统考版2025届高考数学一轮复习课后限时集训33平面向量的概念及线性运算理含解析北师大版

PAGE课后限时集训(三十三)平面对量的概念及线性运算建议用时：25分钟一、选择题1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量肯定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4A[①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a＝0时，无论λ为何值，λa＝0.④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是随意向量．]2．设a，b是非零向量，则“存在实数λ，使得a＝λb”是“|a＋b|＝|a|＋|b|”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件B[当λ＜0时，|a＋b|≠|a|＋|b|；当λ＞0时，|a＋b|＝|a|＋|b|.故选B.]3．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝()A.eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→)) D.eq\o(BC,\s\up6(→))A[由题意得eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).]4．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝5a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－3a＋3b，则()A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线B[∵eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴A，B，D三点共线，故选B.]5．在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(NC,\s\up6(→))，P是直线BN上一点，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，则实数m的值为()A．－4 B．－1C．1 D．4B[∵eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(NC,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝5eq\o(AN,\s\up6(→)).又eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AN,\s\up6(→))，由B，P，N三点共线可知，m＋2＝1，∴m＝－1.]6．(2024·南昌模拟)如图，在△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，点E在AD边上，且AD＝3AE，则用向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))表示eq\o(CE,\s\up6(→))为()A.eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(8,9)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(8,9)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(7,9)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(7,9)eq\o(AC,\s\up6(→))B[由平面对量的三角形法则及向量共线的性质可得eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→)))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AC,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(8,9)eq\o(AC,\s\up6(→)).]7．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为()A．3 B．4C．5 D．6B[如图，∵D为AB的中点，则eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))，又eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OD,\s\up6(→))＝－eq\o(OC,\s\up6(→))，∴O为CD的中点，又∵D为AB中点，∴S△AOC＝eq\f(1,2)S△ADC＝eq\f(1,4)S△ABC，则eq\f(S△ABC,S△AOC)＝4.]8.如图所示，平面内有三个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，其中eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，则λ＋μ＝()A．1 B．2C．3 D．4C[法一：∵eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，∴由eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，两边平方得3＝λ2－λμ＋μ2，①由eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，两边同乘eq\o(OA,\s\up6(→))得eq\f(3,2)＝λ－eq\f(μ,2)，两边平方得eq\f(9,4)＝λ2－λμ＋eq\f(μ2,4)，②①－②得eq\f(3μ2,4)＝eq\f(3,4).依据题图知μ＞0，∴μ＝1.代入eq\f(3,2)＝λ－eq\f(μ,2)得λ＝2，∴λ＋μ＝3.故选C.法二：建系如图：由题意可知A(1,0)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))＝λ(1,0)＋μeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,2)μ，\f(\r(3),2)μ)).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,2)μ＝\f(3,2)，,\f(\r(3),2)μ＝\f(\r(3),2)，))∴μ＝1，λ＝2.∴λ＋μ＝3.]二、填空题9．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为________．－eq\f(1,2)[由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]．整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,2λk－k＝1，))整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq\f(1,2).又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－eq\f(1,2).]10．在等腰梯形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，点E是线段BC的中点，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，则λ＝________，μ＝________.eq\f(3,4)eq\f(1,2)[取AB的中点F，连接CF(图略)，则由题可得CF∥AD，且CF＝AD.∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(FC,\s\up6(→))－eq\o(FB,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(3,4)，μ＝eq\f(1,2).]11．已知△ABC和点M满意eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，若存在实数m使得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))成立，则m＝________.3[由已知条件得eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝－eq\o(MA,\s\up6(→))，M为△ABC的重心，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，即eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(AM,\s\up6(→))，则m＝3.]12．下列命题正确的是________．(填序号)①向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa；②在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0；③只有方向相同或相反的向量是平行向量；④若向量a，b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线．④[易知①②③错误．∵向量a与b不共线，∴向量a，b，a＋b与a－b均不为零向量．若a＋b与a－b共线，则存在实数λ使a＋b＝λ(a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－1＝0，,1＋λ＝0，))此时λ无解，故假设不成立，即a＋b与a－b不共线．]1．O是平面上肯定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满意：eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹肯定通过△ABC的()A．外心 B．内心C．重心 D．垂心B[作∠BAC的平分线AD.因为eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))＝λ′·eq\f(\o(AD,\s\up6(→)),|\o(AD,\s\up6(→))|)(λ′∈[0，＋∞))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(λ′,|\o(AD,\s\up6(→))|)·eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(AD,\s\up6(→))，所以P的轨迹肯定通过△ABC的内心，故选B.]2．(2024·株江模拟)如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满意eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AD,\s\up6(→))(m，n均为正实数)，则eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值为_______．eq\f(7＋4\r(3),4)[eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\