山东省烟台市2024-2025学年高二上学期期中模拟数学试题含答案

山东省烟台市2024-2025学年高二上学期期中模拟数学试题一、单选题1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可得答案.【详解】解：因为直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则有，解得，所以其倾斜角为．故选：A．2.直线的一个方向向量为，且直线经过点，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据已知条件，先求出直线的斜率，再结合直线的点斜式公式，即可求解．【详解】直线的一个方向向量为则直线的斜率为，直线过点，则，即．故选：A．3.空间四边形中，，点在上，，点为中点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用空间向量的运算法则，准确化简，即可求解.【详解】空间四边形OABC中，，且点在上，，点为的中点，连接，可得.故选：B.4.以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据直线过定点可得圆心坐标，再结合半径可得圆的方程.【详解】由，得，令，则，即直线恒过定点，则圆的方程为，即，故选：D.5.已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由得，然后两边平方，结合向量数量积的运算求向量的夹角.【详解】设与的夹角为，由，得，两边同时平方得，所以1，解得，又，所以.故选：D6.如图，在直三棱柱中，且，则直线与所成的角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，用向量方法求角，先求向量与的夹角，再转化为线线角即可.【详解】如图，由题意，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.不妨设，则，则，则，又由两直线所成角的范围为，则直线与所成的角为.故选：C.7.在中，点，点，点A满足，则面积的最大值为（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，根据，得到方程，求出点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（除去与轴的两个交点），数形结合得到点到直线的距离最大值为，求出面积的最大值.【详解】设，则，由得，化简得，故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（除去与轴的两个交点），故点到直线距离最大值为，故面积的最大值为.故选：B8.已知圆O的方程为，过圆O外一点作圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A､B，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量数量积运算求得，即.设，由直线与圆的关系建立不等式组，求解即可.【详解】解：由，得即，所以，即.设，根据题意，直线与圆有公共点，所以，解得（当直线与圆相切时取等号），即的取值范围为.故选：C.二、多选题9.已知直线l经过点，.则下列结论中正确的是（）A.直线l的斜率是B.直线l的倾斜角是C.直线l的方向向量与向量平行D.直线l的法向量与向量平行【答案】AD【解析】【分析】根据两点表示斜率即可判断A；由推不得即可判断B；根据共线向量的坐标表示即可判断CD.【详解】A：由题意，知直线l的斜率是，故A正确；B：直线l的倾斜角满足，但不一定有，故B错误；C：直线l的一个方向向量为，因为，所以直线l的一个方向向量与向量不平行，故C错误；D：直线l的一个法向量为，因为，所以直线l的一个法向量与向量平行，故D正确.故选：AD10.给出下列命题正确的是（）A.直线的方向向量为，平面的法向量为，则与平行B直线恒过定点C.已知直线与直线垂直，则实数的值是D.已知三点不共线，对于空间任意一点，若，则四点共面【答案】BD【解析】【分析】根据空间向量、直线过定点、直线垂直、四点共面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，，所以与不平行，A选项错误.B选项，由，得，由，解得，所以定点为，B选项正确.C选项，由，解得或，C选项错误.D选项，由于，其中，所以四点共面，D选项正确.故选：BD11.P为棱长为2的正方体表面上的一个动点，则（）A.当P在线段上运动时，三棱锥的体积是定值B.当P在线段上运动时，异面直线与所成角的取值范围是C.当P在面ABCD内运动时，R为棱的中点且平面，则点P的轨迹长度为D.当P在面内运动时，Q为棱BC的中点且，则的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】由已知可得，平面，则直线上任意一点到平面的距离都相等，则三棱锥的体积是定值，即可判断A；由，则异面直线与所成的角就是直线与所成的角，即可判断B；由已知所在的平面为如图所示正六边形，该正六边形的六个顶点分别为对应棱的中点，则点P的轨迹即为，求出，即可判断C；建立空间直角坐标系，由，可得，设，由空间向量坐标运算，可求得，即三棱锥的高取得最大值，则求得的最大值为，即可判断D.【详解】对于A选项，因为且，故四边形为平行四边形，所以，平面，平面，平面，所以直线上任意一点到平面的距离都相等，即为三棱锥的高，则三棱锥的体积是定值，故A正确；对于B选项，设直线与所成的角为，因为，所以异面直线与所成的角就是直线与所成的角，当在线段的端点处时，，当在线段的中点时，，所以，故B错误；对于C选项，P在面ABCD内运动时，R为棱的中点，因为平面，作过的平面，平面平面，该六边形的六个顶点分别为对应棱的中点，则所在的平面为如图所示正六边形，设中点为，点P的轨迹即为，则，故C正确；对于D选项，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，因为P在面内运动，Q为棱BC的中点，因为在正方体中，平面，平面，所以，则是直角三角形，同理，则是直角三角形，又，则，即，所以，则，因为，设，，则即为三棱锥的高，所以，整理得，，当时，，即三棱锥的高取得最大值，又，此时，.即的最大值为，故D正确.故选：ACD.三、填空题12.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是_______．【答案】##【解析】【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算即得.【详解】直线与直线平行，则，解得，直线为，所以它们之间的距离是.故答案为：13.在长方体中，已知异面直线与，与所成角的大小分别为和，为中点，则点到平面的距离为_______.【答案】##【解析】【分析】建立空间直角坐标系设，根据异面直线与，与所成角求出，再应用空间向量公式计算点到平面距离即可.【详解】如图建立以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为x轴，所在直线为z轴的空间直角坐标系，且设，则，则，因为异面直线与所成角为，所以因为异面直线与所成角为，所以计算可得，设平面法向量为n=x,y,z，则，令，则因为，则点到平面的距离.故答案为：.14.已知动圆，则圆在运动过程中所经过的区域的面积为______；为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点为A、B，当时，的取值范围为______.【答案】①.②.【解析】【分析】分析可得动圆的圆心，半径，在以圆心，半径的圆上，圆在运动过程中所经过的区域的面积相当于以圆心，半径为的圆的面积；由倍角公式及几何关系可得，分析的范围结合换元法即可求．【详解】动圆的圆心，半径，令，则由得在以圆心，半径的圆上．圆在运动过程中所经过的区域的面积相当于以圆心，半径为的圆的面积，即；到直线的距离，由，则，即，，令，则，则，由对勾函数在上单调递增，故，有.所以的取值范围为.故答案为：；.四、解答题15.已知顶点、、．（1）求边的垂直平分线的方程；（2）若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据、，即可得中点及斜率，进而可得其中垂线方程；（2）当直线过坐标原点时可得直线方程；当直线不过坐标原点时，根据直线的截距式可得解.【小问1详解】由、，可知中点为，且，所以其垂直平分线斜率满足，即，所以边的垂直平分线的方程为，即；【小问2详解】当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意；当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为，由过点，则，解得，所以直线方程为，即，综上所述，直线的方程为或.16.如图三棱柱中，，，，平面平面，D是棱AC的中点.（1）求证：平面；（2）求到直线BD的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接交于，证得，结合线面平行的判定定理，即可得证；（2）利用面面垂直的性质，证得平面，以为原点，建立空间直角坐标系，求得向量和，结合距离公式，即可求解.【小问1详解】如图所示，在三棱柱中，连接交于，再连接，因为四边形是平行四边形，所以是的中点，又因为是中点，所以，因为平面A1BD，平面，所以平面.【小问2详解】因为，由余弦定理得，所以，可得，又由平面平面，平面平面，所以平面，又因为，故两两垂直，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以，，且，则，，，所以C1到直线BD的距离为.17.已知圆C：与圆：.（1）求C与相交所得公共弦长；（2）若过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，其中O为坐标原点，且，求【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）由题意知，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，求得圆心到该直线的距离d，利用弦长公式可求得所求弦长；（2）易知直线l的方程为，与圆C的方程联立，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，结合题意即可求得【小问1详解】由题意知，两圆的公共弦所在直线方程为整理得，圆心到直线的距离，所以所求弦长为；【小问2详解】由题设可知直线l的方程为，设Px1,将代入方程，整理得，所以，，，因为，解得k=1，经检验，直线与圆有交点，所以直线l的方程为，故圆心C在直线l上，所以18.已知平面五边形如图1所示，其中，是正三角形．现将四边形沿翻折，使得，得到的图形如图2所示．（1）求证：平面平面．（2）在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）线段上存在一点，使得二面角的余弦值为，此时．【解析】【分析】（1）如图，取的中点，连接，则，利用勾股定理的逆定理可证明，结合线面垂直和面面垂直的判定定理即可证明；（2）建立如图空间直角坐标系，设线段上存在一点满足题意，记．利用空间向量法求解面面角，建立关于的方程，解之即可求解.【小问1详解】如图，取的中点，连接．因为是等边三角形，为的中点，所以．因为，所以．因为，，，所以四边形为矩形．所以．又因为，所以，即．因为，，，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面．【小问2详解】如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则．由题意知平面的法向量为．设线段上存在一点，使得二面角的余弦值为，记．因为，所以．因为，所以．又，设平面的法向量为n=x,y,z，则令，则，，即．所以．因为二面角的余弦值为，，所以，解得或（舍去）．所以线段上存在一点，使得二面角的余弦值为，此时．19.在平面直角坐标系中，已知，，以原点O为圆心的圆与线段相切．（1）求圆O的方程；（2）若直线与圆O相交于M，N两点，且，求c的值；（3）在直线上是否存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（为常数）？若存在，求出点Q的坐标及的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，且【解析】【分析】（1）根据圆和直线的位置关系求得圆的方程.（2）根据圆心到直线的距离列方程，化简求得的值.（3）设出的坐标，根据列方程，利用特殊值求得的值，同时求得点的坐标.【小问1详解】由于，，则线段与轴平行，且与圆相切.所以圆的圆心为，半径为，所以圆的