2023年四川省凉山州中考数学适应性试卷（含答案）

2023年四川省凉山州中考数学适应性试卷

一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题给出的四个选项中只有一

项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置。

1.（4分）下列方程中，关于X的一元二次方程是（）

A.2（X2+2X）=2X2-1B.ax2+bx+c=z0

C.（x+l）2=2χ+lD.A-+x+l=0

2

X

2.（4分）在庆祝凉山彝族自治州成立70周年民族饰品展上，彝族器皿受到广泛关注，如

图，是器皿中的民族图案，对其对称性的表述，正确的是（）

A.轴对称图形

B.中心对称图形

C.既是轴对称图形又是中心对称图形

D.既不是轴对称图形又不是中心对称图形

3.（4分）下列关于抛物线y=-G+1）2+4的判断中，错误的是（）

A.形状与抛物线y=-W相同

B.对称轴是直线X=-1

C.当x>-2时，y随X的增大而减小

D.当-3<x<l时，y>0

4.（4分）已知（-1,y∣）,（-2,竺），（-4,y3）是抛物线y=2√+8χ+加上的点，则（）

A.yι<y2<y3B.>3<y2<>,ιC.>3<yι<>,2D.y2<y1<y3

5.（4分）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗.某

超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售

出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市

每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低X元，则可列方程为

)

A.(16-χ-10)(200+80x)=1440

B.（16-χ）（200+80x）=1440

C.（16-χ-10）（200-80x）=1440

D.（16-χ）（200-80x）=1440

6.（4分）若事件“关于X的一元二次方程αr2+4x-1=0有实数根”是必然事件，则。的取

值范围是（）

A.a<4B.a>-4C.-4且αW0D.αW-4且αW0

7.（4分）如图，正三角形EFG内接于。。，其边长为2√E,则OO的内接正方形ABCQ

8.（4分）如图，AB为C）O的直径，点C是弧BE的中点.过点C作CQLAB于点G,交

Oo于点。，若BE=8,BG=2,则OO的半径长是（）

A.5B.6.5C.7.5D.8

9.（4分）如图，将AABC绕点C旋转60°得到AAbC,已知AC=6,8C=4,则线段AB

扫过的图形面积为（）

C

A.ɜɪB.lθɪ

23

C.6πD.以上答案都不对

10.（4分）已知圆锥的母线长为8c∕n,底面圆的半径为2cm,则此圆锥侧面展开图的圆心

角是（）

A.30oB.60oC.90°D.180°

11.（4分）如图，将aABC绕点C（0,1）旋转180°得到△4'B'C,设点A的坐标为（。,

12.（4分）如图，已知二次函数y=οr2+bx+c（a≠0）的图象与X轴交于点A（-1,0）,

与y轴的交点B在（0,-2）和C（0,-1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=l,

下列结论：①αbc>O;②4α+26+c>0;③α-/?+c=0；④工<α<2;其中正确结论的个

33

二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）

13.（4分）现有分别标有汉字“高”“质”“量”“发”“展”的五张卡片，它们除汉字外完

全相同，若把五张卡片背面朝上，洗匀放在桌子上，然后随机抽出一张，不放回；再随

机抽出一张，两次抽出的卡片上的汉字能组成“发展”的概率是.

14.（4分）关于X的一元二次方程（〃?-3）x2+5x+"2--6=0有一个根是0,则，〃的值

为.

15.（4分）西昌航天公园是2022年西昌市启动东西海三河六岸生态治理工程的重点惠民项

目之一，如图是公园北部一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、

8两点，拱桥最高点C到AB的距离为8m，AB=24/〃，D,E为拱桥底部的两点，且。E

//AB,若OE的长为36〃?，则点E到直线AB的距离为m.

16.（4分）如图，ZXABC中，ZC=90o,AC=6,AB=I0,。为BC边的中点，以AO上

一点O为圆心的。。和AB、8C均相切，则。。的半径为.

17.（4分）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在X轴的正半轴上，ZAOB

=NB=30°,OA=I,将AAOB绕点O逆时针旋转90°,点B的对应点片的坐标

三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.（8分）解方程：

（1）/+2χ-3=0；

（2）3x（X-2）=8-4x.

19.（6分）已知关于X的方程％2-（Λ+2）x+2⅛=0.

（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；

（2）若等腰AABC的一边长为4,另两边长沉,“恰好是这个方程的两个根，求AABC

的周长.

20.（6分）阅读以下材料，解答问题.

规定：两个函数yι,”的图象关于X轴对称，则称这两个函数互为“x函数”，例如：函

数%=2%+2与”=-2%-2的图象关于犬轴对称，则这两个函数互为“x函数”.

①若抛物线Ci与抛物线y=/-2Λ+3互为“x函数”，则抛物线Ci的解析式：.

1

②若抛物线C2与抛物线y=kx+4x+k-2（⅛为非零常数）互为。函数”，且抛物线），=

近2+4x+Z-2的最大值为1,请求出抛物线C2的解析式，并说明理由.

21.（6分）有甲乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1、2；

乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字0、1、√E,小丽先从甲袋中随机取出一

个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字

为y,设点尸坐标为（x,y）.

（1）请用列表格或树状图列出点P所有可能的坐标；

（2）在平面直角坐标系中，。。的圆心在原点，半径为2,求点尸在。。内的概率.

22.（6分）如图，∙∆A8C中，AB=AC,以AC为直径的。O与BC交于点。，过点D作

DELAB于点E,延长ED、AC交于点F.

（1）求证：直线EF为。。的切线.

（2）若CF=2,DF=4,求C）O的半径和即长.

23.（5分）已知a、Z?为非零常数，a∙b≠l,满足2J+4Q+1=0,廿+4b+2=0,则且_上一旦

24.（5分）如图，等边AABC中，A8=2,点。是以A为圆心，半径为1的圆上一动点,

连接CD,取CD的中点E,连接BE,则线段BE的最小值为.

BC

五、解答题（本大题共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

25.（10分）2022年5月，教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的

劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质.某校为此规划出矩形

苗圃ABCD,苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为12米），另三边用木栏围成，中间也

用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门

（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCO的一边CZ）长为X米.

（1）矩形ABC。的另一边3C长为米（用含的代数式表示）；

（2）若矩形ABCO的面积为63m2,求X的值；

（3）当X为何值时，矩形ABC。的面积最大，最大面积为多少平方米？

墙墙

A^l^~F

B----------'c

26.（10分）在AABC中，ZACB=90o,AC=BC,根据题意完成下列问题：

（1）如图①，点。为AABC内的点，连接CD,AD,BO将CO绕着点C按逆时针方向

旋转90°后得CE,连接DE,BE,若AC=2,CD=],AD=M,求证：CD//BE.

（2）如图②，若点E是AABC中斜边A8上的点（点E不与点A、8重合），试求试求

BE2、AE2,。产的数量关系，并说明理由.

图②

27.（10分）如图，已知直线必交C）O于A、B两点,AE是。。的直径，点C为。。上一

点，且AC平分N∕¾E,过C作。。的切线交附于。点.

（1）求证：8"L∕¾;

（2）若CO=2AO,G）O的直径为20,求线段AC、AB的长.

E

PDA

28.(10分)已知如图，抛物线y="∕+⅛r+C(a≠0)与坐标轴分别交于点A(0,3),B(-

3,O),C(1,0).

(1)求抛物线解析式；

(2)点尸是抛物线第三象限部分上的一点，若满足NPCB=/ABC,求点尸的坐标；

(3)若。是X轴上一点，在抛物线上是否存在点E,使得以点A、B、D、E为顶点的四

边形是平行四边形，若存在，请写出E点的坐标，若不存在，请说明理由.

2023年四川省凉山州中考数学适应性试卷

（参考答案与详解）

一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题给出的四个选项中只有一

项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置。

1.（4分）下列方程中，关于X的一元二次方程是（）

A.2（JV2+2X）=ZV2-IB.0r2+⅛x+c=0

C.（x+l）2=2X+1D.A>+χ+l=0

2

X

【分析】根据一元二次方程的定义解答.一元二次方程必须满足四个条件：（I）未知数

的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数.由这

四个条件对四个选项进行验证.

【解答】解：A、该方程化简后可得4x+1=0,是一元一次方程，不符合题意；

B、当α=0时，οv2+bx+c=O不是一元二次方程，不符合题意；

C、该方程是一元二次方程，符合题意：

D.该方程是分式方程，不符合题意.

故选：C.

2.（4分）在庆祝凉山彝族自治州成立70周年民族饰品展上，彝族器皿受到广泛关注，如

图，是器皿中的民族图案，对其对称性的表述，正确的是（）

A.轴对称图形

B.中心对称图形

C.既是轴对称图形又是中心对称图形

D.既不是轴对称图形又不是中心对称图形

【分析】根据中心对称的概念得出结论即可.

【解答】解：由题意知，该图形是中心对称图形，不是轴对称图形,

故选：β.

3.(4分)下列关于抛物线y=-(Λ+1)2+4的判断中，错误的是()

A.形状与抛物线y=-X2相同

B.对称轴是直线X=-I

C.当x>-2时，y随X的增大而减小

D.当-3VxCl时，y>0

【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解.

【解答】解：A、抛物线y=-(x+l)2+4形状与y=-/相同，此选项不符合题意；

B、抛物线y=-(x+l)2+4对称轴X=-1,此选项不符合题意.

C、对于抛物线y=-(x+l)2+4,由于α=7V0,当x>-l时，函数值y随X值的增

大而减小，此选项错误，符合题意；

D、抛物线y=-(x+l)2+4=-(X+3)(X-1),a=-1<0,抛物线开口向下，抛物线

与X轴的交点为(-3,0),(1,0),所以当y>0时，-3<x<↑,此选项不符合题意.

故选：C.

4.(4分)已知(-1,γ∣),(-2,ν)，(-4,*)是抛物线y=2√+8x+机上的点，则()

A.y∣<γ2<y3B.y3<y2<yiC.y3<y∖<y2D.y2<yι<y3

【分析】求出抛物线的对称轴为直线X=-2,然后根据二次函数的增减性和对称性解答

即可.

【解答】解：抛物线的对称轴为直线X=-」—=-2,

2×2

.∙.(-1,γι)关于对称轴的对称点为(-3,力)

Va=2>0,

.∙.x<-2时，y随X的增大而减小，

V-4<-3<-2,

Λy2<yι<y3.

故选：D.

5.(4分)端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗.某

超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售

出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市

每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低X元，则可列方程为

()

A.(16-χ-10)(200+80Λ∙)=1440

B.(16-χ)(200+80x)=1440

C.(16-χ-10)(200-80x)=1440

D.(16-χ)(200-80x)=1440

【分析】当每袋粽子售价降低X元时，每袋粽子的销售利润为(16-χ-10)元，每天可

售出(200+80x)袋，利用总利润=每袋的销售利润X每天的销售量，即可得出关于X的

一元二次方程，此题得解.

【解答】解：当每袋粽子售价降低X元时，每袋粽子的销售利润为(16-X-10)元，每

天可售出(200+80x)袋,

依题意得：(16-X-10)(200+80Λ)=1440.

故选：A.

6.(4分)若事件“关于X的一元二次方程—+4x-1=0有实数根”是必然事件，则。的取

值范围是()

A.a<4B.a>-4C.-4且αW0D.αW-4且“W0

【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a≠0且A=42-44X(-I)

20,然后求出两不等式的公共部分即可.

【解答】解：根据题意得αW0且A=42-44X(-1)≥0,

解得-4且a≠0.

故选：C.

7.(4分)如图，正三角形EFG内接于。O,其边长为2√E,则Oo的内接正方形ABCC

的边长为()

【分析】连接AC、OE、。凡作OMLEF于M,由正方形和圆的性质求得OE=OF=国B,

2

结合正三角形的外接圆的性质得到OE=O尸=2,由此得到关于48的方程区8=2,易

2

得AB-4-∖[2.

【解答】解；连接AC、0E、OF,作OM_LEF于

；四边形ABC。是正方形，

：.AB=BC,ZABC=90o,

.∙.AC是直径，AC=®AB,

：.OE=OF=J^-AB.

2

；ZXEFG是等边三角形，点。是正三角形EFG的外接圆圆心,

OE=OF=Zx2网X近=2,

32

二亚AB=2,

2

ΛAB=4√2∙

即。。的内接正方形A8C。的边长为4&.

8.(4分)如图，AB为。。的直径，点C是弧BE的中点.过点C作CQj_AB于点G,交

OO于点。，若BE=8,BG=2,则G)O的半径长是()

【分析】连接OD如图，设G)O的半径为r,根据垂径定理得菽=俞，CG=DG,则宙

=而，所以CD=BE=8,则DG=LCD=4,利用勾股定理得到42+(r-2)2=r2,然

2

后解方程即可.

【解答】解：连接0。，如图，设。。的半径为r,

":CDLAB,

ʌBC=BD-CG=DG,

：点C是弧BE的中点，

∙∙∙CE=CB>

•'-BE=CD)

.".CD=BE=S,

.∖DG=1.CD=4,

2

在RtZ∑0f>G中，：0G=r-2,OD=r,

Λ42+(r-2)2=r2,解得r=5,

即。。的半径为5.

故选：A.

9.（4分）如图，将AABC绕点。旋转60°得到AAbC,已知AC=6,BC=4,则线段AB

扫过的图形面积为（）

C

A.ɜɪB.lθɪ

23

C.6πD.以上答案都不对

【分析】根据图形可以得出43扫过的图形的面积=S扇形AC4+Sz√lBC-S扇形BO-S44B

C，由旋转的性质就可以得出S∆ABC=S∆A'BC就可以得出AB扫过的图形的面积=S扇形

ACA1-SmBCB求出其值即可.

【解答】解：；ZVUJC绕点C旋转60°得到B'C,

：.∆ABC^ΔA,B1C,

:∙S3C=S&ABC，zbcb'=∕AC4'=60°.

''AB扫过的图形的面积=S端形AeA,+S∆ABC-SmBCB'-5∆A,BC>

...AB扫过的图形的面积=Sia）MCA∙-S,舶BCB,

π,2

.'.AB扫过的图形的面积=也二破-θθ,J.=lθπ.

3603603

故选:B.

10.（4分）已知圆锥的母线长为8cm,底面圆的半径为2cm,则此圆锥侧面展开图的圆心

角是（）

A.30°B.60oC.90oD.180°

【分析】根据扇形面积公式列式计算即可.

【解答】解：设此圆锥侧面展开图的圆心角为,

：圆锥的底面圆的半径为2cm,

，圆锥的底面圆的周长为4πcm,即圆锥侧面展开图扇形的弧长为4πc∕n,

则吧匕B=4n,

180

解得：77=90,

故选：C.

11.（4分）如图，将AABC绕点C（0,1）旋转180°得到AA'B'C,设点4的坐标为（α,

b）,则点A'的坐标为（）

A.（-a,-h）B.（-a,-⅛-1）C.（-a,-HI）D.（-«>-⅛+2）

【分析】设点A'的坐标是（x,>）,根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称，再根据

中点公式列式求解即可.

【解答】解：根据题意，点4、A'关于点C对称，

设点A'的坐标是（x,y）,

则史三=0,也=1,

22

解得X=-a,y=-b+2,

.∙.点A'的坐标是（-a,-⅛+2）.

故选：D.

12.（4分）如图，已知二次函数y=α∕+bx+c（α≠0）的图象与X轴交于点A（-1,0）,

与y轴的交点8在（0,-2）和C（0,-1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=l,

下列结论：①“bc>O:②4α+26+c>0;③α-Z?+c=O；④"l<α<2;其中正确结论的个

33

【分析】根据对称轴为直线x=l及图象开口向下可判断出a、b、C的符号，从而判断①;

根据对称轴得到函数图象经过（3,0）,则得②的判断；根据图象经过（-1,0）可得到

a、b、C之间的关系；当X=-I时，y=0,则得③的判断；从图象与y轴的交点B在（0,

-2）和（0,-1）之间可以判断C的大小得出④的正误.

【解答】解：①Y函数开口方向向上，

.∙.”>0;

：对称轴在y轴右侧，

.".asb异号,b<0,

：抛物线与y轴交点在y轴负半轴，

Λc<0,

.".abc>O,

故①正确；

②：图象与无轴交于点A（-1,0）,对称轴为直线X=1,

.∙.图象与X轴的另一个交点为（3,0）,

当x=2时，>,<0,

.*.4。+2〃+CVO,

故②错误；

③当X--1时，y=0,

.".a-b+c—Q,

故③正确；

④：图象与y轴的交点B在（0,-2）和（0,-1）之间，

-2<c<-1

二-2<-3α<-1,

J.-<a<-↑

33

故④正确；

正确结论为：①③④，有3个，

故选：C.

二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）

13.（4分）现有分别标有汉字“高”“质”“量”“发”“展”的五张卡片，它们除汉字外完

全相同，若把五张卡片背面朝上，洗匀放在桌子上，然后随机抽出一张，不放回；再随

机抽出一张，两次抽出的卡片上的汉字能组成“发展”的概率是ɪ.

-10-

【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，其中两次抽出的卡片上的汉字能组成“发

展”的结果有2种，再由概率公式求解即可.

【解答】解：把标有汉字“高”“质”“量”“发”“展”的五张卡片分别记为A、B、C、

D、E,

画树状图如下：

共有20种等可能的结果，其中两次抽出的卡片上的汉字能组成“发展”的结果有2种,

.∙.两次抽出的卡片上的汉字能组成“发展”的概率为2=。

2010

故答案为：

10

开始

BCDEACDEABDEABCEABCD

14.(4分)关于X的一元二次方程("?-3)x2+5x+m2-tn-6=0有一个根是0,则m的值

为-2.

【分析】把x=0代入方程即可得到一个关于小的方程，解方程求得〃?的值.

【解答】解：把X=O代入方程得利2-rt3-6=0,

解得m=3或-2.

又∙.∙m-3W0,即

.'.m--2.

故答案是：-2.

15.(4分)西昌航天公园是2022年西昌市启动东西海三河六岸生态治理工程的重点惠民项

目之一，如图是公园北部一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、

B两点，拱桥最高点C到48的距离为8m,A8=24∕”,D,E为拱桥底部的两点，且QE

//AB,若OE的长为36口，则点E到直线AB的距离为10〃?.

【分析】先建立平面直角坐标系，根据题中写出A、B、C的坐标，根据顶点坐标设出抛

物线的解析式，然后再把点B坐标代入解析式即可求出解析式，再求出当X=I时对应的

y值即可得出答案.

【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系：

；拱桥最高点C到AB的距离为8w,且AB=24/H,

：.C(0,8),A(-12,O),B(12,0),

抛物线的顶点坐标为(0,8),

则可设抛物线的解析式为：y=αr2+8,

再把8(12,0)代入解析式得：144α+8=0,

解得：a=-―,

18

.*.y---‰C2+8,

18

且。E的长为36机，

.∙.当X=18时，y--10,

；•点E到直线AB的距离为IOzn;

故答案为：10.

AB=10,。为8C边的中点，以AD上

一点。为圆心的O。和AB、BC均相切，则OO的半径为£

—7-

【分析】过点O作OEYAB于点E,OFYBC于点F.根据切线的性质，知OE、OF是

QO的半径；然后由三角形的面积间的关系(S4ABO+SABOD=SAABD=SAACD)列出关于

圆的半径的等式，求得圆的半径.

【解答】解：过点。作OELAB于点E,OFLBC于点F.

,：AB.BC是。。的切线，

二点E、尸是切点，

：.0E、。尸是G)O的半径；

：.OE=OF;

在aA8C中，∕C=90°,AC=6,AB=IO,

.∙•由勾股定理，得BC=8;

又：。是BC边的中点，

:∙S^ABD=SAACD,

又*∙φSAABD=S∆ABθ+S&BOD，

/.1AB∙OE+1BD∙OF=1.CD∙AC,即IOXoE+4XOE=4X6,

222

解得OE=9，

7

.∙.OO的半径是12,

7

故答案为22.

7

17.(4分)如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在X轴的正半轴上，ZAOB

=NB=30°,OA=2,将aAOB绕点O逆时针旋转90°,点B的对应点片的坐标是

【分析】过点B和夕作8。，X轴和B'CLy轴于点。、C,根据题意可得8(3,M)，

进而可得点B的对应点S的坐标.

【解答】解：如图，过点8和B'作轴和B'CLy轴于点。、C,

I

TNAOB=/8=30°,

a

.∖AB=0A=2fZBAD=60,

ΛAD=1,BD=√3,

.∙.OD=OA+AO=3,

：.B(3,√3),

二将AAOB绕点。逆时针旋转90°,点8的对应点8,

：.B'C=BD=M,OC=0。=3,

：.B'坐标为：(-∖后,3).

故答案为：(-∖后，3).

三、解答题(共5小题，共32分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.(8分)解方程：

(1)W+2χ-3=0；

(2)3x(X-2)=8-4x.

【分析】(1)利用因式分解法解答即可；

(2)利用因式分解法解答即可.

【解答】解：(1)原方程变为：

(x+3)(χ-l)=0,

.∙.χ+3=0或X-I=0,

•・％1=-3,X2=1•

(2)原方程变为：

3x(X-2)+4(χ-2)=0,

/.(X-2)(3x+4)=0,

.∙.x-2=0或3x+4=0,

♦'♦Xi=2,X2~~

3

19.(6分)已知关于X的方程7-(k+2)x+2k=0.

(1)求证：后取任何实数值，方程总有实数根；

(2)若等腰AABC的一边长为4,另两边长孙〃恰好是这个方程的两个根，求AABC

的周长.

【分析】(1)计算其判别式，得出判别式不为负数即可；

(2)当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个根为4,代入可求得％的值，则可求得

方程的另一根，可求得周长；当边长为4的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，

可求得％的值，再解方程即可.

【解答】(1)证明：•：N=(⅛+2)2-8仁F+4A+4-8k=(*-2)2^O,

.∙.无论“取何值，方程总有实数根：

(2)解：当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个实数根为4,

Λ16-4（fc+2）+2A=0,解得％=4,

方程为x2-6x+8=0,解得x=4或x=2,

、〃的值分别为2、4,

.♦.△4BC的周长为10；

当边长为4的边为底时，则机=〃，即方程有两个相等的实数根，

.∙.A=O,即（k-2）2=0,解得k=2,

二方程为X2-4x+4=0,解得m="=2,

此时2+2=4,不符合三角形的三边关系，舍去；

综上可知Be的周长为10.

20.（6分）阅读以下材料，解答问题.

规定：两个函数y∣,”的图象关于X轴对称，则称这两个函数互为“x函数”，例如：函

数〉1=2%+2与”=-2%-2的图象关于工轴对称，则这两个函数互为“x函数”.

①若抛物线Ci与抛物线y=∕-2x+3互为'x函数”,则抛物线Ci的解析式：y=-f+2X

~3

2

②若抛物线C2与抛物线y^kx+4x+k-2（⅛为非零常数）互为“X函数”，且抛物线y=

区2+4x+A-2的最大值为1,请求出抛物线C2的解析式，并说明理由.

【分析】（1）根据新定义求抛物线Cl的解析式；

（2）根据二次函数的最值求出"然后求出原抛物线解析式，进而得出抛物线Q的解析

式.

【解答】解：（1）•••抛物线Cl与抛物线y=∕-2x+3互为“X函数”，

抛物线CI的解析式：γ=-X2+2X-3,

故答案为：y--x2+2x-3；

（2）：抛物线y^kx1+4x+k-2的最大值为1,

•4k（k-2）-16=],

4k

解得k—4或无=-1,

，原抛物线解析式：y=4∕+4x+2或y=-7+4χ-3；

；抛物线C2与抛物线y=近2+4χ+k-2（%为非零常数）互为“x函数”，

二抛物线Cz的解析式：y=-4x2-4x-2或y=x2-4x+3.

21.（6分）有甲乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1、2；

乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字0、I、√5,小丽先从甲袋中随机取出一

个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字

为y,设点P坐标为(χ,›,).

(1)请用列表格或树状图列出点尸所有可能的坐标；

(2)在平面直角坐标系中，G)O的圆心在原点，半径为2,求点P在。。内的概率.

【分析】(1)画出树状图，即可得出结论；

(2)由(1)可知，共有6种等可能的结果，其中点P(x,y)在C)O内(Λ2+)∕<22)

的结果有2种，再由概率公式求解即可.

【解答】解：(1)把√3记为m画树状图如下：

共有6种等可能的结果,分别为(1,0)、(1,1)、(1,百)、(2,0)、(2,1)、(2,√3):

(2)由(1)可知，共有6种等可能的结果，其中点P(x,y)在。。内(/+y2<22)

的结果有2种，即(1,0)、(1,1),

.∙.点P(x,y)在C)O内的概率为2=上.

63

开始

I2

/N小

OlaOla

22.(6分)如图，缸ABC中，AB=AC,以AC为直径的C)O与BC交于点D,过点D作

DELAB于点E,延长ED、AC交于点F.

(1)求证：直线EF为。。的切线.

(2)若CF=2,DF=4,求OO的半径和ED长.

【分析】(1)连接O。、AD,可证明∕OD4=N84D,则OD〃AB,所以/。。尸=NAM

=90°,即可证明直线EF为OO的切线；

2

(2)先证明aFDCs得SL=迎_,IjIlJAF=¥=8,所以20A=AC=6,则

DFAFCF

OD=OD=OA=3,而OF=OC+CF=5,再由ODHAB,得理=空=旦,所以DE=^-DF

DFOF55

=12,则00的半径长为3,E。的长为」2.

55

【解答】(1)证明：连接0。、AD,则0。=。4,

：.ZODA=ZCAD,

YAC是。。的直径，

ΛZADC=90o,

"：AB=AC,ADLBC,

：.ACAD=ΛBAD,

：.ZODA^ZBAD,

.∖OD∕∕AB,

「OELAB于点E,

.".ZODF=ZAED=WO,

；。。是00的半径，EFYOD,

直线E尸为Oo的切线.

(2)解：,:OD=OC,

：.Z0DC=Λ0CD,

∙.∙∕FOC+NOOC=90°,ZFAD+ZOCD=9O0,

NFDC=NFAD,

'：/F=NF,

:AFDCS丛FAD,

•ɪ=DF,

,,DFAF,

VCF=2,DF=4,

.∙.AF=迎1上8,

CF2

J.2OA=AC=AF-CF=S-2=6,

・•・OD=OD=OA=S9

：.OF=OC+C产=3+2=5,

∖,0D∕/AB,

，QE=旦Z)F=3x4=乌

555

二QO的半径长为3,ED的长为」2.

5

四、填空题：(本大题共2小题，每小题5分，共10分)

22

23.(5分)己知〃、A为非零常数，a∙b≠l,满足2J+44+l=O,⅛2+4fe+2=0,则国="

=20.

【分析】先把2∕+4α+l=0变形为(JL)2+4•工+2=0,则可把工和。看作方程/+4x+2

aaa

=O的两根，根据根与系数的关系得到工+8=-4,l∙b=-2,然后把原式变形为原式

aa

(α+l)2-2a∙l,最后利用整体代入的方法计算.

bb

【解答】解：∙.∙2∕+4α+l=0,

(A)2+4∙A+2=0,

aa

∖∙b2+4b+2=0,ab≠∖,

和a可看作方程/+4x+2=0的两根，

a

Λ-i+Z?=-4,-∙h=-2,

aa

二・原式=。2+_1_=(Q+_1)2-2a9—=(-4)2-2×(-2)=20.

b2bb

故答案为：20.

24.(5分)如图，等边AABC中，AB=2,点。是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，

连接CZλ取CZ)的中点E,连接BE,则线段BE的最小值为i√3zl.

—2―

【分析】延长CB到T,使得BT=BC,连接AT,DT,AD.首先确定。T的取值范围,

再利用三角形的中位线定理解决问题即可.

【解答】解：延长CB到T,使得8T=8C,连接AT,/97,AD.

,/AABC是等边三角形,

：.BA^BC^AC=BT=2,ZACB=60o，

ΛZCAT=90°,

.∙.AT=CT∙sin6(Γ=2我，

VAD=L

Λ2√3-1≤DT≤2√3+1.

"：CB=BT,CE=DE,

：.BE=LDT,

2

..._]≤8EW2«+1,

22

线段BE的最小值为2一一1.

_2

故答案为：2√1ς1.

2

五、解答题（本大题共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

25.（10分）2022年5月，教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的

劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质.某校为此规划出矩形

苗圃ABCD,苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为12米），另三边用木栏围成，中间也

用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门

（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CQ长为X米.

（1）矩形ABCO的另一边BC长为30-3X米（用含的代数式表示）；

（2）若矩形ABCD的面积为63∕n2,求X的值；

（3）当X为何值时，矩形ABC。的面积最大，最大面积为多少平方米？

墙墙

AD

B----------'c

【分析】（1）根据题中条件即可求出BC的长；

（2）先根据题中条件算出X的取值范围，根据题意列出方程，解出方程的解即可；

（3）设面积为S,写出S的函数表达式，配成顶点式，根据X取值范围即可求出最大值.

【解答】解：（1）：修建所用木栏总长28米，且两处各留1米宽的门（门不用木栏），

BC=2+28-3x=（30-3x）米，

故答案为:30-3x；

（2）•••墙最大可用长度为12米，

Λ2<BC≤12,BP2<30-3x≤12,

解得：6≤Λ<2S,

3

根据图形可列方程得：X（30-3x）=63,

解得：Xi=3（舍），X2=7,

.∙.x的值为7；

（3）设矩形的面积为S平方米，

贝IJS=X（30-3x）

——-3X2+30X

=-3（X-5）2+75,

T-3<0,且6WχV%

3

.∙.当x=6时，S有最大值，最大值为72,

答：当x=6时，矩形A8CC的面积最大，最大面积为72平方米.

26.（10分）在AABC中，NACB=90°,AC=BC,根据题意完成下列问题:

(I)如图①，点。为AABC内的点，连接CD,AD,BO将CO绕着点C按逆时针方向

旋转90°后得CE,连接力E,BE,若AC=2,CD=I,AD=M,求证：CD//BE.

(2)如图②，若点E是aABC中斜边AB上的点(点E不与点A、3重合)，试求试求

BE2、AE2、CE?的数量关系，并说明理由.

【分析】(1)根据勾股定理的逆定理得到NAoC=90°,根据旋转的性质得到CC=CE,

/OCE=90°,求得/CEf>=/CDE'=45°,根据全等三角形的性质得到NCE3=∕AZ)C

=90°,求得NBEO=/SE,根据平行线的判定定理得到C£>〃8E；

(2)根据旋转的性质得到CE=CF,NECF=90°,求得∕A=NABC=45°,根据全等

三角形的性质得到BF=AE,ZCBF=ZA=45o,根据勾股定理得到结论.

【解答】(1)证明：AC=2,CD=I,ΛZ)=√3,

：.CDz+ADz=1+3=4=Ac2,

ΛZADC=90o,

・・・将CD绕着点C按逆时针方向旋转90°后得CE,

：・CD=CE,NJDCE=90°,

：.ZCED=ZCDE=45o,

o

VZACB=90,AC=BC9

：•NACB-ZBCD=ZDCE-ZBCDf

即NAeO=N3CE,

Λ∕∖ACD^ΛBCE(SAS),

JNCEB=NAoC=900,

：・4BED=45°,

JNBED=NCDE,

J.CD//BE；

⑵解：2CE2=BE1+AE1,

理由：将CE绕着点C逆时针旋转90°得到CF,连接EF,BF,

则CE=C