圆的一般方程课件

2.4.2

圆的一般方程问题

直线方程有哪些形式？

直线的一般式方程直线的倾斜角和斜率直线的两点式方程直线的点斜式方程过两点的直线斜率公式斜截式方程截距式方程课堂导入展开得

由上可知，任何一个圆的标准方程都可变形成二元二次方程，反过来，二元二次方程一定能变形成圆的标准方程吗？将圆的标准方程课堂导入思考：方程

和

能不能变形成圆的标准方程？

一般地，方程

中的D，E，F满足什么条件时，这个方程表示圆？分析：对于方程将其配方可得方程表示以(1，-2)为圆心，半径为2的圆；而方程

配方后得

，方程无意义，不表示任何图形.形成概念一般地，把方程

配方可得：(1)当

时，方程表示以

为圆心，

为半径的圆；(2)当

时，方程表示一个点

；(3)当

时，方程无解，不表示任何图形.圆的一般方程

从上面的分析可知，任何一个圆的方程都可以写成的形式；反过来，当

时，方程才表示一个圆，我们把它叫做圆的一般方程.注：圆的一般式突出了代数方程的形式结构：(1)x2和y2系数相同，都不等于0；(2)没有xy这样的二次项.圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点呢？标准方程一般方程方程代数特征平方和特殊的二元二次方程系数圆心（a,b）半径r思考辨析

判断正误

1.方程x2＋y2＋x＋1＝0表示一个圆.(

)2.若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.(

)3.二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.(

)4.任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.(

)××√√例若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆.(1)求实数m的取值范围；(2)写出圆心坐标和半径.解

由表示圆的条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，法二：将方程

x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m解1：(待定系数法)设过O,M1,M2的圆方程为则∴过O,M1,M2的圆方程为例1.求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程及圆的半径和圆心坐标.例1.求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程及圆的半径和圆心坐标.解2：(待定系数法)设过O,M1,M2的圆方程为则∴过O,M1,M2的圆方程为解3：(几何方法)•l′•xO(0,0)yM1(1,1)••M2(4,2)l例1.求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程及圆的半径和圆心坐标.变式：已知一圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4,求圆的方程.解

(法1：待定系数法)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将P,Q的坐标分别代入上式,变式：已知一圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4,求圆的方程.(方法2

几何法)由题意得线段PQ的垂直平分线的方程为x-y-1=0,∴所求圆的圆心C在直线x-y-1=0上,设其坐标为(a,a-1).例2.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程..Oxy.B(4,3).A(x0,y0).M(x,y)追问：什么是轨迹和轨迹方程？直线：在平面直角坐标系中，与定点连线的倾斜角为定值的点的集合；圆：在平面直角坐标系中，到定点的距离等于定长的点的集合.例2.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程..Oxy.B(4,3).A(x0,y0).M(x,y)定点：

，定圆：.

A(主动点)

M(从动点)由于A在圆上，则

课堂小结2.一般方程标准方程配方展开1.任何一个圆的方程可以写成

（1）的形式，但方程（1）

表示的不一定是圆，只有

时，方程表示圆心为，半径

为3.用待定系数法求圆的一般方程.4.类比：类比直线的一般式方程的获得过程，由圆的标准方程得到圆的一般式方程.作业1.求下列各圆的方程，并画出图形：（1）圆心为点C（8，-3），且过点A（5，1）；（2）过A（－1，5），B（5，5），C（6，－2）三点．2.

平面直角