2024-2025学年新教材高中数学第8章立体几何初步8.3.2圆柱圆锥圆台球的表面积和体积素养作业提技能含解析新人教A版必修第二册

PAGE第八章8.38.3.2A组·素养自测一、选择题1．直径为6的球的表面积和体积分别是(B)A．36π，144π B．36π，36πC．144π，36π D．144π，144π2．已知一个圆柱的侧面绽开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是(A)A．eq\f(1＋2π,2π) B．eq\f(1＋4π,4π)C．eq\f(1＋2π,π) D．eq\f(1＋4π,2π)[解析]设圆柱的底面半径为r，高为h，则h＝2πr，∴S表＝2πr2＋2πrh＝2πr2(1＋2π)，∵S侧＝h2＝4π2r2，∴eq\f(S表,S侧)＝eq\f(1＋2π,2π).3．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面绽开图扇形的圆心角为(C)A．120° B．150°C．180° D．240°[解析]设底面半径为r，母线长为l，则πrl＋πr2＝3πr2，∴l＝2r，∴θ＝eq\f(2πr,l)＝π.4．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为(C)A．eq\f(8π,3) B．eq\f(32π,3)C．8π D．eq\f(8\r(2)π,3)[解析]设球的半径为R，则截面圆的半径为eq\r(R2－1)，∴截面圆的面积为S＝π(eq\r(R2－1))2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π.5．(多选)将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积可能是(AB)A．32π2＋8π B．32π2＋32πC．32π2＋64π D．64π[解析]当4π作为底面圆周长时，圆柱的侧面积为4π×8π＝32π2，底面圆的半径为r＝2，两底面面积为2πr2＝8π，所以圆柱的表面积为32π2＋8π；当8π作为底面圆周长时，圆柱的侧面积为4π×8π＝32π2，底面圆的半径为r＝4，两底面面积为2πr2＝32π，所以圆柱的表面积为32π2＋32π.二、填空题6．若圆锥的侧面绽开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是__eq\f(\r(3)π,3)__.[解析]易知圆锥的母线长为2，设圆锥的底面半径为r，则2πr＝eq\f(1,2)×2π×2，∴r＝1，高h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(3).∴V圆锥＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×eq\r(3)＝eq\f(\r(3)π,3).7．已知一个正方体的全部顶点在一个球面上，若球的体积为eq\f(9π,2)，则正方体的棱长为__eq\r(3)__.[解析]设正方体的棱长为a，球的半径为R，则eq\f(4,3)πR3＝eq\f(9π,2)，∴R＝eq\f(3,2)，又eq\r(a2＋a2＋a2)＝2R，∴eq\r(3)a＝3，∴a＝eq\r(3).8．一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm，若两底面圆心的连线长为12cm，[解析]如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.在Rt△ABC中，AC＝12(cm)，BC＝8－3＝5(cm).∴AB＝eq\r(122＋52)＝13(cm).三、解答题9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积.[解析]该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.该组合体的体积V＝eq\f(4,3)πr3＋πr2l＝eq\f(4,3)π×13＋π×12×3＝eq\f(13π,3).10．如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为eq\r(3)的圆柱，求圆柱的表面积.[解析]设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).如图所示易知△AEB∽△AOC，∴eq\f(AE,AO)＝eq\f(EB,OC)，即eq\f(\r(3),2\r(3))＝eq\f(r,2)，∴r＝1，S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝2eq\r(3)π.∴S＝S底＋S侧＝2π＋2eq\r(3)π＝(2＋2eq\r(3))π.B组·素养提升一、选择题1．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小的底面半径为(A)A．7 B．6C．5 D．3[解析]设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7．2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为(A)A．16π B．20πC．24π D．32π[解析]设正四棱锥的高为h，底面边长为a，由V＝eq\f(1,3)a2h＝a2＝6，得a＝eq\r(6).由题意知，球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r，则(3－r)2＋(eq\r(3))2＝r2，解得r＝2，则S球＝4πr2＝16π.故选A．3．若圆锥的侧面绽开图是圆心角为eq\f(2π,3)，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比为(C)A．3︰2 B．2︰1C．4︰3 D．5︰3[解析]底面半径r＝eq\f(\f(2π,3),2π)l＝eq\f(1,3)l，故圆锥的S侧＝eq\f(1,3)πl2，S表＝eq\f(1,3)πl2＋πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)l))2＝eq\f(4,9)πl2，所以表面积与侧面积的比为4︰3．4．如图所示的是一个封闭几何体的直观图，则该几何体的表面积为(C)A．7πcm2 B．8πcm2C．9πcm2 D．11πcm2[解析]由题图知该几何体是一个圆柱挖去一个半球所得的组合体，圆柱的底面直径与半球的直径均为2cm，圆柱的高为3cm，故圆柱一个底面的面积为π×(eq\f(2,2))2＝π(cm2)，圆柱的侧面积为2×π×3＝6π(cm2)，半球面面积为eq\f(1,2)×4×π×(eq\f(2,2))2＝2π(cm2)，故该几何体的表面积为S＝π＋6π＋2π＝9π(cm2).二、填空题5．已知圆柱OO′的母线l＝4cm，全面积为42πcm2，则圆柱OO′的底面半径r＝__3__[解析]圆柱OO′的侧面积为2πrl＝8πr(cm2)，两底面积为2×πr2＝2πr2(cm2)，∴2πr2＋8πr＝42π，解得r＝3或r＝－7(舍去)，∴圆柱的底面半径为36．(2024·天津卷文，12)已知四棱锥的底面是边长为eq\r(2)的正方形，侧棱长均为eq\r(5).若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__eq\f(π,4)__.[解析]如图所示，在四棱锥V－ABCD中，O为正方形ABCD的中心，也是圆柱下底面的中心，由四棱锥底面边长为eq\r(2)，可得OC＝1．设M为VC的中点，过点M作MO1∥OC交OV于点O1，则O1即为圆柱上底面的中心.∴O1M＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(1,2)，O1O＝eq\f(1,2)VO.∵VO＝eq\r(VC2－OC2)＝2，∴O1O＝1．可得V圆柱＝π·O1M2·O1O＝π×(eq\f(1,2))2×1＝eq\f(π,4).三、解答题7．盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5cm，两个直径为5cm的玻璃小球都浸没于水中，[解析]设取出小球后，容器中水面下降hcm，两个小球的体积为V球＝2[eq\f(4π,3)×(eq\f(5,2))3]＝eq\f(125π,3)(cm3)，此体积即等于它们的容器中排开水的体积V＝π×52×h，所以eq\f(125π,3)＝π×52×h，所以h＝eq\f(5,3)，即若取出这两个小球，则水面将下降eq\f(5,3)cm.8．已知四面体的各面都是棱长为a的正三角形，求它外接球的体积及内切球的半径.[解析]如图，设SO1是四面体S－ABC的高，则外接球的球心O在SO1上.设外接球半径为R.∵四面体的棱长为a，O1为正△ABC中心，∴AO1＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),3)a，SO1＝eq\r(SA2－AO\o\al(2,1))＝eq\r(a2－\f(1,3)a2)＝eq\f(\r(6),3)a，在Rt△OO1A中，R2＝AOeq\o\al(2,1)＋OOeq\o\al(2,1)＝AOeq\o\al(2,1)＋(SO1－R)2，即R2＝(eq