2024-2025学年新教材高中数学第8章立体几何初步8.1第1课时棱柱棱锥棱台的结构特征学案含解析新人教A版必修第二册

PAGE立体几何初步8.1基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征学习目标核心素养1．通过对实物模型的视察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征．(重点)2．理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系．(难点)3．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简洁物体的结构和有关计算．(易混点)通过空间几何体概念的学习，培育直观想象、逻辑推理的核心素养.视察下面的图片，这些图片你都不生疏吧．小到精致的家居装饰，大到雄伟的浩大建筑；从远古的金字塔，到现代的国家大剧院、埃菲尔铁塔，设计师、建筑师们匠心独具，为我们留下了精致绝伦的建筑物，每当看到这些建筑物都会给人以震撼的美．问题：那么设计师是如何设计这些建筑物的呢？应用到哪些数学学问呢？1．空间几何体类别多面体旋转体定义一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体图形2.棱柱、棱锥、棱台的结构特征(1)棱柱的结构特征定义一般地，有两个面相互平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱图示及相关概念底面：两个相互平行的面；侧面：底面以外的其余各面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：侧面与底面的公共顶点分类按底面多边形的边数分：三棱柱，四棱柱……思索1：棱柱的侧面肯定是平行四边形吗？[提示]依据棱柱的概念可知，棱柱侧面肯定是平行四边形．(2)棱柱的分类直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱．斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱．正棱柱：底面是正多边形的直棱柱．平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱．(3)棱锥的结构特征定义有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥图示及相关概念底面：多边形面；侧面：有公共顶点的各个三角形面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：各侧面的公共顶点分类按底面多边形的边数分：三棱锥，四棱锥，……，其中三棱锥又叫四面体．底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥思索2：有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体肯定是棱锥吗？[提示]不肯定．因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”．(4)棱台的结构特征定义用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台图示及相关概念上底面：原棱锥的截面；下底面：原棱锥的底面；侧面：除上下底面以外的面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点分类由几棱锥截得，如三棱台、四棱台……思索3：棱台的上下底面相互平行，各侧棱延长线肯定相交于一点吗？[提示]依据棱台的定义可知其侧棱延长线肯定交于一点．1．思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)棱柱的侧面都是平行四边形． ()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥． ()(3)用一平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台． ()[答案](1)√(2)×(3)×2．在三棱锥A­BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为()A．1 B．2C．3 D．4D[每个三角形都可以作为底面．]3．下面说法中，正确的是()A．上下两个底面平行且是相像的四边形的几何体是四棱台B．棱台的全部侧面都是梯形C．棱台的侧棱长必相等D．棱台的上下底面可能不是相像图形B[由棱台的结构特点可知，A、C、D不正确．故B正确．]4．下面属于多面体的是________(填序号)．①建筑用的方砖；②埃及的金字塔；③茶杯；④球．①②[①②属于多面体，③④属于旋转体．]棱柱的结构特征【例1】(1)下列命题中，正确的是()A．有两个面相互平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中相互平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，但底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形(2)如图所示，长方体ABCD­A1B1C1D1①这个长方体是棱柱吗？假如是，是几棱柱？为什么？②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？若是，请指出它们的底面．(1)D[由棱柱的定义可知，只有D正确，分别构造图形如下：①②③图①中平面ABCD与平面A1B1C1D1平行，但四边形ABCD与A1B1C1D1不全等，故A错；图②中正六棱柱的相对侧面ABB1A1与EDD1E1(2)[解]①长方体是四棱柱．因为它有两个平行的平面ABCD与平面A1B1C1D1②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分，有两个平行的平面BB1M与平面CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边相互平行，这符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BB1M­CC1N.同理，另一部分也是棱柱，可以用符号表示为四棱柱ABMA1­DCND有关棱柱结构特征问题的解题策略1有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义①两个面相互平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边相互平行.求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满意其他特征.2多留意视察一些实物模型和图片便于反例解除.eq\o([跟进训练])1．(多选题)下列关于棱柱的说法正确的是()A．全部棱柱的两个底面都平行B．全部的棱柱肯定有两个面相互平行，其余每相邻面的公共边相互平行C．有两个面相互平行，其余各面都是四边形的几何体肯定是棱柱D．棱柱至少有五个面ABD[对于A、B、D，明显是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面相互平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，明显题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行”这一条件，因此所围成的几何体不肯定是棱柱．如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误．]棱锥、棱台的结构特征【例2】(1)(多选题)下列关于棱锥、棱台的说法，正确的是()A．棱台的侧面肯定不会是平行四边形B．棱锥的侧面只能是三角形C．由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥D．棱锥被平面截成的两部分不行能都是棱锥(2)推断如图所示的几何体是不是棱台，为什么？(1)ABC[A正确，棱台的侧面肯定是梯形，而不是平行四边形；B正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；C正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；D错误，如图所示，四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．](2)[解]①②③都不是棱台．因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是棱台，虽然②是由棱锥所截得的，但截面和底面不平行，故不是棱台，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台．关于棱锥、棱台结构特征题目的推断方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例干脆推断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)干脆法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个相互平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点eq\o([跟进训练])2．(一题多空)下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台(仅填相应序号)．①③④⑥⑤[结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．]多面体的表面绽开图[探究问题]1．棱柱的侧面绽开图是什么图形？正方体的表面绽开图又是怎样的？[提示]棱柱的侧面绽开图是平行四边形；正方体的表面绽开图如图：2．棱台的侧面绽开图又是什么样的？[提示]棱台的侧面绽开图是多个相连的梯形．【例3】(1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面绽开图应当为(对面是相同的图案)()(2)如图是三个几何体的平面绽开图，请问各是什么几何体？[思路探究](1)正方体的平面绽开图⇒以其中一个面不动把其他面绽开．(2)常见几何体的定义与结构特征⇒空间想象或动手制作平面绽开图进行实践．(1)A[由选项验证可知选A．](2)[解]图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相像的三角形，符合棱台的特点．把平面绽开图还原为原几何体，如图所示．所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．1.将本例(1)改为：水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面绽开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．1 B．9C．快 D．乐B[将图形折成正方体知选B．]2.将本例(2)的条件改为：一个几何体的平面绽开图如图所示．(1)该几何体是哪种几何体？(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？与“你”字面相对的是哪个面？[解](1)该几何体是四棱台．(2)与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程”．多面体绽开图问题的解题策略(1)绘制绽开图：绘制多面体的表面绽开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象实力或者是亲自制作多面体模型．在解题过程中，经常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面绽开图．(2)由绽开图复原几何体：若是给出多面体的表面绽开图，来推断是由哪一个多面体绽开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面绽开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面绽开图．一、学问必备1．在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够依据定义推断几何体的形态．2．棱柱、棱台、棱锥关系图二、方法必备在解答基本立体图形中的问题时，一般要通过对空间几何体的绽开、折叠等方法，实现立体问题平面化，可以比较形象、直观地解决问题．1．棱台不具备的特点是()A．两底面相像 B．侧面都是梯形C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点C[由于棱锥的侧棱不肯定相等，所以棱台的侧棱都相等的说法是错误的．]2．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为()A．四棱柱 B．四棱锥C．三棱柱 D．三棱锥D[依据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥．]3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()ABCDD[A，B，C中底面