2023-2024学年（上）高一级期中考试数学含答案

2023—2024学年（上）高一级期中考试数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回.一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合,则A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】试题分析：由已知得，，故，选B．考点：集合的运算．2.函数的定义域为（）A. B.C.或 D.【答案】B【解析】【分析】利用给定函数有意义，列出不等式组求解即得.【详解】函数有意义，，解得，所以函数的定义域为.故选：B3.函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指数函数、二次函数单调性，结合复合函数单调性法则求解即得.【详解】函数的定义域为R，函数在上单调递减，在单调递增，而函数在R上单调递减，因此函数在上单调递增，在单调递减，所以函数的单调递增区间是.故选：A4.使不等式成立的一个充分不必要条件是（）.A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件．【详解】解：不等式，，解得，故不等式的解集为：，则其一个充分不必要条件可以是，故选：．【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．5.已知，，，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】因为，，，因为幂函数在R上单调递增，所以，因为指数函数在R上单调递增，所以，即b<a<c.故选：A.6.函数在的图像大致为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果．【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．7.已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为函数为偶函数，则，即，①又因为函数为奇函数，则，即，②联立①②可得，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，故函数的最小值为.故选：B.8.对于函数，若对任意的，，，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”，已知是可构成三角形的函数，则实数t的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先判断的奇偶性，然后对进行分类讨论，结合的单调性、最值求得的取值范围.【详解】，，当时，，的定义域为，，所以是偶函数，为偶函数，只需考虑在上的范围，当时，在单调递减，对，，，恒成立，需，，.当，在上单调递增，，对，，，恒成立，，，，综上：故选：B二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.命题“，”的否定是“，”B.幂函数为奇函数C.的单调减区间为D.函数的图象与y轴的交点至多有1个【答案】ABD【解析】【分析】由存在量词命题否定的定义判断A；利用幂函数的定义及奇函数的概念判断B；由判断C；由函数的定义判断D.【详解】对于A项，由存在量词命题的否定的定义可知，命题“，”的否定是“，”，A正确；对于B项，由幂函数的概念有，则或，当时，为奇函数，当时，为奇函数，所以选项B正确；对于C项，由可知，C错误；对于D项，由函数的定义可知，若在定义域内，则有且只有一个与之对应，即函数的图象与轴的交点只有一个，若不在定义域内，则函数的图象与轴无交点，所以函数的图象与轴的交点至多有1个，D正确.故选：ABD10.若，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用作差法即可判断A，根据函数单调性即可判断B，举反例即可判断C，根据均值不等式即可判断D.【详解】对于A项，因为，则，，所以，A项正确；对于B项，因为，所以，所以，所以，B项正确；对于C项，令，，则，C错误；对于D项，由均值定理即可得到，D项正确．故选：ABD．11.已知函数的定义域为R，对任意的实数x，y，有，且当时，，则（）AB.对任意的，恒成立C.函数在上单调递增D.若，则不等式的解集为【答案】BCD【解析】【分析】对选项A，首先令得到或，再根据时，，即可得到，即可判断A错误，对选项B，令即可判断B正确，对选项C，首先根据题意得到在R上恒大于0，在利用函数单调性的定义设任意R，且，得到，即判断C正确，对选项D，根据题意得到，再结合的单调性求解即可.【详解】对选项A，令，则，解得或，令，，则.因为时，，所以，即不符合题意.所以，故A错误.对选项B，令，所以，故B正确.对选项C，当时，，所以.令，所以，即又因为，时，，所以在R上恒大于0.设任意R，且，则，所以.，即，在R上为增函数，故C正确.对选项D，因为，所以，因为函数在上单调递增，所以，解得，故D正确.故选：BCD12.已知函数，若存在实数使得方程有四个互不相等的实数根，则下列叙述中正确的有（）A. B. C. D.有最小值【答案】ABD【解析】【分析】画出与的图象，根据图象对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】画出与的图象如下图所示，由图可知，依题意可知，，所以，所以，A选项正确.由是方程的两个不相等实数根，即是方程的两个不相等实数根，所以，B选项正确.由图可知，当直线向下移动时，存在，使，C选项错误.，当且仅当时等号成立，D选项正确.故选：ABD【点睛】本小题主要的难点有三个，一个是化的图象，主要是含有绝对值的函数以及对钩函数的图象；一个是的关系以及的关系；一个是基本不等式求最值，要注意等号成立的条件.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若幂函数在上为增函数，则实数的值为______．【答案】2【解析】【分析】根据幂函数的性质和形式可得满足的条件，从而可求实数的值.【详解】因为为幂函数且在上为增函数，所以，故.故答案为：2.【点睛】本题考查幂函数的定义和性质，注意幂函数的一般形式为，当且仅当时幂函数在为增函数，本题属于基础题.14.若函数是奇函数，，则__________.【答案】【解析】【分析】根据定义域关于原点对称求出，再由求出即可求解.【详解】根据题意可得，解得，又，代入解得，当时，，满足题意，所以.故答案为：15.设函数则满足的x的取值范围是____________.【答案】【解析】【详解】由题意得：当时，恒成立，即；当时，恒成立，即；当时，，即.综上，x取值范围是.【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值.16.函数的定义域为R，满足，且当时，，若对任意的，都有，则m的取值范围是_______【答案】【解析】【分析】首先根据已知条件依次得到在附近的区间，、对应的函数解析式，然后按其规律画出函数的图像，再根据不等式恒成立的意义与函数图像即可求得实数m的取值范围【详解】当时，，则，当时，，则，当时，，则，由此作出图象如图所示，由图知当时，令，整理得：，解得：或，要使对任意的，都有，必有，所以m的取值范围是，故答案为：【点睛】本题主要考查函数的解析式，函数的图象，不等式恒成立问题，考查分类讨论，数形结合的思想，属于中档题.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.求下列各式的值（写出化简步骤）（1）；（2）【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）根据对数的运算性质,化简即可得解；（2）根据换底公式化简即可得解.【小问1详解】原式.【小问2详解】原式.18.用分数指数幂表示并计算下列各式（式中字母均正数），写出化简步骤.（1）；（2）【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）（2）将根式化为分数指数幂，再根据幂的运算法则计算可得.【小问1详解】.【小问2详解】.19.已知集合，集合或，全集.（1）若，求;（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题知，再根据集合运算求解即可；（2）根据题意得或，再解不等式即可得答案.【小问1详解】解：当时，，所以，又或，所以.【小问2详解】因为，或，，所以或，解得或，所以实数的取值范围是.20.求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）令进行换元，然后由二次函数性质可解；（2）分离常数，然后利用反比例函数单调性可解；（3）分离常数，利用对勾函数和反比例函数单调性可解.【小问1详解】令，则，，所以，所以的值域为.【小问2详解】，由反比例函数性质可知，在上单调递增，所以，即，所以的值域为.【小问3详解】,令，则，由对勾函数性质可知，在上单调递增，所以，由反比例函数性质可知，在单调递减，所以，即的值域为.21.已知函数．（1）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明；（2）若，使成立，求实数的范围．【答案】（1）单调递减；证明见解析（2）【解析】【分析】（1）运用定义法结合函数单调性即可；（2）将能成立问题转化为最值问题，结合单调性求解最值.【小问1详解】在区间上单调递减,证明如下：设，则∵，∴，，，∴，∴所以，在区间上单调递减．【小问2详解】由（1）可知在上单调递减，所以，当时，取得最小值，即，又，使成立，∴只需成立，即，解得．故实数的范围为．22.已知函数．（1）若不等式的解集是空集，求m的取值范围；（2）当时，解不等式；（3）若不等式的解集为D，若，求m的取值范围．【答案】（1）（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）分和两种情况讨论即可；（2）由，因式分解得，再从分类讨论即可；（3）由不等式的解集为，且，可得对任意的，不等式恒成立，分离参数得恒成立，在分离常数结合基本不等式求出的最大值即可.【小问1详解】当时，即，则由，得，不合题意，当，即时，由不等式的解集为得，解得，所以的取值范围为；【小问2详解】因为，所以，即，当，即时，解得，所以不等式的解集为，当，即时，，因为，所以不等式的解集为，当，即时，，因为，所以，所以，所以不等式的解集为，综上，当，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；【小问3详解】因为不等式的解集为，且，所以对任意的，不等式恒成立，即，因为，所以恒成立，令，则，，所以，由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，所以当时，取最大值，最大值为，所以的取值范围为.【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解：设①在上恒成立，则；②在上恒成立，则；③在上恒成立，则；④在上恒成立，则.23.已知定义在上的函数．（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为函数的局部对称点．若是的局部对称点，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用换元法，对的取值范围进行分类讨论，结合一次函数、二次函数的单调性可求得实数的取值范围；（2）由分离参数，利用换元法，结合二次函数基本性质可求得实数的取值范围.【小问1详解】解：当时，令，则，因为内层函数在上为增函数，且函数在上为增函数，故函数在上为增函数，当时，则函数在上为减函数，不合乎题意，当时，要使得函数在上为增函数