2024八年级数学上册第七章平行线的证明专项突破19三角形内角外角关系应用的七种常见题型习题课件新版北师大版

第七章平行线的证明专项突破19三角形内角、外角关系应用的七种常见题型题型1三角形内角和在叠放中的应用1.

[2024舟山中学月考]如图，有一块直角三角尺

DEF

放置

在△

ABC

上，三角尺

DEF

的两条直角边

DE

，

DF

恰好分

别经过点

B

，

C

.

请写出∠

BDC

与∠

A

＋∠

ABD

＋∠

ACD

之间的数量关系，并说明理由.2345671解：∠

BDC

＝∠

A

＋∠

ABD

＋∠

ACD

.

理由如下：∵∠

BDC

＋∠

DBC

＋∠

DCB

＝180°，∠

A

＋∠

ABC

＋

∠

ACB

＝∠

A

＋∠

ABD

＋∠

ACD

＋∠

DBC

＋∠

DCB

＝

180°，∴∠

BDC

＝∠

A

＋∠

ABD

＋∠

ACD

.

2345671题型2三角形内、外角关系和垂线结合中的应用2.

[2024荆州期末]如图，在△

ABC

中，

AD

平分∠

BAC

，点

E

在射线

BC

上，

EF

⊥

AD

于点

F

，∠

B

＝40°，∠

ACE

＝76°，求∠

E

的度数.2345671

∴∠

E

＝90°－∠

ADC

＝90°－58°＝32°.2345671题型3三角形内角和在翻折中的应用3.

【新视角·动点探究题】[2024·绍兴建功中学月考]如图，

在△

ABC

中，∠

ABC

＝40°，

∠

ACB

＝90°，

AE

平分

∠

BAC

，且

AE

交

BC

于点

E

.

P

是边

BC

上的动点(

P

不与

B

，

C

重合)，连接

AP

，将△

APC

沿

AP

翻折得△

APD

，

连接

DC

，记∠

BCD

＝α.(1)如图，当

P

与

E

重合时，求α的度数；解：(1)α＝25°.23456713.

【新视角·动点探究题】[2024·绍兴建功中学月考]如图，

在△

ABC

中，∠

ABC

＝40°，

∠

ACB

＝90°，

AE

平分

∠

BAC

，且

AE

交

BC

于点

E

.

P

是边

BC

上的动点(

P

不与

B

，

C

重合)，连接

AP

，将△

APC

沿

AP

翻折得△

APD

，

连接

DC

，记∠

BCD

＝α.(2)当

P

与

E

不重合时，记∠

BAD

＝β，探究α与β的数量关系.2345671解：(2)Ⅰ.如图①，当点

P

在线段

BE

上时，∵∠

ADC

＝∠

ACD

＝90°－α，∠

ADC

＋∠

BAD

＝∠

B

＋∠

BCD

，∴90°－α＋β＝40°＋α，∴2α－β＝50°.2345671Ⅱ.如图②，当点

P

在线段

CE

上时，延长

AD

交

BC

于点

F

.

∵∠

ADC

＝∠

ACD

＝90°－α，∠

ADC

＝∠

AFC

＋α＝∠

ABC

＋∠

BAD

＋α＝40°＋α＋β，∴90°－α＝40°＋α＋β，∴2α＋β＝50°.2345671题型4三角形内、外角关系与平行线结合中的应用4.

已知：

AB

∥

CD

，∠

AEB

＝∠

BFC

.

(1)如图①，求证：∠

AEB

＝∠

ABE

＋∠

DCF

；2345671(1)证明：如图①，过点

F

作

FH

∥

AB

，则∠1＝∠2.∵

AB

∥

CD

，∴

FH

∥

CD

，∴∠3＝∠

FCD

.

∵∠2＝∠

ABE

，∴∠1＝

ABE

.

∵∠

BFC

＝∠1＋∠3，∴∠

BFC

＝∠

ABE

＋∠

FCD

.

∵∠

AEB

＝∠

BFC

，∴∠

AEB

＝∠

ABE

＋∠

DCF

.

2345671

4.

已知：

AB

∥

CD

，∠

AEB

＝∠

BFC

.

2345671(2)解：补全图形如图②，结论：2(∠

BMC

＋∠

AEB

)

＝3∠

CAB

.

证明如下：设∠

BCP

＝∠

DCP

＝

x

，∠

ABE

＝∠

PBF

＝

y

，∠

PCF

＝

z

.∵∠

BCF

＝2∠

ABE

，∠

BCF

＝∠

BCP

＋∠

PCF

，∴

x

＋

z

＝2

y

，即2

y

－

z

＝

x

.由(1)知，∠

BFC

＝∠

AEB

＝∠

ABE

＋∠

DCF

＝∠

ABE

＋∠

DCP

－∠

PCF

＝

y

＋

x

－

z

，2345671∴∠

BMC

＝∠

PCF

＋∠

BFC

＝

z

＋

y

＋

x

－

z

＝

x

＋

y

，∴∠

BMC

＋∠

AEB

＝

x

＋

y

＋

y

＋

x

－

z

＝3

x

.∵∠

CAB

＝∠

AEB

＋∠

ABE

＝

x

＋

y

－

z

＋

y

＝2

x

，

∴2(∠

BMC

＋∠

AEB

)＝3∠

CAB

.

2345671题型5三角形内角、外角关系在整体思想中的应用5.

[2024南昌外国语学校月考]如图，在△

ABC

中，∠

ABC

，∠

ACB

的平分线交于点

O

，

D

是外角∠

ACH

与内角

∠

ABC

的平分线的交点，∠

BOC

＝120°.(1)求∠

A

的度数；2345671解：(1)∵∠

BOC

＝120°，∴∠

OBC

＋∠

OCB

＝60°.∵∠

ABC

，∠

ACB

的平分线交于点

O

，∴∠

ABC

＝2∠

OBC

，∠

ACB

＝2∠

OCB

.

∴∠

ABC

＋∠

ACB

＝2(∠

OBC

＋∠

OCB

)＝120°.∴∠

A

＝180°－(∠

ABC

＋∠

ACB

)＝60°.

2345671(2)求∠

D

的度数.5.

[2024南昌外国语学校月考]如图，在△

ABC

中，∠

ABC

，∠

ACB

的平分线交于点

O

，

D

是外角∠

ACH

与内角

∠

ABC

的平分线的交点，∠

BOC

＝120°.2345671

2345671题型6三角形内角、外角关系在方程思想中的应用6.

如图，

AD

平分∠

BAC

，∠

EAD

＝∠

EDA

.

(1)求证：∠

EAC

＝∠

B

；(1)证明：∵

AD

平分∠

BAC

，∴∠

BAD

＝∠

CAD

.

又∵∠

EAD

＝∠

EDA

，∴∠

EAC

＝∠

EAD

－∠

CAD

＝∠

EDA

－∠

BAD

＝∠

B

.

2345671(2)若∠

B

＝50°，∠

CAD

∶∠

E

＝1∶3，求∠

E

的度数.(2)解：设∠

CAD

＝

x

，则∠

E

＝3

x

.由(1)知∠

EAC

＝∠

B

＝50°，∴∠

EDA

＝∠

EAD

＝

x

＋50°.在△

EAD

中，∵∠

E

＋∠

EAD

＋∠

EDA

＝180°，6.

如图，

AD

平分∠

BAC

，∠

EAD

＝∠

EDA

.

∴3

x

＋2(

x

＋50°)＝180°，解得

x

＝16°.∴3

x

＝48°，即∠

E

＝48°.2345671题型7三角形内角和在类比思想中的应用7.

[教材P185复习题T9变式]如图，在△

ABC

中，

AD

⊥

BC

，

AE

平分∠

BAC

，∠

B

＝70°，∠

C

＝30°.(1)求∠

DAE

的度数.2345671解：(1)∵

AD

⊥

BC

，∴∠

ADE

＝90°.∵∠

ADE

＝∠

B

＋∠

BAD

，∴∠

BAD

＝90°－∠

B

＝90°－70°＝20°.

∵∠

B

＋∠

C

＝70°＋30°＝100°，

2345671(2)探究：小明认为如果条件∠

B

＝70°，∠

C

＝30°改

成∠

B

－∠

C

＝40°，也能得出∠

DAE

的度数，你认

为能吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明

理由.7.

[教材P185复习题T9变式]如图，在△

ABC

中，

AD

⊥

BC

，

AE

平分∠

BAC

，∠

B

＝70°，∠

C

＝30°.23