2024高考数学考点专项突破导数的应用含解析

导数的应用单选题1、（2024年高考全国Ⅰ卷理数）函数的图像在点处的切线方程为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】，，，，因此，所求切线的方程为，即.故选：B．2、若函数在处的切线方程为，则，的值为（）A．2,1 B．-2，-1 C．3,1 D．-3，-1【答案】C【解析】将代入切线，得到切点坐标为，将代入到函数解析式中，得到，所以，求导得，代入得，所以，得.故选：C.3、直线经过点，且与直线平行，假如直线与曲线相切，那么等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】直线经过点，且与直线平行，则直线方程为：直线与曲线相切，，切点为代入直线方程解得：故选：A4、（2024·浙江温州中学3月高考模拟）函数的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】当时，，当时，，选项B,C都不满意这两个条件.又当时，，则，当时单调递增，当时单调递减，则选项D不符合这个条件，因此A正确.故选：A5、（2024年高考全国Ⅲ卷理数）已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（）A． B．a=e，b=1C． D．，【答案】D【解析】∵∴切线的斜率，，将代入，得.故选D．6、（2024年高考全国Ⅰ卷理数）设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以a-1=0，解得a=1，所以f(x)=x3+x所以f'(0)=1,f(0)=0，所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y-f(0)=f'(0)x，化简可得y=x.故选D.7、（2025届山东师范高校附中高三月考）已知在区间上有极值点，实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】,由于函数在上有极值点，所以在上有零点.所以，解得.故选：D.8、若函数在上单调递减，则的最小值是（）A． B．-1 C． D．【答案】A【解析】由，又在上单调递减，则在上恒成立，即在上恒成立.又当时，，故，所以的最小值为.故答案选A9、（2024年高考全国III卷理数）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D【解析】设直线在曲线上的切点为，则，函数的导数为，则直线的斜率，设直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则，两边平方并整理得，解得，（舍），则直线的方程为，即.故选：D．10、（2025届浙江省温丽联盟高三第一次联考）若函数的极大值是，微小值是，则（）A．与有关，且与有关 B．与有关，且与无关C．与无关，且与无关 D．与无关，且与有关【答案】C【解析】∵，∴，令，得，或，当改变时，、的改变如下表：递增极大值递减微小值递增∴，，∴，故选：C．11、（2024年高考江苏）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是.【答案】4【解析】由，得，设斜率为的直线与曲线切于，由得（舍去），∴曲线上，点到直线的距离最小，最小值为.故答案为．12、（2024·山东省淄博试验中学高三上期末）已知、、、，从这四个数中任取一个数，使函数有极值点的概率为（）A． B． C． D．1【答案】B【解析】f′（x）＝x2+2mx+1，若函数f（x）有极值点，则f′（x）有2个不相等的实数根，故△＝4m2﹣4＞0，解得：m＞1或m＜﹣1，而a＝log0.55＜﹣2，0＜b＝log32＜1、c＝20.3＞1，0＜d＝（）2＜1，满意条件的有2个，分别是a，c，故满意条件的概率p，故选：B．13、（2025届山东师范高校附中高三月考）已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】依据题意设，则，又当时，，则有，所以在上单调递减，又在上是偶函数，所以，所以是偶函数，所以，又为偶函数，且在上为减函数，且定义域为，则有，解得或，即不等式的解集为，故选：B.14、（2025届山东省潍坊市高三上学期统考）当直线和曲线E：交于三点时，曲线E在点A，点C处的切线总是平行的，则过点可作曲线E的切线的条数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】直线过定点由题意可知：定点是曲线的对称中心，，解得，所以曲线，f′（x）=，设切点M（x0，y0），则M纵坐标y0=，又f′（x0）=，∴切线的方程为：又直线过定点，得﹣-2=0，，即解得：故可做两条切线故选C多选题15、已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图象，则下列说法正确的是A．函数的增区间是， B．函数的增区间是， C．是函数的微小值点 D．是函数的微小值点【答案】【解析】：依据题意，由函数的图象可知：当时，，，此时为增函数，当时，，，此时为减函数，当时，，，此时为减函数，当时，，，此时为增函数；据此分析选项：函数的增区间是，，则正确，错误；是函数的极大值点，是函数的微小值点，则正确，错误；故选：．16、已知函数，其导函数为，下列命题中真命题的为A．的单调减区间是 B．的微小值是 C．当时，对随意的且，恒有（a）（a） D．函数有且只有一个零点【答案】【解析】：，其导函数为．令，解得，，当时，即，或时，函数单调递增，当时，即时，函数单调递减；故当时，函数有微小值，微小值为（2），当时，函数有极大值，极大值为，故函数只有一个零点，错误，正确；，且，（a）（a），恒有（a）（a），故正确；故选：．17、（2025届山东师范高校附中高三月考）已知函数，是函数的极值点，以下几个结论中正确的是（）A． B． C． D．【答案】AC【解析】函数,,∵是函数的极值点，∴，即，

,

,,即A选项正确,B选项不正确;

,即C正确,D不正确.

故答案为:AC.18、（2024秋•烟台期中）已知函数，若，则下列结论正确的是A． B． C． D．当时，【答案】【解析】：．正确；因为令，在上是增函数，当时，，即．．错误；因为令，，时，，单调递增，时，，单调递减．与无法比较大小．．错误；因为令，，时，，在单调递减，时，，在单调递增，当时，，，，．当时，，，．．正确；因为时，单调递增，又正确，故选：．填空题19、（江苏省如皋市2024-2025学年高三上学期10月调研）已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则l在y轴上的截距为________.【答案】1【解析】函数f(x)=ax−lnx,可得,切线的斜率为：，切点坐标(1,a),切线方程l为：y−a=(a−1)(x−1)，l在y轴上的截距为：a+(a−1)(−1)=1.故答案为1.20、（江苏省南通市西亭高级中学2024-2025学年高三下学期学情调研）若曲线在处的切线斜率为-1，则___________.【答案】【解析】，.故答案为:-2.21、（2025届江苏省南通市海安高级中学高三其次次模拟）设点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则线段PQ长度的最小值为_________【答案】【解析】由题,因为与互为反函数,则图象关于对称,设点为,则到直线的距离为,设,则,令,即,所以当时,,即单调递减；当时,,即单调递增,所以,则,所以的最小值为,故答案为:22、（江苏省南通市通州区2024-2025学年高三第一次调研抽测）函数有两个零点，则k的取值范围是_______.【答案】【解析】令，因为函数有两个零点，所以的图像与直线有两个交点，作出函数的图像如下：因为，由图像可得：或.故答案为23、（2025届浙江省十校联盟高三下学期开学）已知函数，若函数有三个互不相同的零点0，，，其中，若对随意的，都有成立，则实数的最小值为______.【答案】【解析】因为，由题意可知：，是的根，则，，△，，，当时，，则存在的极大值点，，且，由题意，，将代入得，解可得．又因为，结合二次函数的性质可知，，得即的最小值．故答案为：.解答题24、（2025届山东省潍坊市高三上期中）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数处有微小值，求函数在区间上的最大值．【解析】（1）当时，，，所以，又，所以曲线在点处切线方程为，即.（2）因为，因为函数处有微小值，所以，所以由，得或，当或时，，当时，，所以在，上是增函数，在上是减函数，因为，，所以的最大值为.25、（2024·夏津第一中学高三月考）已知函数．当时，探讨的单调性；【解析】函数的定义域为.，因为，所以，①当，即时，由得或，由得，所以在，上是增函数，在上是减函数；②当，即时，所以在上是增函数；③当，即时，由得或，由得，所以在，.上是增函数，在.上是减函综上可知：当时在，上是单调递增，在上是单调递减；当时，在.上是单调递增；26、（2024年高考天津）已知函数，为的导函数．（Ⅰ）当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）当时，求证：对随意的，且，有．【解析】（Ⅰ）（i）当时，，故．可得，，所以曲线在点处的切线方程为，即．（ii）依题意，．从而可得，整理可得．令，解得．当改变时，的改变状况如下表：1-0+↘微小值↗所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；的微小值为，无极大值．（Ⅱ）证明：由，得．对随意的，且，令，则．①令．当时，，由此可得在单调递增，所以当时，，即．因为，，所以，．②由（Ⅰ）（ii）可知，当时，，即，故．③由①②③可得．所以，当时，对随意的，且，有．27、（2024年高考全国Ⅲ卷理数）设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．（1）求b．（2）若有一个肯定值不大于1的零点，证明：全部零点的肯定值都不大于1．【解析】（1）．依题意得，即.故．（2）由（1）知，.令，解得或.与的状况为：x+0–0+因为，所以当时，只有大于1的零点.因为，所以当时，f（x）只有小于–1的零点．由题设可知，当时，只有两个零点和1.当时，只有两个零点–1和.当时，有三个等点x1，x2，x3，且，，．综上，若有一个肯定值不大于1的零点，则全部零点的肯定值都不大于1.28、（2024年高考全国Ⅰ卷理数）已知函数.（1）当a=1时，探讨f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.【解析】（1）当a=1时，f（x）=ex+x2–x，则=ex+2x–1．故当x∈（–∞，0）时，<0；当x∈（0，+∞）时，>0．所以f（x）在（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）等价于.设函数，则.（i）若2a+1≤0，即，则当x∈（0，2）时，>0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g（0）=1，故当x∈（0，2）时，g（x）>1，不合题意.（ii）若0<2a+1<2，即，则当x∈(0，2a+1)∪(2，+∞)时，g'(x)<0；当x∈(2a+1，2)时，g'(x)>0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7−4a)e−2≤1，即a≥.所以当时，g(x)≤1.（iii）若2a+1≥2，即，则g(x)≤.由于，故由（ii）可得≤1.故当时，g(x)≤1.综上，a的取值范围是.29、（2024·浙江温州中学3月高考模拟）已知.（1）求的单调区间；（2）当时，求证：对于，恒成立；（3）若存在，使得当时，恒有成立，试求的取值范围.【解析】（1），当时，.解得．当时，解得．所以单调减区间为，单调增区间为．（2）设，当时，由题意，当时，恒成立．，∴当时，恒成立，单调递减．又，∴当时，恒成立，即．∴对于，恒成立．（3）因为．由（2）知，当时，恒成立，即对于，，不存在满意条件的；当时，对于，，此时．∴，即恒成立，不存在满意条件的；当时，令，可