《2.3.1数学归纳法》知识清单

《2.3.1数学归纳法》知识清单一、数学归纳法的初步认识1、起源数学归纳法就像是数学世界里的一个神奇魔法棒。它的起源可追溯到很久以前呢。想象一下，古代的数学家们在研究一些数列或者数学规律的时候，发现有些规律对于前面几个数是成立的，但是怎么能保证对于所有的数都成立呢？就像你观察一群小蚂蚁搬家，你看到前面几只蚂蚁走的路线是直的，你就会想是不是所有蚂蚁都会沿着这条直路走呢？这时候就需要一种通用的方法来验证，于是数学归纳法就慢慢诞生啦。它是一种非常重要的证明方法，专门用来证明与自然数有关的命题。比如说，要证明对于所有的正整数n，某个式子都成立，数学归纳法就可以派上用场了。2、基本原理第一步：基础步骤这就像是盖房子打地基一样重要。我们首先要验证当n＝1（或者有时候是n＝0或者其他起始值）的时候，这个命题是成立的。比如说，我们要证明对于所有的正整数n，1+2+3+…＋n=n(n＋1)／2这个式子成立。那我们先看看当n＝1的时候，左边就是1，右边是1×（1＋1)／2=1，左边等于右边，这个基础就打好了。这一步就像是你要测试一个新发明的小机器，先看看它最开始的状态能不能正常工作。第二步：归纳步骤假设当n＝k（k是一个正整数）的时候，这个命题是成立的。这就好比我们假设前面k只蚂蚁都是按照我们预想的路线走的。然后我们要证明当n=k＋1的时候，这个命题也成立。还拿1+2+3+…＋n=n(n＋1)／2这个式子来说，假设当n＝k的时候，1+2+3+…＋k=k(k＋1)／2成立，那当n=k＋1的时候，左边就是1+2+3+…＋k+（k＋1)，根据我们的假设，1+2+3+…＋k=k(k＋1)／2，所以左边就等于k(k＋1)／2+（k＋1)，经过化简可以得到(k+1)（k＋2)／2，而右边当n＝k+1的时候就是(k＋1)（k＋2)／2，左边等于右边，这样就完成了归纳步骤。这一步就像是在说，如果前面的k只蚂蚁都走对了，那再加上一只蚂蚁也能走对。二、数学归纳法的应用场景1、数列相关命题很多数列的性质都可以用数学归纳法来证明。例如，有一个数列\（a_{n}＼），它的递推公式是\（a_{1}＝1\），＼（a_{n＋1}＝a_{n}＋2n\），要证明\（a_{n}＝n^｛2}n＋1\）对于所有的正整数n都成立。首先，当n＝1的时候，＼（a_{1}＝1\），右边\（1^｛2}－1＋1=1\），基础步骤成立。然后假设当n＝k的时候，＼（a_{k}＝k^｛2}k＋1\）成立。那么当n=k＋1的时候，＼（a_{k+1}＝a_{k}＋2k\），把\（a_{k}＝k^｛2}k＋1\）代入，得到\（a_{k＋1}＝k^｛2}k＋1+2k=k^｛2}＋k＋1=（k＋1)＾｛2}（k＋1)＋1\），归纳步骤也成立。这就像我们在观察一个有规律生长的植物，先看看最开始的状态，再假设某一阶段的生长规律，然后验证下一阶段也符合这个规律。2、整除问题比如说要证明对于所有的正整数n，＼（3^｛2n}－1\）能被8整除。当n＝1的时候，＼（3^｛2\times1}－1＝91=8\），8能被8整除，基础步骤搞定。假设当n＝k的时候，＼（3^｛2k}－1\）能被8整除，也就是\（3^｛2k}－1＝8m\）（m是一个整数）。当n=k＋1的时候，＼（3^｛2(k＋1)｝－1=3^｛2k＋2}－1=9\times3^｛2k}－1=9\times(3^｛2k}－1)＋8\），因为\（3^｛2k}－1＝8m\），所以\（9\times(3^｛2k}－1)＋8=9\times8m+8=8(9m＋1)＼），能被8整除，归纳步骤也完成了。这就好比把一堆糖果分成8个一组，先看看最开始的数量能不能刚好分完，再假设某一堆能分完，验证再多一些糖果也能分完。3、不等式证明例如要证明对于所有的正整数n，＼（1+＼frac{1}｛2}＋＼frac{1}｛3}＋＼cdots+＼frac{1}｛n}＼gt\ln(n＋1)＼）。当n＝1的时候，左边\（1\），右边\（＼ln(2)＼），因为\（1\gt\ln(2)＼），基础步骤成立。假设当n＝k的时候，＼（1+＼frac{1}｛2}＋＼frac{1}｛3}＋＼cdots+＼frac{1}｛k}＼gt\ln(k＋1)＼）成立。当n=k＋1的时候，左边\（1+＼frac{1}｛2}＋＼frac{1}｛3}＋＼cdots+＼frac{1}｛k}＋＼frac{1}｛k＋1}＼gt\ln(k＋1)＋＼frac{1}｛k＋1}＼）。我们知道函数\（y=＼ln(x)＼）的导数是\（y'＝＼frac{1}｛x}＼），根据拉格朗日中值定理，＼（＼ln(k＋2)＼ln(k＋1)＝＼frac{1}｛＼xi}＼）（＼（＼xi\）在\（k＋1\）和\（k＋2\）之间），所以\（＼ln(k＋2)＼ln(k＋1)＼lt\frac{1}｛k＋1}＼），即\（＼ln(k＋1)＋＼frac{1}｛k＋1}＼gt\ln(k＋2)＼），所以\（1+＼frac{1}｛2}＋＼frac{1}｛3}＋＼cdots+＼frac{1}｛k}＋＼frac{1}｛k＋1}＼gt\ln(k＋2)＼），归纳步骤成立。这就像在比较两群小动物的数量，先看看最开始的情况，再假设一种情况，然后验证再多一些的时候也符合比较关系。三、数学归纳法的注意事项1、基础步骤不能省略这就好比盖房子不能没有地基一样。如果没有验证基础步骤，后面的归纳步骤就像是在空中盖楼阁，是不稳固的。比如说，有人想要证明对于所有的正整数n，＼（n=n＋1\），如果他直接假设当n＝k的时候成立，然后去证明n=k＋1的时候也成立，就会得出错误的结论。因为当n＝1的时候，＼（1\neq2\），基础就不成立。这就像你想要证明所有的鸟都会飞，但是你连最开始的麻雀都没观察到它会飞，就直接假设后面的鸟都会飞，肯定是不对的。2、归纳假设要合理使用在证明归纳步骤的时候，一定要合理地使用归纳假设。不能假设了之后又不按照假设来进行推导。比如说在证明前面提到的数列\（a_{n}＼）的性质时，如果假设了\（a_{k}＝k^｛2}k＋1\），但是在推导\（a_{k＋1}＼）的时候没有用到这个假设，那就不是正确的数学归纳法证明。这就像你要根据前面的经验来预测后面的事情，如果不按照经验来，那就乱套了。就像你知道前面几天太阳都是从东边升起的（假设），那你预测明天太阳升起的方向的时候，要基于这个假设，如果不基于这个假设，你说太阳从西边升起，那肯定是不对的。四、数学归纳法的变体1、第一数学归纳法的加强形式有时候，我们在归纳假设的时候，可以假设对于所有的\（n\leqk\）的时候命题都成立，然后去证明当n=k＋1的时候命题也成立。这种形式在一些比较复杂的证明中很有用。比如说在证明一些关于斐波那契数列的复杂性质的时候，这种加强形式就可能会派上用场。就像你要观察一群小动物的行为，你不仅观察前面一只小动物的行为（普通归纳假设），你还观察前面好几只小动物的行为（加强归纳假设），这样能更全面地了解整个群体的行为规律。2、第二数学归纳法第二数学归纳法的归纳假设是假设对于所有的\（n\ltk\）的时候命题都成立，然后去证明当n＝k的时候命题也成立。这和第一数学归纳法有点不同。例如在证明一些关于数的分解性质的时候，第二数学归纳法可能会更合适。就好比你要分析一个大的任务是怎么完成的，你先看看前面所有小部分是怎么完成的（假设对于\（n\ltk\）成立），然后再看整个大任务（当n＝k的时候）是怎么完成的。五、典型例题1、例题一证明对于所有的正整数n，＼（1\times2+2\times3+3\times4+＼cdots+n(n＋1)＝＼frac{n(n＋1)（n＋2)｝｛3}＼）。基础步骤：当n＝1的时候，左边\（1\times2＝2\），右边\（＼frac{1\times(1＋1)＼times(1＋2)｝｛3}＝2\），左边等于右边，基础步骤成立。归纳步骤：假设当n＝k的时候，＼（1\times2+2\times3+3\times4+＼cdots+k(k＋1)＝＼frac{k(k＋1)（k＋2)｝｛3}＼）成立。当n=k＋1的时候，左边\（1\times2+2\times3+3\times4+＼cdots+k(k＋1)＋（k＋1)（k＋2)＼），根据归纳假设，它等于\（＼frac{k(k＋1)（k＋2)｝｛3}＋（k＋1)（k＋2)＝（k＋1)（k＋2)（＼frac{k}｛3}＋1)＝＼frac{（k＋1)（k＋2)（k＋3)｝｛3}＼），右边当n=k＋1的时候是\（＼frac{（k＋1)（k＋2)（k＋3)｝｛3}＼），左边等于右边，所以这个命题对于所有的正整数n都成立。这就像我们在堆积木，先看看最开始一块积木的情况，再假设某一阶段堆积木的规律，然后验证再多一块积木的时候也符合这个规律。2、例题二证明对于所有的正整数n，＼（2^｛n}＼gtn^｛2}＼），＼（n\geq5\）。基础步骤：当n＝5的时候，左边\（2^｛5}＝32\），右边\（5^｛2}＝25\），因为\（32\gt25\），基础步骤成立。归纳步骤：假设当n＝k（＼（k\geq5\））的时候，＼（2^｛k}＼gtk^｛2}＼）成立。当n=k＋1的时候，＼（2^｛k＋1}＝2\times2^｛k}＼gt2k^｛2}＼）。我们要证明\（2k^｛2}＼gt(k＋1)＾｛2}＝k^｛2}＋2k＋1\），即\（k^｛2}－2k1\gt0\）。对于二次函数\（y＝k^｛2}－2k1\），其对称轴为\（k＝1\），当\（k\geq5\）时，＼（y\）是单调递增的，且当\（k＝5\）时，＼（y＝25101=14\gt0\），所以\（2k^｛2}＼gt(k＋1)＾｛2}＼），即\（2^｛k＋1}＼gt(k＋1)＾｛2}＼），归纳步骤成立。这就像在比较两个不断增长的数量，先看看某个较大起点时的比较情况，再假设一种情况，然后验证再多一点的时候也符合比较关系。六、数学归纳法的练习题1、证明对于所有的正整数n，＼（1^｛3}＋2^｛3}＋3^｛3}＋＼cdots+n^｛3}＝＼left\frac{n(n＋1)｝｛2}＼right^｛2}＼）。2、证明对于所有的正整数n，＼（n^｛3}＋5n\）能被6整除。3、证明对于所有的正整数n，＼（（1＋x)＾｛n}＼geq1+nx\）（＼（x\gt1\））。参考答案：1、基础步骤：当n＝1时，左边\（1^｛3}＝1\），右边\（＼left\frac{1\times(1＋1)｝｛2}＼right^｛2}＝1\），左边等于右边，基础步骤成立。归纳步骤：假设当n＝k时，＼（1^｛3}＋2^｛3}＋3^｛3}＋＼cdots+k^｛3}＝＼left\frac{k(k＋1)｝｛2}＼right^｛2}＼）成立。当n＝k+1时，左边\（1^｛3}＋2^｛3}＋3^｛3}＋＼cdots+k^｛3}＋（k＋1)＾｛3}＝＼left\frac{k(k＋1)｝｛2}＼right^｛2}＋（k＋1)＾｛3}＼）。化简可得\（＼frac{（k＋1)＾｛2}（k^｛2}＋4k＋4)｝｛4}＝＼left\frac{（k＋1)（k＋2)｝｛2}＼right^｛2}＼），右边当n＝k＋1时为\（＼left\frac{（k＋1)（k＋2)｝｛2}＼right^｛2}＼），左边等于右边，所以该命题对所有正整数n成立。2、基础步骤：当n＝1时，＼（n^｛3}＋5n=1＋5=6\），能被6整除，基础步骤成立。归纳步骤：假设当n＝k时，＼（k^｛3}＋5k\）能被6整除，即\（k^｛3}＋5k＝6m\）（m为整数）。当n＝k＋1时，＼（（k＋1)＾｛3}＋5(k＋1)＝k^｛3}＋3k^｛2}＋3k＋1+5k＋5=（k^｛3}＋5k)＋3k^｛2}＋3k＋6\）。因为\（k^｛3}＋5k＝6m\），且\（3k^｛2}＋3k＋6＝3(k^｛2}＋k＋2)＼），＼（k^｛2}＋k\）为整数，所以\（3(k^｛2}＋k＋2)＼）能被3整除，又因为\（6m\）能被6整除，所以\（（k＋1)＾｛3}＋5(k＋1)