲、乙双方不公平，明显乙获胜的概率更高【分析】（1）列表格列出所有可能性；（2）分别求出甲乙获胜的情况个数后比较大小即可．【详解】（1）所有可能性如下表：

甲乙红1红2白1白2红1（红，红）（白，红）（白，红）红2（红，红）（白，红）（白，红）白1（红，白）（红，白）（白，白）白2（红，白）（红，白）（白，白）总共12种情况．（2）摸到两个小球的颜色相同有4种，摸到两个小球颜色不同有8种∴甲获胜概率=，乙获胜概率=∴这个游戏对甲、乙双方不公平，明显乙获胜的概率更高．【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．27．（2023秋·江苏南通·九年级启东市长江中学校考期末）小明、小颖和小凡做“剪刀、石头、布”游戏．游戏规则如下：由小明和小颖做“剪刀、石头、布”的游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，布胜石头，剪刀胜布”的规则决定小明和小颖中的获胜者．假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同．(1)利用画树状图或列表的方法表示小明和小颖做“剪刀、石头、布”游戏的所有可能出现的结果（其中剪刀、石头、布分别用序号①、②、③表示）；(2)在（1）的基础上，试说明该游戏对三人是否公平？【答案】(1)见解析(2)该游戏对三人公平，理由见解析【分析】（1）根据题意画出树状图即可；（2）根据树状图求出，即可得到答案．【详解】（1）解：树状图如下图所示；（2）解：该游戏对三人公平，理由如下：由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中小明、小颖、小凡获胜的结果数都为3中，∴，∴该游戏对三人公平．【点睛】本题主要考查了画树状图或列表法求解概率，游戏的公平性，熟练掌握相关知识是解题的关键．28．（2022春·江苏淮安·九年级校联考期中）有两个构造完全相同(除所标数字外)的转盘A、B．小红和小明做了一个游戏，游戏规定，转动两个转盘各一次，两次转动后指针指向的数字之和为奇数则小红获胜，数字之和为偶数则小明获胜，请用树状图或列表说明谁获胜的可能性大．【答案】小红获胜的可能性大【分析】根据题意画出树状图（或列出表格），然后由树状图（或表格）求得所有等可能的结果与两次转动后指针指向的数字之和为奇数与数字之和为偶数的情况，再利用概率公式计算即可求得答