2024-2025学年重庆八中高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年重庆八中高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z满足z(2−i)=3+4i(i为虚数单位)，则|z−|的值为A.1 B.5 C.552.已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，下列说法正确的是(

)A.若α//β，l⊂α，m⊂β，则l//m B.若α⊥β，l⊂α，则l⊥β

C.若l⊥α，α⊥β，则l//β D.若l//α，m⊥α，则l⊥m3.“直线ax−(a+6)y+8=0与3x−ay+a−5=0平行”是“a=6”的(    )条件．A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要4.已知两个单位向量e1，e2的夹角为120°，则(eA.32 B.3 C.52 5.圆x2+y2+2mx+4my+6=0关于直线mx+y+3=0A.1 B.−3 C.1或−3 D.−1或36.直线l：x+3y−3=0与圆C：(x+2)2+(y−1)2=2A.120° B.145° C.165° D.210°7.已知tan2θ=43，θ∈(0,π4)，若mcos(πA.−13 B.−12 C.8.已知圆C：(x−2)2+(y+1)2=5及直线lA.圆C被x轴截得的弦长为2

B.直线l过定点(3,2)

C.直线l被圆C截得的弦长存在最大值，此时直线l的方程为x+y−1=0

D.直线l被圆C截得的弦长存在最小值，此时直线l的方程为x−y−5=0二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则(

)A.AB−AD=2EF B.AE⋅AF=4

C.AE10.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1所有棱长均为4，D，E，F，G分别在棱A1B1，A1C1，AB，AC上，(不与端点重合)且A1D=A.B1C1/​/平面PFG

B.过D，F，G三点的平面截三棱柱所得截面一定为等腰梯形

C.M在△A1B1C1内部(含边界)，∠A1AM=π6，则M到棱B111.已知圆C1：x2+y2=1和圆C2：(x−m)2+(y−2m)2=4，m≥0.A.当m∈[0,55)时，圆C1和圆C2没有公切线

B.当圆C1和圆C2有三条公切线时，其公切线的倾斜角的和为定值

C.圆C1与x轴交于M，N，若圆C2上存在点P，使得∠MPN>π2，则m∈(2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.将函数y=cos(4x−π6)的图象向右平移φ(0<φ<π13.已知点P(3,0)在直线l上，且点P恰好是直线l夹在两条直线l1：2x−y−2=0与l2：x+y+3=0之间线段的一个三等分点，则直线l的方程为______.(写出一条即可14.台风“摩羯”于2024年9月1日晚在菲律宾以东洋面上生成.据监测，“摩羯”台风中心位于某海滨城市O(如图)的东偏南θ(cosθ=17)方向350km的海面P处，并以20km/ℎ的速度向西偏北60°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为130km，并以10km/ℎ的速度不断增大，______小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=4，C=2π3，D为AB边上一点．

(1)若D为AB的中点，且CD=3，求c；

(2)若CD平分∠ACB，且△ABC的面积为216.(本小题15分)

如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=6，E为棱AC的中点，P为BC边上靠近B的三等分点，且PB1⊥BC1．

(1)证明：CB117.(本小题15分)

圆心为C的圆经过A(0,3)，B(2,1)两点，且圆心C在直线l：3x−2y=0上．

(1)求圆C的标准方程；

(2)过点M(1,2)作圆C的相互垂直的两条弦DF，EG，求四边形DEFG的面积的最大值与最小值．18.(本小题17分)

如图、三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，O为AB的中点，AC⊥BC，OC=1，PA=4．

(1)证明：面ACP⊥面BCP；

(2)若点A到面BCP的距离为43，证明：OC⊥AB；

(3)求OP与面PBC所成角的正弦值的取值范围．19.(本小题17分)

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2−2x−23y−12=0，M1，M2是圆C上的动点，且|M1M2|=43，M1M2的中点为M．

(1)求点M的轨迹方程；

(2)设点A是直线l：3x−y+43=0上的动点，AP，AQ是M的轨迹的两条切线，P，Q为切点，求四边形APCQ面积的最小值；

(3)若垂直于y轴的直线l1过点C且与M的轨迹交于点D，E参考答案1.B

2.D

3.C

4.A

5.B

6.A

7.C

8.D

9.BC

10.ACD

11.ABD

12.π12或π13.7x−2y−21=0

14.8

15.解：(1)在△ABC中，a=4，C=2π3，

因为D为AB的中点，所以CD=12(CA+CB)，

两边平方得：CD2=14(CA2+CB2+2CA⋅CB)，

则3=14(b2+16+2×4×b×cos2π3)=14(b2−4b+16)，

即b2−4b+4=0，解得16.解：(1)证明；如图，连接BA1∩B1A=O，连接OE，

则O为AB1的中点，又E为AC的中点，

∴CB1//OE，又CB1⊄平面EBA1，OE⊂平面EBA1，

∴CB1//平面EBA1；

(2)取AB中点M，设三棱柱的高为a，以M为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

M(0,0,0),B(0,−3,0),C(33,0,0),A(0,3,0),P(3,−2,0),C1(33,0,a),B1(0,−3,a),E(332,32,0)，

PB1=(−3,−1,a),BC1=(33,3,a)17.解：(1)∵圆心C在直线l：3x−2y=0，设C(2k,3k)，

由题意可知：|CA|=|CB|，即4k2+(3k−3)2=(2k−2)2+(3k−1)2，解得k=1，

可得圆心C(2,3)，半径r=|CA|=2，

∴圆C的标准方程为(x−2)2+(y−3)2=4．

(2)∵|CM|=(2−1)2+(3−2)2=2<r，可知点M在圆C内，

过点M(1,2)作圆C的相互垂直的两条弦DF，EG，

设弦DF，EG的中点分别为弦P，Q，|CP|=a，|CQ|=b，

四边形CPMQ为矩形，则|CP|2+|CQ|2=|CM|2，

即a2+b2=2，可得b2=2−a2,a∈[0,2]，

18.解：(1)证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥PA，

又AC⊥BC，AC，PA⊂平面PAC，AC∩PA=A，

所以BC⊥平面PAC，

又BC⊂平面BCP，

所以面ACP⊥面BCP．

(2)证明：因为O为AB的中点，AC⊥BC，OC=1，所以AB=2，OA=OB=1，

设AC=x，BC=y，所以x2+y2=4，其中0<x<2，

由(1)知，BC⊥PC，PA⊥AB，PA⊥AC，

所以PB2=PA2+AB2=20，

所以PC2=PB2−BC2=20−y2，所以PC=20−y2，

所以在直角三角形PAC中，由面积可得：4x=4320−y2，结合x2+y2=4，

解得：x2=y2=2，也即AC=BC，所以OC⊥AB．

(3)因为O为AB的中点，AC⊥BC，OC=1，所以AB=2，OA=OB=1，

设AC=x，BC=y，所以x2+y2=4，其中0<x<2，

由(1)知，BC⊥PC，PA⊥AB，PA⊥AC，

所以PB2=PA2+AB2=20，

所以PC2=PB2−BC2=20−y2，所以PC=20−y2，

过19.解：(1)∵圆C：x2+y2−2x−23y−12=0，

转化为圆的标准方程得(x−1)2+(y−3)2=16，

∴圆C的圆心为C(1,3)，半径R=4，

M1，M2是圆C上的动点，且|M1M2|=43，M1M2的中点为M，

∴由题意可得|CM|=r2−(12|M1M2|)2=2，

∴点M的轨迹是以C(1,3)为圆心，半径为r=2的圆，

∴点M的轨迹方程为(x−1)2+(y−3)2=4．

(2)∵四边形APCQ面积为：

S四边形APCQ=2S△APC=2×12|PA|⋅r=2|PA|=2|PC|2−r2=2|PC|2−4，

∴当AC⊥l时，|PC|取到最小值为|PC|min=|3−3+43|(3)2+(−1)2=23，

∴四边形APCQ面积的最小值为2(23)2−4=42．

(3)证明：垂直于y轴的直线l1过点C且与M的轨迹