2025届高考数学统考二轮复习增分强化练十一三角恒等变换与解三角形理含解析

PAGE增分强化练(十一)考点一三角恒等变换及其应用1．(2024·宁德质检)cos31°cos1°＋sin149°sin1°＝()A．－eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)解析：cos31°cos1°＋sin149°sin1°＝cos31°cos1°＋sin31°sin1°＝cos(31°－1°)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)，故选B.答案：B2．(2024·蚌埠模拟)函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1的图象的对称轴可能为()A．x＝eq\f(π,8) B．x＝eq\f(π,4)C．x＝eq\f(π,2) D．x＝－eq\f(π,4)解析：f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，令2x＋eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，解得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,8)，(k∈Z)，当k＝0时，x＝eq\f(π,8)，故选A.答案：A3．(1＋tan20°)·(1＋tan25°)＝________.解析：因为(1＋tan20°)·(1＋tan25°)＝1＋tan25°＋tan20°＋tan20°tan25°，又tan45°＝eq\f(tan25°＋tan20°,1－tan20°tan25°)＝1，所以tan25°＋tan20°＝1－tan20°tan25°，所以(1＋tan20°)·(1＋tan25°)＝1＋tan25°＋tan20°＋tan20°tan25°＝2.答案：24．(2024·北京西城区模拟)函数f(x)＝sin2x＋cos2x的最小正周期T＝________；假如对于随意的x∈R都有f(x)≤a，那么实数a的取值范围是________．解析：f(x)＝sin2x＋cos2x＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，最小正周期T＝π，依题意，知a≥f(x)恒成立，所以，a≥f(x)max＝eq\r(2)，即a≥eq\r(2).答案：π[eq\r(2)，＋∞)考点二正弦定理与余弦定理1．(2024·湛江模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB＝(4c－b)cosA，则cos2A．－eq\f(7,8) B．－eq\f(1,8)C.eq\f(7,8) D.eq\f(1,8)解析：∵acosB＝(4c－b)cosA.∴sinAcosB＝4sinCcosA－sinBcosA，即sinAcosB＋sinBcosA＝4cosAsinC，∴sinC＝4cosAsinC，∵0＜C＜π，sinC≠0.∴1＝4cosA，即cosA＝eq\f(1,4)，则cos2A＝2cos2A－1＝－eq\f(7,8).故选A.答案：A2．(2024·蚌埠模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin2A＋c(sinC－sinA)＝2sin2B，且△ABC的面积S＝eq\f(1,4)abc，则角B＝________.解析：S＝eq\f(1,4)abc⇒eq\f(1,4)abc＝eq\f(1,2)absinC⇒c＝2sinC，代入2sin2A＋c(sinC－sinA)＝2sin2B中，得sin2A＋sin2C－sinAsinC＝sin2B，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，可将上式化简为a2＋c2－ac＝b2，由余弦定理可知b2＝a2＋c2－2ac·cosB，所以有cosB＝eq\f(1,2)，又因为B∈(0，π)，所以角B＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)3．(2024·晋城模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2sin2(B＋C)－3cosA＝0.(1)求角A的大小；(2)若B＝eq\f(π,4)，a＝2eq\r(3)，求边长c.解析：(1)因为A＋B＋C＝π，2sin2(B＋C)－3cosA＝0，所以2sin2A－3cosA＝0,2(1－cos2A)－3cosA＝0，所以2cos2A＋3cosA－2＝0，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0.因为cosA∈(－1,1)，所以cosA＝eq\f(1,2)，因为A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3).(2)sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).在△ABC中，由正弦定理得eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sinA)，所以eq\f(c,\f(\r(6)＋\r(2),4))＝eq\f(2\r(3),\f(\r(3),2))，解得c＝eq\r(6)＋eq\r(2).考点三解三角形与三角函数的交汇问题1．(2024·宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙隐私的最终遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点的距离为________．解析：由已知，△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，∴∠DAC＝15°.由正弦定理得AC＝eq\f(80sin150°,sin15°)＝eq\f(40,\f(\r(6)－\r(2),4))＝40(eq\r(6)＋eq\r(2))，△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，∴∠DBC＝30°，由正弦定理，eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，所以BC＝eq\f(CD·sin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(80×sin15°,\f(1,2))＝160sin15°＝40(eq\r(6)－eq\r(2))；△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝1600(8＋4eq\r(3))＋1600(8－4eq\r(3))＋2×1600(eq\r(6)＋eq\r(2))×(eq\r(6)－eq\r(2))×eq\f(1,2)＝1600×16＋1600×4＝1600×20，解得AB＝80eq\r(5)，则两目标A，B间的距离为80eq\r(5).答案：80eq\r(5)2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA，sinB，sinC成等差数列，且cosC＝eq\f(1,3).(1)求eq\f(b,a)的值；(2)若c＝11，求△ABC的面积．解析：(1)因为sinA，sinB，sinC成等差数列，所以2sinB＝sinA＋sinC，由正弦定理得2b＝a＋c，即c＝2b－a.又因为cosC＝eq\f(1,3)，依据余弦定理有：cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－2b－a2,2ab)＝2－eq\f(3b,2a)＝eq\f(1,3)，所以eq\f(b,a)＝eq\f(10,9).(2)因为c＝11，cosC＝eq\f(1,3)，依据余弦定理有a2＋b2－2ab·eq\f(1,3)＝121，由(1)知b＝eq\f(10,9)a，所以a2＋eq\f(1