2019年高考数学试卷（上海）（秋考）（解析卷）

第①错；选D.三.解答题（本大题共5题，共76分）17.（本题满分14分）如图，在长方体中，为上一点，已知，，，.（1）求直线与平面的夹角；（2）求点到平面的距离.【思路分析】根据几何图形作出线面角度求解；建立坐标系计算平面的法向量求解..【解析】：（1）依题意：，连接AC，则与平面ABCD所成夹角为；∵，，∴为等腰直角△，；∴直线与平面的夹角为.法一（空间向量）：如图建立坐标系：则：，，，，，∴求平面的法向量：，得：A到平面的距离为：法二（等体积法）：利用求解，求时，需要求出三边长（不是特殊三角形），利用求解.【归纳与总结】本题考查点到平面的距离的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.（本题满分14分）已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若时，有零点，求的范围.【思路分析】将不等式具体化，直接解不等式；分离参数得到新函数，研究新函数的最值与值域.【解析】：（1）当时，；代入原不等式：；即：移项通分：，得：；依题意：在上有解参编分离：，即求在值域，在单调递增，；，故：.【归纳与总结】本题考查了分式不等式的解法、分式函数最值与值域的求解，也考查了转化与划归思想的应用．19.（本题满分14分）如图，为海岸线，为线段，为四分之一圆弧，，，，.（1）求长度；（2）若，求到海岸线的最短距离.（精确到）【思路分析】根据弧长公式求解；利用正弦定理解三角形.【解析】：（1）依题意：，弧BC所在圆的半径弧BC长度为：km（2）根据正弦定理：，求得：，∴km<CD=36.346km∴D到海岸线最短距离为35.752km.【归纳与总结】本题考查了圆弧弧长求法、正弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想的应用．20.（本题满分16分）已知椭圆，为左、右焦点，直线过交椭圆于A、B两点.（1）若AB垂直于轴时，求；（2）当时，在轴上方时，求的坐标；（3）若直线交轴于M，直线交轴于N，是否存在直线，使，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【思路分析】直接求出A,B坐标；利用三角形面积公式和点在曲线上建立方程；.根据面积关系转化出关于点的坐标关系，再求解出关于点直线斜率的方程.【解析】：（1）依题意：，当AB⊥x轴，则坐标，，∴（2）法一（秒杀）：焦点三角形面积公式：；又：，，即所以A在短轴端点，即直线（即）方程为：，联立：，得.法二（常规）：依题意：设坐标，∵（注意：用点更方便计算）则有：又A在椭圆上，满足：，即：∴，解出：，B点坐标求解方法同法一，.设坐标，，，，直线l：（k不存在时不满足题意）则：；；联立方程：，，韦达定理：由直线方程：得M纵坐标：；由直线方程：得N纵坐标：；若，即∴，，代入韦达定理：得：，解出：∴存在直线或满足题意.【归纳与总结】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21.（本题满分18分）数列有项，，对任意，存在，若与前项中某一项相等，则称具有性质.（1）若，求可能的值；（2）若不为等差数列，求证：中存在满足性质；（3）若中恰有三项具有性质，这三项和为，使用表示.【思路分析】根据定义式子代入即可求解；通过证明逆否命题证明；去掉具有P性质三项，求和【解析】：（1）可能的值为3,5,7；（2）要证明中存在满足性质，即证明：若数列中不存在满足性质的项，则为等差数列（原命题的逆否命题）显然时，，满足性质，不成立；时，，，同理时，不成立；时，所以以此类推，其中时不成立只有，即成立，即为等差数列，即得证明：不为等差数列，中存在满足性质（3）将数列中具有性质P的三项去掉，形成一个新数列时，，且中元素满足性质P的项，根据（2）为等差数列，所以即又因为三项去