湖北省黄冈市浠水县 2023年秋高一年级期中数学质量检测试卷含答案

2023年秋高一年级期中数学质量检测试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）1.下列关于0与说法不正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据的定义与性质结合元素与集合的关系逐项分析判断.【详解】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确；对于选项B：，故B正确；对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确；故选：C2.设是实数，使得不等式成立的一个充分而不必要的条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据等价于，由此可判断正确选项对应集合应为的一个真子集，即可判断出答案.【详解】由得，，由题意可知正确选项中的不等式所对应的集合应该是的一个真子集，显然A，B，D中对应的集合不满足，而对应的集合是的真子集，故选：C3.函数满足若，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】对的式子适当变形，即可直接求出.【详解】因为，所以，则.故选：A.4.若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】画出二次函数图象，结合对称轴和值域可判断取值范围.【详解】的对称轴为，当时，，时，故当时，设另一根为，解得，要使定义域为时，值域为，故.故选：B5.已知函数，则函数的图像是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由可知图像与的图像关于轴对称，由的图像即可得出结果.【详解】因为，所以图像与的图像关于轴对称，由解析式，作出的图像如图.从而可得图像为D选项.故选：D.6.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如表格所示：若某户居民本月交纳的水费为48元，则此户居民本月用水量是（）每户每月用水量水价不超过的部分3元超过但不超过的部分6元超过的部分9元A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先判断不同用水单价计算不同用水量用完水的缴费情况，然后看其本月交纳的水费在那个范围，就可以确定其本月用水量的范围，再根据价格计算用水量即可.【详解】先计算本月用水量为，则需要缴纳水费36元，少于48元；如果本月用水量为，则前需要缴纳水费36元，超过但不超过的部分，需要缴纳水费36元，所以本月用水量为，需要缴纳水费72元，多于48元，则这该居民本月用水量超过但不超过，所以前需要缴纳水费36元，而超过但不超过的部分的水费为12元，因为其单价为6元，所以为，故本月用水量为.故选：B7.不等式对于，恒成立，则取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意分离参数得对于，恒成立，通过换元求最值即可求出的取值范围.【详解】因为不等式对于，恒成立，所以不等式对于，恒成立，令，由对勾函数的性质，函数在上单调递减，所以，所以，.故选：A8.对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：①在区间上是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称是函数的一个“黄金区间”.如果可是函数的一个“黄金区间“，则的最大值为（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】根据题意得到在上单调，从而得到为方程的两个同号实数根，然后化简，进而结合根与系数的关系得到答案.【详解】由题意，在和上均是增函数，而函数在“黄金区间”上单调，所以或，且在上单调递增，故，即为方程的两个同号实数根，即方程有两个同号的实数根，因为，所以只需要或，又，所以，则当时，有最大值.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.下列关于幂函数的性质，描述不正确的有（）A.当时，函数在其定义域上为减函数 B.当时，函数不是幂函数C.当时，函数是偶函数 D.当时，函数与x轴有且只有一个交点【答案】AB【解析】【分析】根据幂函数的性质、定义判断各项的正误.【详解】A：由，在上递减，但整个定义域上不单调，错；B：根据幂函数定义也是幂函数，错；C：由，显然且定义域为R，故为偶函数，对；D：由单调递增，仅当时，故与x轴有且只有一个交点，对.故选：AB10.已知关于的不等式的解集为，则（）A. B.C. D.不等式的解集为【答案】ACD【解析】【分析】根据不等式解集与对应方程根的关系求出的关系，即可判断，根据一元二次不等式解法即可判断.【详解】因为的不等式的解集为，所以，故正确；因为的两个根是所以，，所以，故错误；，故正确；将，代入得，因为，得，解得：，故正确.故选：.11.下列说法不正确的是（）.A.函数在定义域内是减函数B.若为偶函数，则关于对称C.已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是D.若的定义域为，则的定义域为【答案】AC【解析】【分析】A选项，单调区间不能用号连接即可判断，选项B利用偶函数的性质判断即可，C选项，分段函数单调递增，则在每段上函数均单调递增，且在端点处，左边函数值小于等于右边函数的值；D选项，利用抽象函数求定义域的方法进行求解.【详解】函数在和上都是减函数，但在定义域上不是减函数，故A不正确；因为为偶函数，所以函数关于对称，又函数的图像向右平移1个单位长度得的函数图像，故函数关于对称，故B选项正确，因为是增函数，所以，解得，故C不正确；因为的定义域为，所以，解得，即的定义域为，故D正确.故选：AC.12.函数，以下四个结论正确的是（）A.的值域是B.对任意，都有C.若规定，则对任意的D.对任意的，若函数恒成立，则当时，或【答案】ABC【解析】【分析】由函数解析式可得函数图象即可知其值域；构造函数判断函数奇偶性和单调性即可判断选项B；根据C中的描述结合归纳法可推得结论成立；由函数不等式恒成立，利用变换主元法、一元二次不等式的解法即可求参数范围.【详解】由函数解析式可得，有如下函数图象：∴的值域是，故该选项正确；对于B，由题得，所以函数是奇函数.因为，不妨设，只需证明，只需证明，设，只需证明函数单调递减.所以，所以函数是上奇函数.所以只要证明函数在上单调递减.,由复合函数的单调性原理得函数在上单调递减.所以该选项正确.对于C，有，若，∴当时，，故有.所以该选项正确.对于D，上，若函数恒成立，即有，恒成立，令，即上，∴时，，有或（舍去）；时，，故恒成立；时，，有或（舍去）；综上，有或或；所以该选项错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：1、对于简单的分式型函数式画出函数图象草图判断其值域、单调性；2、利用函数不等式恒成立，综合变换主元法、一次函数性质、一元二次不等式解法求参数范围.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知集合，若，则_________.【答案】【解析】【分析】由中有元素为0，注意元素的互异性即可．【详解】因为，若，则，与集合中元素的互异性矛盾，因此，若，则，此时，满足题意，故答案为：．14.已知命题“关于的不等式在上恒成立”为真命题，则实数的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】根据不等式恒成立得到，解得答案.【详解】不等式在上恒成立，则，解得.故答案为：15.记表示实数a，b中最大的数，设函数，若存在，使不等式成立，则实数m的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】通过作差法比较的大小，分情况讨论，继而求得的范围，最后再处理能成立问题即可.【详解】所以当时即，则，可得，即，所以当或时即，则，可得或，即，综上可得，又存在，使不等式成立所以.故答案为：.16.已知，，是正实数，且，则最小值为__________.【答案】【解析】【分析】首先变形为，再根据，变形为，展开后，利用基本不等式求最小值，最后再用基本不等式求最小值.【详解】由题，，其中，当且仅当，即时取等，故，当且仅当时，即时取等.故答案为：四、解答题（本题共6小题，共70分.）17.设集合，，.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，可以求出，然后由补集、交集的概念即可得解.（2）由题意，从而列出不等式组即可求解.【小问1详解】由题意当时，，此时或，又因为，所以.【小问2详解】由题意，所以当且仅当，解不等式组得，所以实数的取值范围为.18.已知函数（1）判断函数的奇偶性，并证明结论；（2）求函数在上的最值．【答案】（1）函数为奇函数，证明见解析（2）最小值为，无最大值【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义分析证明；（2）根据题意利用基本不等式求最值.【小问1详解】函数为奇函数，证明如下：因为的定义域为，且，所以函数为定义在上的奇函数.【小问2详解】因为，则，则，当且仅当，即时，等号成立，即，可得，所以函数在上的最小值为，无最大值.19.如图，正方形的边长为1，，分别是和边上的点.沿折叠使与线段上的点重合（不在端点处），折叠后与交于点.（1）证明：的周长为定值.（2）求的面积的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）设，利用对称性，找到之间的关系，再由相似三角形的性质，利用周长比等于相似比建立关系，得到的周长表达式，化简证明即可；（2）由面积比等于相似比的平方建立关系，得到面积的表达式，消元后利用基本不等式求解最值.【小问1详解】设，，则，由勾股定理可得，即，由题意，，即，可知∽，设的周长分别为，则.又因为，所以，的周长为定值，且定值为.【小问2详解】设的面积为，则，因为，所以，.因为，则，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，满足.故的面积的最大值为.20.函数满足对一切有，且；当时，有.（1）求的值;（2）判断并证明在R上的单调性；（3）解不等式【答案】20.21.在R上的单调递减，证明过程见解析22..【解析】【分析】（1）赋值法求出和，进而赋值求出；（2）先求出时，，进而得到时，，再利用定义法证明出函数的单调性；（3）变形得到，求出，结合（2）中函数的单调性求出，从而求出答案.【小问1详解】中，令，则，因为，所以，令得，，解得，令得，，即，解得；【小问2详解】设，则，所以，所以时，，又因为时，有，且，所以时，，在R上的单调递减，证明过程如下：设，且，则，则，因为时，，所以，故，故在R上的单调递减；【小问3详解】由题意得，因为，所以，即，解得，中，令得，，故，故，由（2）可知，在R上的单调递减，故，解得或，所以原不等式的解集为.【点睛】思路点睛：求解抽象函数的函数值或函数奇偶性，单调性，往往利用赋值法，结合题目中的条件进行求解.21.已知是一元二次函数，满足且（1）求函数的解析式．（2）函数在数学史上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于x的最大整数，如，，，设若使成立的实数a，b，c有且仅有三个且互不相等．求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设出二次函数解析式，由题意列出等式，用恒等思想即可求解；（2）分类讨论再用数形结合思想即可得出结论.【小问1详解】由题可设所以得，∴，，；【小问2详解】当时，当时，，所以，当时，，所以，不妨设，由题可得函数的大致图象，由（1）可知函数的对称轴，，可得根据对称性知，又由，可得，由，可得，由图可知，所以，故.22已知函数，满足.（1）设，求证：函数在区间上为减函数，在区间上为增函数；（2）设.①当时，求的最小值；②若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围.【答案】22.见解析23.①；②或【解析】【分析】（1）按单调性的定义