2.2一元二次不等式的解法

2.2一元二次不等式的解法(1)第1页，共46页。注：1、区间也是集合的表达方式之一。

2、a、b叫做区间的端点。（a<b）一、区间的概念：第2页，共46页。同解（不）等式

同解（不）等式：如果两个（不）等式的解集相同，那么这两个（不）等式叫做同解（不）等式第3页，共46页。引入汽车在遇到紧急情况时，即司机马上刹车，但由于惯性的作用，刹车后的汽车任会继续往前滑行一段距离后才会停下，这段距离叫做刹车距离。车速越快，刹车距离越长，事故发生的可能性越大。试验表明，某种型号的汽车当速度每小时小于100千米时，若行驶在水泥路面上，则汽车的刹车距离s（米）与汽车的速度x（千米/时）有如下关系：某次交通事故中，测得一肇事汽车的刹车距离大于45.5米，问这汽车刹车前的车速情况。根据题意，得第4页，共46页。只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次，这样的不等式叫做一元二次不等式。一般形式：ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a≠0)二、定义不等式怎么解？ax2＋bx＋c=0第5页，共46页。例1、解一元二次不等式：x²-x-2>0

(x-2)(x+1)>0y=(x-2)(x+1)三、解法代数解法几何解法第6页，共46页。四、练习解一元二次不等式练习1：

(1)(x-5)(x+1)<0

(2)(5-x)(x-2)<0

(3)-3x2+x+2<0

(4)3x2-x-1<0第7页，共46页。例1：五、例题例2：写出一个一元二次不等式，使它的解集为

（-1，3）第8页，共46页。六、思考若不等式ax2+2x+b>0的解集为

(-1,2)，求a,b的值解不等式组-7<x2+8x+8≤-4求解一元二次不等式一般步骤Δ<0的一元二次不等式如何求解？第9页，共46页。作业习题2.2A组1，2，3，4一课一练第10页，共46页。2.2一元二次不等式的解法(2)第11页，共46页。例：16-24x≤-9x2例：练习：P36练习2.2（2）1，2第12页，共46页。一看：看二次项系数的符号，将不等式转化为标准形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)二算：计算判别式，进而解方程ax2＋bx＋c=0．三画：画出二次函数的大致图像。四写：写出不等式的解集（常用区间表示）。一、解一元二次不等式的一般步骤第13页，共46页。

二次函数△情况一元二次方程一元二次不等式

y=ax2+bx+c(a＞0)△=b2-4acax2+bx+c=0(a＞0)ax2+bx+c＞0

(a＞0)ax2+bx+c＜0

(a＞0)

图

像

与

解△＞0△=0△＜0方程无解不等式解集为R(一切实数)不等式解集

｛x|x≠x0,

x∈R｝不等式解集为｛x｜x＜x1或x＞x2｝不等式解集为｛x｜x1＜x＜x2}解集为解集为x2=x1=x0=a＜0的情况自己完成

第14页，共46页。二、典型习题——逆用解不等式已知不等式ax2+bx+c>0的解集为

(-2,3)，求不等式cx2+ax-b<0的解集。求a,b满足的条件，使得ax2+2x+b>0的解集为

（1）(-1，2)

（2）(-∞,+∞)第15页，共46页。三、典型习题——解不等式组-7<x2+8x+8x2+8x+8≤-42：解不等式组注意：处理不等式组时要多多使用数轴第16页，共46页。练习主要练一元二次不等式组的解法第17页，共46页。四、思考

第18页，共46页。作业习题2.2A组5，6，7，8，9习题2.2B组1,2,3,4第19页，共46页。2.2一元二次不等式的解法应用题数学来源于生活，又服务于生活第20页，共46页。数学是对生活的一种提炼若水杯中的b克糖水里含有a克糖，如果在添上m克糖，糖水会变得更甜，试将这一事实用数学关系式表示出来，并加以证明第21页，共46页。例题1、某服装公司生产的衬衫，每件定价80元，在某城市年销售8万件。现该公司在该市设立代理商来销售衬衫。代理商要收取代销费，代销费为销售金额的r%（即每销售100元收取r元）。为此，该衬衫每件价格要提高到(80/1-r%)元才能保证公司利润，由于提价每年将少销售0.62r万件，如果代理商每年收取的代理费不少于16万，求r的取值范围解：据题意：代理费=r%×销售额销售额=每件衬衫价格×销售衬衫的数量8-0.62r即3.1r2-41r+100≤0=>100/31≤r≤10因此，所求的r取值范围是[100/31，10]第22页，共46页。练习1某旅店有200张床位，若每床一晚上租金27元，则可全部出租；若将出租收费标准每晚提高10的整数倍，则出租的床位会将减少10的相应倍数张。若要是该旅店某晚的收入超过10000元，则每个床位的出租价格应定在什么范围内？解：设将出租费用提高10的n倍据题意得不等式:(200-10n)(27+10n)>10000解此不等式得：第23页，共46页。练习2某厂计划全年完成产值60万元，前三个季度已完成43.45万元，如果10月份的产值是5万元，那么最后两个月中，月平均增长率是多少时才能超额完成年计划？设月平均增长率为x据题意得不等式：5+5(1+x)+5(1+x)2+43.45>60整理后得：x2+3x-0.31>0解得：（-∞，-3.1）∪（0.1，+∞）因为增长率不为负，所以x>0.1月平均增长率为10%以上才能超额完成年计划解：答：第24页，共46页。解应用题的一般步骤：审题求解建模作答——从实际问题中寻找关键词、数据——利用所学的知识寻找答案——方程、不等式、函数等数学模型——回答问题，去解决实际问题第25页，共46页。例2 台风距离码头南偏东60(^度)的400千米处有一个台风中心。已知台风以每小时40千米的速度向正北方向移动，距台风中心350千米以内都受到台风影响，问从现在起多少小时候码头将受台风影响，码头受台风影响的时间大约多少？第26页，共46页。思考题2007年第13号台风“韦帕”，9月19日10点中心位置已经到达上海南偏东30度480公里的海面上，近中心的最大风力大于12级，离中心450公里以内的地方风力有8级和8级以上。与此同时台风中心正以每小时18公里的速度朝西北方向移动。问题一：如果以这样的速度和方向移动，从此时起（9月19日10点）多少时间后，上海将受到台风“韦帕”的影响。（8级和8级以上风力）持续多久？（精确到0.1）问题二：上海受其影响在什么时间到达最大？此时台风中心离上海有多远？（精确到0.1）问题三：如果以这样的速度和方向移动，同时由于台风向内地移动的同时风力圈以10公里/小时的速度减小。此时上海受其影响的时间持续多久？（精确到0.1）第27页，共46页。思考题2007年第13号台风“韦帕”，9月19日10点中心位置已经到达上海南偏东30度480公里的海面上，近中心的最大风力大于12级，离中心450公里以内的地方风力有8级和8级以上。与此同时台风中心正以每小时18公里的速度朝西北方向移动。问题四：台风“韦帕”对上海造成一定的影响，但社会有一定的防御措施。如果直接经济损失Y元与台风的级数E、台风持续时间T、社会防御级数a（a为社会防御级数，范围为不大于12的自然数）的关系如下：（1）当台风“韦帕”的级数是12，影响上海的持续时间为30小时，社会防御级数是7级时，直接经济损失是多少？（2）当台风“韦帕”的级数不超过12级，影响上海的持续时间为30小时，直接经济损失不超过9000万元。社会防御级数的范围是多少？第28页，共46页。思考题解答解：如图建立坐标系，以上海为原点:

9月19日10点中心位置:设经过t小时台风中心的位置:台风距离上海距离:（1）据题意：解得：答：从此时起（9月19日10点）1.8小时后，上海将受到台风“韦帕”的影响。（8级和8级以上风力）持续47.9小时.（2）当 距离最近

答：上海受其影响在25.8小时后达到最大，距离最近为124米第29页，共46页。思考题解答解：设经过t小时受影响台风圈的大小：450-10t台风距离上海的距离:（3）据题意：解此一元二次不等式得：答：此时上海受其影响的时间持续26.1小时第30页，共46页。一元二次不等式应用题的小结注意阅读题目，搞清关键数字及语句。学会把题意与所学知识联系起来。把文字语言转化为数学语言，逐渐培养数学建模能力。第31页，共46页。作业习题2.2A组10

习题2.2B组5第32页，共46页。国家为了加强对于烟酒生产的宏观管理，除了应缴税收外，还征收附加税。已知某种酒每瓶销售价为70元，不收附加税时，每年大约产销100万瓶；若征收附加税，每销100元要征附加税r元（叫做税率r%）,则每年的产销量将减少10r万瓶。如果要使每年在此项经营中所收取的附加税不少于112万元，那么r应如何确定？解：设产销量为每年（万瓶），则销售收入每年（万元）,从中征收附加税额为(万元)，并且

据题意得不等式：70（100-10r）r%≥112=〉2≤r≤8答：税率定在2%到8%之间，年征收税额将不低于112万元。第33页，共46页。三个“二次”的联系第34页，共46页。预习，试做当k为何值时，关于x的一元二次不等式x2+(k-1)x+4>0

的解集为(-∞,+∞)?当k为何值时，关于x的不等式(k-1)x2+(k-1)x+4≥0

对于一切实数x都成立？当k为何值时，关于x的不等式(k-1)x2+(k-1)x+4<0有实数解？当k为何值时，关于x的一元二次不等式x2+(k-1)x+4<0

的解集为A，且2∈A?当k为何值时,B=(1,3)中所有元素都是x2+(k-1)x+4<0的解?第35页，共46页。二次不等式：一、引入二次函数：二次方程：第36页，共46页。

二次函数△情况一元二次方程一元二次不等式

y=ax2+bx+c(a＞0)△=b2-4acax2+bx+c=0(a＞0)ax2+bx+c＞0(a＞0)ax2+bx+c＜0(a＞0)

图

像

与

解△＞0△=0△＜0方程无解不等式解集为R(一切实数)不等式解集｛x｜x≠x0,x∈R｝不等式解集为｛x｜x＜x1或x＞x2｝不等式解集为｛x｜x1＜x＜x2}解集为解集为x2=x1=x0=a＜0的情况自己完成

第37页，共46页。例题例1、当k为何值时，关于x的一元二次不等式x2+(k-1)x+4>0的解集为(-∞,+∞)?解：函数y=x2+(k-1)x+4的图像：开口向上，与x轴无交点。即，方程x2+(k-1)x+4=0无实根。△<0(k-1)2-16<0答：当时，关于x的一元二次不等式x2+(k-1)x+4>0的解集为第38页，共46页。练习1、当k为何值时，关于x的二次函数y=kx2-4x+k的图像全在x轴上方。例1、当k为何值时，关于x的一元二次不等式x2+(k-1)x+4>0的解集为(-∞,+∞)?“二次”二次项系数为字母二次项系数不为0要研究开口方向第39页，共46页。练习2、当k为何值时，关于x的不等式（k-1）x2+(k-1)x+4≥0对于一切实数x都成立。少了“一元二次”二次项系数改为“k-1”“>”改为“≥”不一定是一元二次不等式要研究开口方向相应方程至多有一解例1、当k为何值时，关于x的一元二次不等式x2+(k-1)x+4>0的解集为(-∞,+∞)?第40页，共46页。例2：当k为何值时，关于x的不等式(k-1)x2+(k-1)x+4<0有实数解？一种解法:先考虑(k-1)x2+(k-1)x+4<0无实数解时，

k的取值范围。答:(k-1)x2-(k-1)x+4<0有实数解时，k的取值范围k∈(-∞，1)∪(17，+∞)(a)k-1=0,x2+(k-1)x+4<0无实数解(b)k-1≠0，当k-1>0且Δ≤0,(k-1)x2+(k-1)x+4<0无实数解

k∈(1,17]由a),b)可知k∈[1,17]第41页，共46页。例3