甘肃省庆阳市宁县2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷含答案

2024-2025学年度高二第一学期数学期中考试试题一、单选题1.将自然数1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，……都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”．（）A.22 B.30 C.37 D.46【答案】B【解析】【分析】先根据题中规律找到拐角数的通项公式，进而可得.【详解】由题意得第1个“拐角数”为，第2个“拐角数”为，第3个“拐角数”为，第4个“拐角数”为，则第个“拐角数”为．对于A：第6个“拐角数”是，故A不合题意；对于B、C：第7个“拐角数”是，第8个“拐角数”是，则30不是“拐角数”，故B适合题意，C不合题意；对于D：第9个“拐角数”，故D不合题意．故选：B.2.在等差数列an中，已知，，则数列an的通项公式可以为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】方法一，设出首项，公差为d，代入已知条件即可求解；方法二，根据等差数列性质可求出，代入到已知可求出公差为d，即可求解；方法三，根据韦达定理可求出，是方程的两根，再根据等差数列可求出通项公式.【详解】方法一（基本量法）设an的首项为，公差为d，则由，得，∴．代入，整理得，解得．当时，，；当时，，．方法二（等差数列的性质）∵，∴．，∴，∴．当时，；当时，．方法三（方程思想）∵，∴，∴，（由和与积，联想到根与系数的关系）∴，是方程的两根，∴或由，，得，∴．同理，由，，得．故选：3.已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（）A.550 B.520 C.450 D.425【答案】D【解析】【分析】由等比数列前n项和的性质可得答案.【详解】由等比数列前n项和的性质可得，，，，成等比数列，则，设，则，∵等比数列中，，∴解得，，故，∴，故选：D．4.过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（

）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题知直线的斜率，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可.【详解】设直线的倾斜角为，，当直线的斜率不存在时，，符合，当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，因为点，，，则，，因直线经过点，且与线段总有公共点，所以，因为，又，所以，所以直线的倾斜角范围为.故选：B.5.直线：，：，若，则实数的值为（）A.0 B.1 C.0或1 D.或1【答案】C【解析】【分析】根据两直线垂直的公式求解即可.【详解】因为：，：垂直，所以，解得或，将，代入方程，均满足题意，所以当或时，.故选：.6.已知直线与直线平行，则与之间的距离为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】根据两条直线平行，求出值，再应用平行线间的距离公式求值即可.【详解】因为直线与直线平行，所以，解之得.于是直线，即，所以与之间的距离为.故选：A7.若点在圆C：的外部，则m的取值可能为（）A.5 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据点在圆外及方程表示圆求出的范围得解.【详解】因为点在圆C：的外部，所以，解得，又方程表示圆，则，即，所以，结合选项可知，m的取值可以为.故选：C8.已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设出动点和动点的坐标，找到动点和动点坐标的关系，再利用相关点法求解轨迹方程即可.【详解】设，，由中点坐标公式得，所以，故，因为A在圆上运动，所以，化简得，故B正确.故选：B二、多选题9.已知是的前项和，，，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.是以为周期的周期数列【答案】BD【解析】【分析】由已知数列递推式，可得an是以3为周期的周期数列，判断；结合数列的周期性逐一分析选项【详解】，，，，，，则数列an是以为周期的周期数列，故正确；则，故错误；，故正确；可得，故错误．故选：10.已知等比数列中，，，则（）A.公比为 B.C.当时， D.的前10项积为1【答案】ABD【解析】【分析】由等比数列an中，，，可求得公比，根据等比数列的性质结合等比数列通项公式即可判断各个选项.【详解】对于A项，设等比数列an的公比为，由，得，解得，故A正确；对于B项，，则，故B正确；对于C项，，当时，，则，故C错误；对于D项，由，可得an的前10项积为，故D正确．故选：ABD.11.若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（）A.0 B. C.1 D.2【答案】AD【解析】【分析】先将方程合理转化，后结合二元二次方程表示圆的条件求解即可.【详解】方程，即，若方程表示圆，则，解得或，结合选项可知AD正确，BC错误.故选：AD三、填空题12.设等差数列与的前n项和分别为，，且，则__________．【答案】【解析】【分析】由等差数列的性质，推导出，代入题干所给公式得到结果.【详解】，故答案为：．13.设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离的最大值为____________．【答案】【解析】【分析】先求出的坐标，再求出直线所过的定点，则所求距离的最大值就是的长度.【详解】由可以得到，故，直线方程可整理为：，故直线过定点，因为到直线的距离，当且仅当时等号成立，故，故答案为：.14.已知，，，第三个顶点C在曲线上移动，则的重心的轨迹方程是______．【答案】【解析】【分析】设，由题可得重心坐标为：，后由横纵坐标间关系可得答案.【详解】设，因，则.因，，则重心坐标为.设，则，则.故重心轨迹方程为：.故答案为：.四、解答题15.等差数列an的前项和为，已知，.（1）求数列an（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据条件转化为首项和公差的方程，即可求解；（2）根据数列正项和负项的分界，讨论与的关系，求解.【小问1详解】设数列an的公差为，∵，∴，∵，∴，∴公差为，∴，∴；【小问2详解】由已知，时，；时，；综上.16.已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设公比为，根据等差中项可得，根据等比数列通项公式列式求解即可；（2）由（1）可知：，利用分组求和结合等差、等比数列求和公式运算求解.【小问1详解】设等比数列的公比为，且，因为，，成等差数列，则，即，解得或（舍去），所以的通项公式为.【小问2详解】由（1）可知：，则，所以.17.已知点，直线.（1）求点P到直线l的距离；（2）求点P关于直线l的对称点Q的坐标.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由点到直线距离公式即可得解；（2）设对称点坐标为，利用两直线垂直的性质与中点坐标公式列方程组即可得解.【小问1详解】因为点，直线，所以点P到直线l的距离为；【小问2详解】设点关于直线对称的点的坐标为，则中点的坐标为，又直线的斜率为，所以，解得，即.18.已知的圆心在x轴上，经过点和．（1）求的方程；（2）过点的直线l与交于A、B两点．（ⅰ）若，求直线l的方程；（ⅱ）求弦AB最短时直线l的方程．【答案】（1）（2）①或；②.【解析】【分析】（1）设圆心为，根据题中条件求出的值，可求出圆的半径，即可得出圆的标准方程；（2）①求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直线写出直线的方程，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，综合可得出结果；②分析可知，当时，AB取最小值，求出直线的斜率，可得出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程.【小问1详解】设圆心为，由题意可得，解得，所以，圆的半径为，因此，圆的标准方程为.【小问2详解】①当时，圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，则，解得，此时，直线的方程为.综上所述，直线的方程为或.②当时，圆心到直线的距离最大，此时，AB取最小值，因为，则，此时，直线方程为，即.19.把满足任意总有的函数称为和弦型函数.（1）已知为和弦型函数且，求的值；（2）在（1）的条件下，定义数列：，求的值；（3）若为和弦型函数且对任意非零实数，总有．设有理数满足，判断与的大小关系，并给出证明．【答案】（1）；（2）（3），证明见解析【解析】【分析】（1）利用所给定义，使用赋值法分别令、代入计算即可得解；（2）令代入计算可得，即可得其通项公式，结合对数运算与等差数列求和公式计算即可得解；（3）令，数列满足，从而只需证明数列递增数列即可得证.【小问1详解】令，则，可得，令，则，则；【小问2详解】令，则，，即，又，所以数列为以为公比，为首项的等比数列，即