2024-2025学年新教材高中数学课时素养评价四第一章空间向量与立体几何1.1.3.1空间向量的坐标含解析新人教B版选择性必修第一册

PAGE四空间向量的坐标(15分钟30分)1．已知a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq\f(1,2)x－2a，则x等于()A．(0，3，－6)B．(0，6，－20)C．(0，6，－6)D．(6，6，－6)【解析】选B.由b＝eq\f(1,2)x－2a，得x＝4a＋2b＝(8，12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0，6，－20).2．已知向量a＝(2x，1，3)，b＝(1，－2y，9)，若a与b为共线向量，则()A．x＝1，y＝1B．x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)C．x＝eq\f(1,6)，y＝－eq\f(3,2)D．x＝－eq\f(1,6)，y＝eq\f(3,2)【解析】选C.因为a＝(2x，1，3)与b＝(1，－2y，9)共线，所以eq\f(2x,1)＝eq\f(1,－2y)＝eq\f(3,9)(y≠0)，所以x＝eq\f(1,6)，y＝－eq\f(3,2).【补偿训练】(多选题)已知a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是()A．2，eq\f(1,2)B．－3，eq\f(1,2)C．－3，2D．eq\f(1,2)，2【解析】选AB.由题意知：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(λ＋1,6)＝\f(2,2λ)，,2μ－1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,μ＝\f(1,2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－3，,μ＝\f(1,2)．))3．已知a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为()A．eq\f(5π,6)B．eq\f(2π,3)C．eq\f(π,3)D．eq\f(π,6)【解析】选D.因为a·b＝x＋2＝3，所以x＝1，所以b＝(1，1，2)，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(3,\r(2)×\r(6))＝eq\f(\r(3),2)，又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为eq\f(π,6).4．已知a＝(1，5，－2)，b＝(m，2，m＋2)，若a⊥b，则m的值为()A．0B．6C．－6D．±6【解析】选B.因为a⊥b，所以1×m＋5×2－2(m＋2)＝0，解得m＝6.5．已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，a＝3e1＋2e2－e3，b＝－e1＋3e3，(1)分别求a－2b与a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3b))的坐标；(2)若c＝e1＋xe2－e3，且a·c＝4，求x的值．【解析】由题意得：a＝(3，2，－1)，b＝(－1，0，3)，c＝(1，x，－1)，(1)a－2b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2，－1))－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，2，－7))；a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3b))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2，－1))·3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2，－1))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，0，9))＝－9＋0－9＝－18.(2)因为a·c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2，－1))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，x，－1))＝3＋2x＋1＝4，所以x＝0.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1．已知空间向量a＝(－1，x，1)，b＝(3，1，y)，c＝(z，0，0)，a＋b＝c，则xyz的值为()A．±2B．－2C．2D．0【解析】选C.因为空间向量a＝(－1，x，1)，b＝(3，1，y)，c＝(z，0，0)，a＋b＝c，所以(2，x＋1，1＋y)＝(z，0，0)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝z，,x＋1＝0，,1＋y＝0，))解得x＝－1，y＝－1，z＝2，所以xyz＝(－1)×(－1)×2＝2.2．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b相互垂直，则k的值是()A．1B．eq\f(1,5)C．eq\f(3,5)D．eq\f(7,5)【解析】选D.依题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝eq\f(7,5).3．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则向量a＋b与a－b的夹角是()A．90°B．60°C．45°D．30°【解析】选A.a＋b＝(cosα＋sinα，2，sinα＋cosα)，a－b＝(cosα－sinα，0，sinα－cosα)，所以(a＋b)·(a－b)＝0，所以(a＋b)⊥(a－b).4．已知向量a＝(2，－1，2)，b＝(2，2，1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为()A．eq\f(\r(65),2)B．eq\r(65)C．4D．8【解析】选B.因为|a|＝eq\r(22＋（－1）2＋22)＝3，|b|＝eq\r(22＋22＋12)＝3，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(4－2＋2,3×3)＝eq\f(4,9)，所以sin〈a，b〉＝eq\f(\r(65),9)，所以S＝|a|·|b|·sin〈a，b〉＝eq\r(65).二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5．下列每组两个向量满意平行的是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，0，5))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，5，0))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，1))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，3))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，3，－1))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，3，1))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，2，－4))【解析】选BD.依据空间向量平行的条件，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，3))＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，1))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，2，－4))＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，2))，所以B，D选项的两向量平行．6．已知向量a＝(1，2，3)，b＝(3，0，－1)，c＝(－1，5，－3)，下列等式中正确的是()A．(a·b)c＝b·cB．(a＋b)·c＝a·(b＋c)C．(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2D．|a＋b＋c|＝|a－b－c|【解析】选BCD.A.左边为向量，右边为实数，明显不相等，不正确；B.左边＝(4，2，2)·(－1，5，－3)＝0，右边＝(1，2，3)·(2，5，－4)＝2＋10－12＝0，所以左边＝右边，因此正确．C．a＋b＋c＝(3，7，－1)，左边＝32＋72＋(－1)2＝59，右边＝12＋22＋32＋32＋0＋(－1)2＋(－1)2＋52＋(－3)2＝59，所以左边＝右边，因此正确．D．由C可得：左边＝eq\r(59)；因为a－b－c＝(－1，－3，7)，所以|a－b－c|＝eq\r(59)，所以左边＝右边，因此正确．三、填空题(每小题5分，共10分)7．已知向量a＝(－2，－3，6)，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝________，与a同向的单位向量为________．【解析】设a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－3，6))，则|a|＝eq\r(4＋9＋36)＝7，则与其同向的单位向量为eq\f(1,7)a＝eq\f(1,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－3，6))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,7)，－\f(3,7)，\f(6,7))).答案：7eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,7)，－\f(3,7)，\f(6,7)))8．已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1，1)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是________．【解析】因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0，所以3×(－1)＋(－2)×(x－1)＋(－3)×1<0，解得x>－2.若a与b的夹角为π，则x＝eq\f(5,3)，所以x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(5,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，＋∞)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(5,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，＋∞))四、解答题(每小题10分，共20分)9．(1)设向量a＝(3，5，－4)，b＝(2，0，3)，c＝(0，0，2)，求a－(b＋c)，a＋6b－8c.(2)已知向量b＝(x－1，y＋2，z)和向量a＝(－1，2，3)，求x，y，z的值，使向量b与a同向，且|b|＝2eq\r(14).【解析】(1)因为向量a＝(3，5，－4)，b＝(2，0，3)，c＝(0，0，2)，所以a－(b＋c)＝(3，5，－4)－(2，0，5)＝(1，5，－9).a＋6b－8c＝(3，5，－4)＋(12，0，18)－(0，0，16)＝(15，5，－2).(2)因为向量b与a同向，且|b|＝2eq\r(14)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,－1)＝\f(y＋2,2)＝\f(z,3)>0，,\r(（x－1）2＋（y＋2）2＋z2)＝2\r(14)，))解得x＝－1，y＝2，z＝6.10．已知向量a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c.(1)求向量a，b，c.(2)求向量a＋c与向量b＋c所成角θ的余弦值．【解析】(1)因为a∥b，所以eq\f(x,－2)＝eq\f(4,y)＝eq\f(1,－1)，且y≠0，解得x＝2，y＝－4，此时a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1).又由b⊥c得b·c＝0，故(－2，－4，－1)·(3，－2，z)＝－6＋8－z＝0，得z＝2，此时c＝(3，－2，2).(2)由(1)得a＋c＝(5，2，3)，b＋c＝(1，－6，1)，因此向量a＋c与向量b＋c所成角θ的余弦值为cosθ＝eq\f(（a＋c）·（b＋c）,|a＋c|·|b＋c|)＝eq\f(5－12＋3,\r(38)×\r(38))＝－eq\f(2,19).1．已知向量a，b，c是空间的一个单位正交基底，向量a＋b，a－b，c是空间的另一个基底，若向量p在基底a，b，c下的坐标为(3，2，1)，则它在a＋b，a－b，c下的坐标为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,2)，1))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，1，\f(1,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，\f(5,2)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(1,2)，1))【解析】选D.设向量a＝(1，0，0)，b＝(0，1，0)，c＝(0，0，1)；则向量a＋b＝(1，1，0)，a－b＝(1，－1，0)，又向量p＝(3，2，1)，不妨设p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc，则(3，2，1)＝(x＋y，x－y，z)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝2，,z＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝\f(1,2)，,z＝1，))所以向量p在a＋b，a－b，c下的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(1,2)，1)).2．已知空间向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，定义两个空间向量a与b之间的距离为d(a，b)＝.(1)若a＝(1，2，3)，b＝(4，1，1)，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,2)，\f(1,2)，0))，证明：d(a，b)＋d(b，c