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文档简介
2022-2023学年四川省成都市成都实验高级中学高三(下)期中数学试题试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识,驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗,协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗,每个路口至少一人,且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A.12种 B.24种 C.36种 D.48种2.已知倾斜角为的直线与直线垂直,则()A. B. C. D.3.将函数图象向右平移个单位长度后,得到函数的图象关于直线对称,则函数在上的值域是()A. B. C. D.4.已知关于的方程在区间上有两个根,,且,则实数的取值范围是()A. B. C. D.5.若双曲线:()的一个焦点为,过点的直线与双曲线交于、两点,且的中点为,则的方程为()A. B. C. D.6.设,,是非零向量.若,则()A. B. C. D.7.复数的实部与虚部相等,其中为虚部单位,则实数()A.3 B. C. D.8.等腰直角三角形BCD与等边三角形ABD中,,,现将沿BD折起,则当直线AD与平面BCD所成角为时,直线AC与平面ABD所成角的正弦值为()A. B. C. D.9.定义在上的奇函数满足,若,,则()A. B.0 C.1 D.210.集合的真子集的个数是()A. B. C. D.11.如图,用一边长为的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,将体积为的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变,则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为()A. B. C. D.12.设等比数列的前项和为,若,则的值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且,,,则_______.14.随着国力的发展,人们的生活水平越来越好,我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高.为了掌握学生的体质与健康现状,合理制定学校体育卫生工作发展规划,某市进行了一次全市高中男生身高统计调查,数据显示全市30000名高中男生的身高(单位:)服从正态分布,且,那么该市身高高于的高中男生人数大约为__________.15.已知双曲线的左焦点为,、为双曲线上关于原点对称的两点,的中点为,的中点为,的中点为,若,且直线的斜率为,则__________,双曲线的离心率为__________.16.在中,角的对边分别为,且,若外接圆的半径为,则面积的最大值是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设数列的前n项和满足,,,(1)证明:数列是等差数列,并求其通项公式﹔(2)设,求证:.18.(12分)已知椭圆的左,右焦点分别为,,,M是椭圆E上的一个动点,且的面积的最大值为.(1)求椭圆E的标准方程,(2)若,,四边形ABCD内接于椭圆E,,记直线AD,BC的斜率分别为,,求证:为定值.19.(12分)已知函数,.(Ⅰ)当时,求曲线在处的切线方程;(Ⅱ)求函数在上的最小值;(Ⅲ)若函数,当时,的最大值为,求证:.20.(12分)如图,在矩形中,,,点分别是线段的中点,分别将沿折起,沿折起,使得重合于点,连结.(Ⅰ)求证:平面平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.21.(12分)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为.(1)求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程;(2)直线l与圆C交于A,B两点,点P(2,1),求|PA|⋅|PB|的值.22.(10分)某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖.如图,该弓形所在的圆是以为直径的圆,且米,景观湖边界与平行且它们间的距离为米.开发商计划从点出发建一座景观桥(假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行),桥面在湖面上的部分记作.设.(1)用表示线段并确定的范围;(2)为了使小区居民可以充分地欣赏湖景,所以要将的长度设计到最长,求的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
先将甲、乙两人看作一个整体,当作一个元素,再将这四个元素分成3个部分,每一个部分至少一个,再将这3部分分配到3个不同的路口,根据分步计数原理可得选项.【详解】把甲、乙两名交警看作一个整体,个人变成了4个元素,再把这4个元素分成3部分,每部分至少有1个人,共有种方法,再把这3部分分到3个不同的路口,有种方法,由分步计数原理,共有种方案。故选:C.【点睛】本题主要考查排列与组合,常常运用捆绑法,插空法,先分组后分配等一些基本思想和方法解决问题,属于中档题.2.D【解析】
倾斜角为的直线与直线垂直,利用相互垂直的直线斜率之间的关系,同角三角函数基本关系式即可得出结果.【详解】解:因为直线与直线垂直,所以,.又为直线倾斜角,解得.故选:D.【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系,同角三角函数基本关系式,考查计算能力,属于基础题.3.D【解析】
由题意利用函数的图象变换规律,三角函数的图象的对称性,余弦函数的值域,求得结果.【详解】解:把函数图象向右平移个单位长度后,可得的图象;再根据得到函数的图象关于直线对称,,,,函数.在上,,,故,即的值域是,故选:D.【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律,三角函数的图象的对称性,余弦函数的值域,属于中档题.4.C【解析】
先利用三角恒等变换将题中的方程化简,构造新的函数,将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题,画出函数图象,再结合,解得的取值范围.【详解】由题化简得,,作出的图象,又由易知.故选:C.【点睛】本题考查了三角恒等变换,方程的根的问题,利用数形结合法,求得范围.属于中档题.5.D【解析】
求出直线的斜率和方程,代入双曲线的方程,运用韦达定理和中点坐标公式,结合焦点的坐标,可得的方程组,求得的值,即可得到答案.【详解】由题意,直线的斜率为,可得直线的方程为,把直线的方程代入双曲线,可得,设,则,由的中点为,可得,解答,又由,即,解得,所以双曲线的标准方程为.故选:D.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程的求解,其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组,合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.6.D【解析】试题分析:由题意得:若,则;若,则由可知,,故也成立,故选D.考点:平面向量数量积.【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是:①利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易);②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难);③建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.7.B【解析】
利用乘法运算化简复数即可得到答案.【详解】由已知,,所以,解得.故选:B【点睛】本题考查复数的概念及复数的乘法运算,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.8.A【解析】
设E为BD中点,连接AE、CE,过A作于点O,连接DO,得到即为直线AD与平面BCD所成角的平面角,根据题中条件求得相应的量,分析得到即为直线AC与平面ABD所成角,进而求得其正弦值,得到结果.【详解】设E为BD中点,连接AE、CE,由题可知,,所以平面,过A作于点O,连接DO,则平面,所以即为直线AD与平面BCD所成角的平面角,所以,可得,在中可得,又,即点O与点C重合,此时有平面,过C作与点F,又,所以,所以平面,从而角即为直线AC与平面ABD所成角,,故选:A.【点睛】该题考查的是有关平面图形翻折问题,涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解,在解题的过程中,注意空间角的平面角的定义,属于中档题目.9.C【解析】
首先判断出是周期为的周期函数,由此求得所求表达式的值.【详解】由已知为奇函数,得,而,所以,所以,即的周期为.由于,,,所以,,,.所以,又,所以.故选:C【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性,属于基础题.10.C【解析】
根据含有个元素的集合,有个子集,有个真子集,计算可得;【详解】解:集合含有个元素,则集合的真子集有(个),故选:C【点睛】考查列举法的定义,集合元素的概念,以及真子集的概念,对于含有个元素的集合,有个子集,有个真子集,属于基础题.11.D【解析】
先求出球心到四个支点所在球的小圆的距离,再加上侧面三角形的高,即可求解.【详解】设四个支点所在球的小圆的圆心为,球心为,由题意,球的体积为,即可得球的半径为1,又由边长为的正方形硬纸,可得圆的半径为,利用球的性质可得,又由到底面的距离即为侧面三角形的高,其中高为,所以球心到底面的距离为.故选:D.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征,以及球的性质的综合应用,着重考查了数形结合思想,以及推理与计算能力,属于基础题.12.C【解析】
求得等比数列的公比,然后利用等比数列的求和公式可求得的值.【详解】设等比数列的公比为,,,,因此,.故选:C.【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用,解答的关键就是求出等比数列的公比,考查计算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.9【解析】
已知由余弦定理即可求得,由可求得,即可求得,利用正弦定理即可求得结果.【详解】由余弦定理和,可得,得,由,,,由正弦定理,得.故答案为:.【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,难度一般.14.3000【解析】
根据正态曲线的对称性求出,进而可求出身高高于的高中男生人数.【详解】解:全市30000名高中男生的身高(单位:)服从正态分布,且,则,该市身高高于的高中男生人数大约为.故答案为:.【点睛】本题考查正态曲线的对称性的应用,是基础题.15.【解析】
设,,根据中点坐标公式可得坐标,利用可得到点坐标所满足的方程,结合直线斜率可求得,进而求得;将点坐标代入双曲线方程,结合焦点坐标可求得,进而得到离心率.【详解】左焦点为,双曲线的半焦距.设,,,,,,即,,即,又直线斜率为,即,,,,在双曲线上,,即,结合可解得:,,离心率.故答案为:;.【点睛】本题考查直线与双曲线的综合应用问题,涉及到直线截双曲线所得线段长度的求解、双曲线离心率的求解问题;关键是能够通过设点的方式,结合直线斜率、垂直关系、点在双曲线上来构造方程组求得所需变量的值.16.【解析】
由正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简已知等式,结合范围可求的值,利用正弦定理可求的值,进而根据余弦定理,基本不等式可求的最大值,进而根据三角形的面积公式即可求解.【详解】解:,由正弦定理可得:,,,又,,,即,可得:,外接圆的半径为,,解得,由余弦定理,可得,又,(当且仅当时取等号),即最大值为4,面积的最大值为.故答案为:.【点睛】本题主要考查了正弦定理,三角函数恒等变换的应用,余弦定理,基本不等式,三角形的面积公式在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)证明见解析,;(2)证明见解析【解析】
(1)由,作差得到,进一步得到,再作差即可得到,从而使问题得到解决;(2),求和即可.【详解】(1),,两式相减:①用换,得②②—①,得,即,所以数列是等差数列,又,∴,,公差,所以.(II).【点睛】本题考查由与的关系求通项以及裂项相消法求数列的和,考查学生的计算能力,是一道容易题.18.(1)(2)证明见解析【解析】
(1)设椭圆E的半焦距为c,由题意可知,当M为椭圆E的上顶点或下顶点时,的面积取得最大值,求出,即可得答案;(2)根据题意可知,,因为,所以可设直线CD的方程为,将直线代入曲线的方程,利用韦达定理得到的关系,再代入斜率公式可证得为定值.【详解】(1)设椭圆E的半焦距为c,由题意可知,当M为椭圆E的上顶点或下顶点时,的面积取得最大值.所以,所以,,故椭圆E的标准方程为.(2)根据题意可知,,因为,所以可设直线CD的方程为.由,消去y可得,所以,即.直线AD的斜率,直线BC的斜率,所以,故为定值.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中的定值问题,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意坐标法的运用.19.(Ⅰ)(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)见解析.【解析】试题分析:(Ⅰ)由题,所以故,,代入点斜式可得曲线在处的切线方程;(Ⅱ)由题(1)当时,在上单调递增.则函数在上的最小值是(2)当时,令,即,令,即(i)当,即时,在上单调递增,所以在上的最小值是(ii)当,即时,由的单调性可得在上的最小值是(iii)当,即时,在上单调递减,在上的最小值是(Ⅲ)当时,令,则是单调递减函数.因为,,所以在上存在,使得,即讨论可得在上单调递增,在上单调递减.所以当时,取得最大值是因为,所以由此可证试题解析:(Ⅰ)因为函数,且,所以,所以所以,所以曲线在处的切线方程是,即(Ⅱ)因为函数,所以(1)当时,,所以在上单调递增.所以函数在上的最小值是(2)当时,令,即,所以令,即,所以(i)当,即时,在上单调递增,所以在上的最小值是(ii)当,即时,在上单调递减,在上单调递增,所以在上的最小值是(iii)当,即时,在上单调递减,所以在上的最小值是综上所述,当时,在上的最小值是当时,在上的最小值是当时,在上的最小值是(Ⅲ)因为函数,所以所以当时,令,所以是单调递减函数.因为,,所以在上存在,使得,即所以当时,;当时,即当时,;当时,所以在上单调递增,在上单调递减.所以当时,取得最大值是因为,所以因为,所以所以20.(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)根据,,可得平面,故而平面平面.(Ⅱ)过作于,则可证平面,故为所求角,在中利用余弦定理计算,再计算.【详解】解:(Ⅰ)因为,,,平面,平面所以平面,又平面
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