2024-2025学年高中数学第三章函数的应用3.2.1几类不同增长的函数模型学案含解析新人教A版必修1

PAGE3．2函数模型及其应用3．2.1几类不同增长的函数模型内容标准学科素养1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．2．区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异．3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题.提升数学运算发展逻辑推理应用数学建模授课提示：对应学生用书第62页[基础相识]学问点几类不同增长的函数模型eq\a\vs4\al(预习教材P95－101，思索并完成以下问题)在教材第三章的章首图中，我们看到一大群喝水、游戏的兔子，但正是这群兔子曾使澳大利亚人伤透了脑筋.1859年，有人从欧洲带到澳大利亚几只兔子，由于澳大利亚牧草茂密，而且没有兔子的天敌，于是兔子数目急速增加，不到100年，数量达到75亿只，这75亿只兔子吃掉了相当于7.5亿只羊所吃的牧草，草原的载畜量大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲畜，这使澳大利亚人头痛不已．直到20世纪50年头，科学家采纳粘液瘤病毒杀死了90%的野兔，才使澳大利亚人松了一口气．从数学上来看，这个问题可以用函数模型来体现野兔的增长状况．(1)对函数y1＝100x，y2＝log100x，y3＝x100，y4＝100x，当x越来越大时，增长速度最快的应当是哪一个函数？提示：由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y4＝100x增长速度最快．(2)若x∈(0,1)，则2x，xeq\f(1,2)，lgx的大小关系是什么？提示：在同一坐标系内画出函数y＝2x，y＝xeq\f(1,2)和y＝lgx的图象即可得出结论，即2x＞xeq\f(1,2)＞lgx.学问梳理指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，使得当x>x0时，就有logax<xn<ax(a>1，n>0)．[自我检测]1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个…这样，一个细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是__________．答案：y＝2x(x∈N*)2．如图所示的曲线反映的是__________函数模型的增长趋势．答案：幂函数或对数型授课提示：对应学生用书第63页探究一函数模型的增长差异[例1](1)下列函数中随x增大而增长速度最快的是()A．y＝2019lnx B．y＝x2019C．y＝eq\f(\r(x),2019) D．y＝2019·2x(2)三个变量y1，y2，y3随着变量x的改变状况如下表：x1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y356.106.616.957.27.4则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数改变的变量依次为()A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2[解析](1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝2019·2x增长速度最快．(2)通过指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的改变符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的改变符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，y1随x的改变符合此规律，故选C.[答案](1)D(2)C方法技巧1.指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，形象地称为“指数爆炸”．2．对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢．3．幂函数模型y＝xn(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．跟踪探究1.函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，推断f(6)，g(6)，f(2019)，g(2019)的大小．解析：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2,9<x2<10，所以x1<6<x2,2019>x2.从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6)．当x>x2时，f(x)>g(x)，所以f(2019)>g(2019)．又g(2019)>g(6)，所以f(2019)>g(2019)>g(6)>f(6)．探究二方案的择优问题[例2]某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并打算实施．方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费．(1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；(2)若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？[解析]设工厂每月生产x件产品时，选择方案一的利润为y1，选择方案二的利润为y2，由题意知y1＝(50－25)x－2×0.5x－30000＝24x－30000.y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.(1)当x＝3000时，y1＝42000，y2＝54000，∵y1<y2，∴应选择方案二处理污水．(2)当x＝6000时，y1＝114000，y2＝108000，∵y1>y2，∴应选择方案一处理污水．方法技巧不同函数模型的选取标准不同的函数模型能刻画现实世界中不同的改变规律：(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的改变规律；(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的改变规律；(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的改变规律；(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的改变规律．因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、精确地建立相应改变规律的函数模型来解决实际问题．跟踪探究2.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严峻，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是()A．y＝0.2x B．y＝eq\f(1,10)(x2＋2x)C．y＝eq\f(2x,10) D．y＝0.2＋log16x解析：将x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分别代入验算．答案：C授课提示：对应学生用书第64页[课后小结]1．常见的函数模型及增长特点．(1)直线y＝kx＋b(k＞0)模型，其增长特点是直线上升；(2)对数函数y＝logax(a＞1)模型，其增长缓慢；(3)指数函数y＝ax(a＞1)模型，其增长快速．2．函数模型选取的择优意识解题过程中原委选用哪种增长的函数模型，要依据题目的详细要求进行抽象和概括，敏捷地选取和建立数学模型．[素养培优]图形信息题的求解误区如图的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中正确的有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个易错分析：不能精确的从图形中提取信息，不会把水的高度的改变速度与图象的改变趋势结合起来，是本题的求解误区．自我订正：图1不对，因为正方体的底面积是定值，故水面高度的增加是匀称的，即图象是直线型的