安徽省马鞍山市 2023-2024学年高一上学期期中测试数学试卷含答案

安徽省马鞍山市2023-2024学年高一上学期期中测试数学试卷本试卷4页，满分150分.考试时间120分钟.注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本大题共8个题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则集合的子集共有（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】C【解析】【分析】根据子集的定义逐一列举求解.【详解】因为集合，所以集合的子集有：，，，.所以集合的子集共有4个.故选：C.2.已知或，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，，依题意可得，即可求出参数的取值范围.【详解】因为或，，令，，因为是的充分不必要条件，所以，所以.故选：D3.下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】利用同一个函数条件是定义域相同，解析式也要相同，从而来作出判断.【详解】选项A，解析式等价，定义域也相同，所以是同一个函数；选项B，解析式化简后相同，但定义域不同，因为分母不能取0，所以不是同一个函数；选项C，解析式化简后都是1，但定义域不同，因为0的0次幂没有意义，所以不是同一个函数；选项D，解析式不同，定义域也不同，所以不是同一个函数.故选:A.4.一个矩形的周长为，面积为，则下列四组数对中，可作为数对的有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设出长方形的长和宽为，通过基本不等式得出和的关系，最后将各个选项数据依次代入检验，得出正确的结果．【详解】设矩形长宽分别为，则，，由基本不等式，可得.对于A，，不合题意，故A错误；对于B，，不合题意，故B错误；对于C，，不合题意，故C错误；对于D，，符合题意，故D正确.故选：D.5.函数在上是单调函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的单调性判断.【详解】因为函数开口向上，对称轴为，所以函数在上单调递减，，解得，所以的取值范围是.故选：A.6.函数的图象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函数定义域和图象上的点，排除法选择正确选项.【详解】函数，定义域为，BD选项排除；时，，A选项排除.故选：C.7.设函数，若，则（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式，分类讨论，分别计算可得.【详解】因为，又，所以或，解得或.故选：C8.已知函数的定义域为，任取x，，当时恒有成立，且存在正数m使得，则（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】令，判断出函数的奇偶性，再令，，求出，再求出函数的周期，根据函数的周期求解即可.【详解】令，则，故，所以为定义域内的奇函数，令，得，解得，所以，是以，所以函数是以为周期的一个周期函数，所以.故选：C.【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.二、选择题:本大题共4个题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.下列命题中，真命题的是（）A. B.平行四边形的对角线互相平分C.对任意的，都有 D.菱形的两条对角线相等【答案】AB【解析】【分析】对A，求出判别式判断；对B，由平行四边形的性质判断；对C，将配方可判断；对D，根据菱形的性质可判断.【详解】对于A，方程的判别式，故A正确；对于B，由平行四边形的性质可得对角线互相平分，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，菱形的对角线不一定相等，故D错误.故选：AB.10.下面命题是真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】对A，B，利用不等式性质可判断；对C，利用基本不等式判断；对D，利用作差比较法判断.【详解】对于A，，，则，即，故A正确；对于B，，，又，所以，故B错误；对于C，，，即，故C正确；对于D，，，，，，则，即，故D正确.故选：ACD.11.某工厂8年来某产品产量与时间的函数关系如图，则以下说法中正确的是（）A.前2年的产品产量增长速度越来越快 B.前2年的产品产量增长速度越来越慢C.第2年后，这种产品停止生产 D.第2年后，这种产品产量保持不变【答案】AD【解析】【分析】根据给定的年产量与时间的函数关系图，结合函数的性质，即可求解.【详解】根据题意，根据给定的年产量与时间的函数关系图，可得：前2年的产品产量增长速度越来越快，所以A正确，B不正确；第2年后，这种产品的年产量保持不变，所以C错误，D正确.故选：AD.12.对，表示不超过x的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数．人们更习惯称之为“取整函数”，例如：，，则下列命题中的真命题是（）A.，B.，C.函数的值域为［0，1）D.方程有两个实数根【答案】BCD【解析】【分析】根据高斯函数的定义逐个分析判断即可【详解】对于A，当时，，所以A错误，对于B，因为对，表示不超过x的最大整数，所以，所以B正确，对于C，由选项B可知，所以，因为对，表示不超过x的最大整数，所以，所以，所以函数的值域为［0，1），所以C正确，对于D，由，得，令，则方程的解转化为两函数图象的交点情况，作出两函数的图象，如图所示，由图象可知两函数图象只有两个交点，所以方程有两个实数根，所以D正确，故选：BCD三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.集合且，用列举法表示集合________．【答案】【解析】【分析】由集合且,求得，得到且，结合题意，逐个验证，即可求解.【详解】由题意，集合且，可得，则，解得且，当时，，满足题意；当时，，不满足题意；当时，，不满足题意；当时，，满足题意；当时，，满足题意；当时，，满足题意；综上可得，集合.故答案为：.【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的元素与集合的关系，其中解答中熟记集合的表示方法，以及熟练应用元素与集合的关系，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14.已知幂函数满足①函数图象不经过原点;②，写出符合上述条件的一个函数解析式_____________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题根据幂函数的概念，结合题目给的限制性条件即可找到符合条件的函数.【详解】因为对，则在上为减函数，又因为幂函数（为常数），当不经过原点时，即可，故可取.故答案为：（答案不唯一）.15.已知且，则的最小值为_____________.【答案】【解析】【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为且，所以，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为.故答案为：16.关于的方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围为_____________.【答案】【解析】【分析】根据题意问题转化为方程有4个不相等的实数根，作出函数与函数的图象，数形结合可得解.【详解】原方程等价于，在同一坐标系内作出函数与函数的图象，如图所示：可得当时，两图象有4个不同的公共点，即方程有4个不相等的实数根，所以实数的取值范围为.故答案为：.四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知全集，集合或.（1）求;（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出，再利用交集运算求解；（2）根据题意得，求得的取值范围.【小问1详解】由题意得，，.【小问2详解】，，.18.（1）解不等式；（2）解关于的不等式.【答案】（1）或；（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意，利用分式不等式的解法，即可求解；（2）根据题意，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解.【详解】（1）不等式，可化为，即，即，解得或，所以不等式组解集为或.（2）①当时，原不等式化为，解集为；②当时，原不等式化为，解集为；③当时，原不等式化为；当时，，原不等式的解集为空集；当时，，原不等式的解集为；当时，，原不等式的解集为.19.已知，求证:（1）;（2）.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）作“1”代换，根据基本不等式求解；（2）作“1”代换，根据基本不等式求解.【小问1详解】，，当且仅当，即时等号成立.【小问2详解】，.当且仅当时，即时等号成立.20.已知的定义域为，且恒成立.（1）求的值;（2）试判断的单调性，并用定义证明你的结论.【答案】（1）（2）为上的增函数，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意得，求得并检验；（2）根据单调性定义判断并证明结论.【小问1详解】因为满足，故函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得，当时，，满足，符合题意，故.【小问2详解】由（1）可知，.函数在上为增函数.证明如下：任取，所以，所以所以.故为上的增函数.21.某工厂生产甲､乙两种产品所得的利润分别为和(万元),它们与投入资金(万元)的关系为:.今将300万资金投入生产甲､乙两种产品,并要求对甲､乙两种产品的投入资金都不低于75万元.(1)设对乙种产品投入资金(万元),求总利润(万元)关于的函数;(2)如何分配投入资金,才能使总利润最大?并求出最大总利润.【答案】(1);(2)当甲产品投入200万元,乙产品投入100万元时,总利润最大为130万元.【解析】【分析】（1）根据题意，对乙种产品投资（万元），对甲种产品投资（万元），利用利润公式，可求甲、乙两种产品的总利润（万元）关于的函数表达式；（2）利用配方法，可求总利润的最大值．【详解】(1)根据题意,对乙种产品投资(万元),对甲种产品投资(万元),那么总利润,由,解得,所以,其定义域为;(2)令,因为,故,则所以当时,即时,,答:当甲产品投入200万元,乙产品投入100万元时,总利润最大为130万元.【点睛】本题考查函数的实际应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查阅读理解能力和运算求解能力，求解时注意利用函数的最值解决问题.22.已知函数有如下