专题5概率的计算

概率的计算

兴知识精讲

一.用列表法和树状图法求事件的概率

1.列表法：当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，为了不重不

漏地列举出所有可能的结果，我们采用列表法来求出某事件的概率.

2.树状图法：当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的

结果，通常采用树形图法来求出某事件的概率.树形图列举法一般是选择一个元

素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的树丫形式，最末端的树丫个数就是

总的可能的结果.

二.用频率估计概率

实际上，从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，

随着试验次数的增加，一个时间出现的频率，总在一个固定的数附近摆动，显示

出一定的稳定性.因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的

频率去估计它的概率.

等可能事件的概率

一般地，如果一个试验有〃个等可能的结果，事件A包含其中的机个结果,

那么，那么事件A发生的概率为：P（A）=仝.

n

等可能事件有：任意投掷一枚均匀的骰子，任意在一模一样的球中抽取其中

一个.

知识点一：概率

L概率及公式

定义表示一个事件发生的可能性大小的数.

概率公式P（A）=-（m表示试验中事件A出现的次数，〃表示所有等可能出

n

现的结果的次数）.

例：设有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品3只，三等品2只，

则从中任意取出一只是二等品的概率是L

4

例：设有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品3只，三等品2只,

则从中任意取出一只是二等品的概率是L

4

2.用频率可以估计概率

一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率里会稳定在某个常数p附

n

近，那么事件A发生的概率P(A)=p=竺.

n

例：在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小

红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则摸到白球的概

率为22.

1.利用频率估算法：大量重复试验中，事件A发生的频率巴会稳定在某个常

m

数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率(有些时候用计算出A发生的

所有频率的平均值作为其概率).

2.狭义定义法：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可

能性都相等，考察事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P(A)

_m

n

3.列表法：当一次试验要设计两个因素，可能出现的结果数目较多时，为

不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.其中一个因素作为行标，另

一个因素作为列标.

4、当事件中涉及的有两个以上的因素时，用树形图的形式不重不漏地列出所有

可能的结果的方法叫树形图法.

3.事件的类型及其概率

事件类型概率

确定性事件1或0

必然事件1

不可能事件0

不确定性事件(随机事件)0<P(A)<l

例：下列4个事件：①异号两数相加，和为负数；②异号两数相减，差为正数;

③异号两数相乘，积为正数；④异号两数相除，商为负数.其中必然事件是④,

不可能事件是③.

知识点二：随机事件概率的计算

4随机事件概率的计算方法

（1）一步完成：直接列举法，运用概率公式计算；

（2）两步完成：列表法、画树状图法；

（3）两步以上：画树状图法

树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完

成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.

知识点三：几何概率的计算*

5.几何概率的计算方法

求出阴影区域面积与总面积之比即为该事件发生的概率.

几何概率的考查一般结合特殊三边形、四边形或圆的基本性质，不一定把具体的

面积求出来，只需要求出比值即可.

【经典例题1】（2020•邵阳）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图

中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长

为5〃?，宽为4,”的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方

形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区

域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图,

由此他估计不规则图案的面积大约为（）

60120180240300360420实立次数

图①图②

A.B.777?2C.8/H2D.9m2

【解答】假设不规则图案面积为X1，

由已知得：长方形面积为20疗，

根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：

20

当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估

计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35,

综上有：—=0.35,解得x=7.

故选：B.

练习1-1（2020•湘潭）为庆祝建党99周年，某校八年级（3）班团支部为了让同

学们进一步了解中国科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以

下五个内容中任选部分内容进行手抄报的制作：A、“北斗卫星”：3、“5G时代”；

C、“智轨快运系统”；。、“东风快递”；E、“高铁”.统计同学们所选内容的

频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“5G时代”的频率是（）

【解析】由图知，八年级（3）班的全体人数为：25+30+10+20+15=100（人），

选择“5G时代”的人数为：30人，

选择“5G时代”的频率是：—=0.3;

故选：B.

4A数（人）

35...............

--!--：------------!------>

OABCDE湖！］

A.0.25B.0.3C.25D.30

练习1-2在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的

是（）

A.频率就是概率

B.频率与试验次数无关

C.概率是随机的，与频率无关

D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

【解析】D

练习1-3某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘

B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃

C.暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄

球

D.掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4

【解析】D

练习1-4在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的〃个小球，其中有5个

黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，之后把它放回

袋中，搅匀后，再继续摸出一球.以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出

黑球次数的列表：

摸球试验次数100100050001000050000100000

摸出黑球次教46487250650082499650007

根据列表，可以估计出〃=.

【解析】10

【经典例题2】如图是正方形网格，除A,8两点外，在网格的格点上任取一点

Q

C,连结AC,BC,能使△ABC为等腰三角形的概率是_右_.

练习2-1如图，梯声的正方形网格中，在翱赢.叫蹲四个点中任选三个点，能够组

成等腰三角形的概率为（）

C.-

44

【解析】A

练习2-2“红灯停，绿灯行”是我们在日常生活中必须遵守的交通规则.小刚每天

从家骑自行车上学都经过两个路口，且每个路口只安装了红灯和绿灯，假如每个

路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家随时出发去学校，他遇到一次红灯

一次绿灯的概率是（）

rffl

A.-B.-\_X•一D.-

4!

【解析】C

练习2-3在边长为1的小正方形组成的网络中，有如图所示的A、B两点，在格

点上任意放置点C,恰好能使得△ABC的面积为1的概率为（）

【解析】C

练习2-4—只蚂蚁在如图所示的树上觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选

择一条路径，它获得食物的概率是（）

【解析】A

练习2-4用2,3,4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为

【解析】三分之二

-II

练习2-5在4张完全相同的小卡片上分别写有实数0、有、兀、二,从中随机抽

取两张，抽到两张小卡片上的数的积是无理数的概率是.

【解析】二分之一

练习2-6把十位上的数字比个位、百位上的数字都大的三位数叫做中高数，如

796就是一个“中高数”.若十位上的数字为7,则从3,4,5,6,8,9中任选两

数，与7组成“中高数”的概率是（）

【解析】C列表如下:

个位结果

345689

百位

3374375376378379

4473475476478479

5573574576578579

6673674675678679

8873874875876879

9973974975976978

由表格可知，所有等可能的结果有30种，其中组成“中高数”的结果有12种，因

此组成“中高数”的概率为差1?2

练习2-7(2020湘西州)从长度分别为1cm>3ent、5cm>6四条线段中随机取

出三条，则能够组成三角形的概率为()

1113

CD-

A.4-B.3-2-4

【解析】二•试验发生包含的基本事件为(1cm,3cm,5cm)；(1cm,3cm,6cm)；

(1cm,5cm,6cm)；(3cm,5cm,6cm),共4种；

而满足条件的事件即可以构成三角形的事件为(3cm,5cm,6cm),共1种；

以这三条线段为边可以构成三角形的概率是作

选A.

【经典例题3】如图所示，在平行四边形纸片上作随机扎针实验，针头扎在阴影

区域的概率为()

【解析】B

练习3-1如图所示是用相同的正方形砖铺成的地板，一宝物藏在某一块下面，宝

物在白色区域的概率是（）

【解析】

练习3-2如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同.若某人向游戏板投

掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（）

【解析】本题解答时要分别算出大正方形的面积和阴影部分的面积,

然后利用概率公式进行计算.设小正方形的边长为。，

则大正方形的面积为9a2,阴影部分的面积为4x；x“x2a=44，

4a"4

则飞镖落在阴影部分的概率为:.=3,故选C.

练习3-3（2020山西）如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次

连接菱形各边中点得到一个小矩形，将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞

镖落在阴影区域的概率是（）

【解析】如解图，连接HF、EG,则EG=BC,

:・S菱形EFGH=^HFEG=^ABBC=^S短胫ABC。，

QM=^HF,MN=^EG,

•,'S'Ai.KMNPQ=QMMN—~^HFEG=~^\BBC='^矩形ABCD，

:・S阴影=Sg®EFCH-S矩彩MNPQ=ZS矩形A8CD，

.•.飞镖落在阴影区域的概率=产一=木

o^mABCD今

练习3-4如图，正方形ABC。是一块绿化带，其中阴影部分£。尸8,GHMN都是

正方形的花圃.已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在

花圃上的概率为()

RFC

19cl-17r17

A.—B.-C.—D.—

3623632

【解析】

练习3-5一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上爬行，蚂蚁停留在阴影部分的概率

为，

练习3-6大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用.如图K36-4是

小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区

域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重

复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的

总面积约为cm2.

【解析】•••经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右,

二估计点落入黑色部分的概率为0.6.

•.•边长为2cm的正方形的面积为4cm2,

•••设黑色部分的面积为Sen?,则：=06

4

解得S=2.4（cm2）.

,估计黑色部分的总面积约为2.4cm2.

练习3-7有一个质地均匀且可以转动的转盘，盘面被分成6个全等的扇形区域,

在转盘的适当地方涂上灰色，未涂色部分为白色，用力转动转盘，为了使转盘停

止时，指针指向灰色的可能性的大小是g,那么下列涂色方案正确的是（）

【解析1A.指针指向灰色的概率为看2=点1故选项正确;

31

B.指针指向灰色的概率为q=当故选项错误;

C.指针指向灰色的概率为t=|,故选项错误;

D.指针指向灰色的概率为为故选项错误.

练习3-8（2020衢州）如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后,

指针落在数字“II”所示区域内的概率是（）

1111

-

-C-D-

A.3468

【解析】由题意可知，数字“II”所示区域的扇形圆心角度数为120。，占整个圆盘

的百分比为12制00，1

.•.P（指针落在数字“II”所示区域内）=：.

练习3-9如图，正方形边长为2,正方形/魏激内的图形来自中国古代的

太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为.

练习3-102018•巴彦淖尔如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃,

已知AB=13,AC=5,BC=12,阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的

小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（）

【解析】BC=12,AC=5,

：.AB1=BC?+AC1,

...△ABC为直角三角形，

△ABC的内切圆半径=上土|一"=2.

V5AABC=|AC-BC=^X5X12=30,5圜=4兀,

.♦.小鸟落在花圃上的概率=察=某

练习3-11在如图所示（A、B、C三个区域）的图形中随机撒一把豆子，豆子落

在_____区域的可能性最大。

练习3-12正方形ABCO的边长为2,以各边为直径在正方形内画半圆，得到如

图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的

概率为（）

【解析】A因为正方形ABC。的面积为4,阴影部分的面积为四个半圆的面积

与正方形ABC。的面积之差，即4乂9兀><（三）2一4=2兀-4,

所以米粒落在阴影部分的概率为竽-亭.

练习3-13[2020•随州]如图K34-4,△ABC中，点。,E,尸分别为AB,AC,BC

的中点，点P,M,N分别为DE,DF,EF的中点，若随机向△45C内投一粒

米，则米粒落在图中阴影部分的概率为.

【解析】•••点。，E,尸分别为AB,AC,3C的中点,

5ADE/^SAABC-

•・•点P,M,N分别为DE,DF,稗的中点，泌四.

•0•5*APMN=jS>ABCy

ID

...米粒落在图中阴影部分的概率为白

16

练习3-14[2019•烟台]将一枚飞镖任意投掷到如图K34-6所示的正六边形镖盘上,

飞镖落在白色区域的概率为（）

A.jB.iC.jD.无法确定

525

【解析】利用图形的对称性，可以看出在正六边形镖盘中，白色区域与阴影区域

的面积相等，所以飞镖落在白色区域的概率为点

【经典例题4］如图，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是.

9

【解析】：当开关S1与％闭合，或S与S3闭合时，灯泡才会发光.同时闭合两

个开关可能出现表格中的几种情况：

SiS2S3

51(Si,Si)(Si,S3)

52⑸，51)(S2,S3)

S3⑸，S,)(S3,S2)

47

，p（灯泡发光）

练习4-1已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“，”的概率是0.5,则在一

定时间段内，由该元件组成的图示电路A,8之间，电流能够正常通过的概率是

()

A.0.75B.0.625C.0.5D.0.25

【解析】根据题意画树状图如解图，则有4种等可能情况，电流能够正常通过的

3

有3种，,P（电流能够正常通过）=彳=0.75.

练习4-2如图，电路图上有4个开关A,B,C,。和1个小灯泡，同时闭合开关

A,8或同时闭合开关C,。都可以使小灯泡发光,下列操作中，“小灯泡发光”这

个事件是随机事件的是

A.只闭合1个开关B.只闭合2个开关

C.只闭合3个开关D.闭合4个开关

【解析】A.只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意;

B.只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意；

C.只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；

D.闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意.

故选B.

练习4-3（2020广元）在如图所示的电路图中，当随机闭合开关Ki、E、心中的两

个时，能够让灯泡发光的概率为.

【解析】分析电路图知：要让灯泡发光，K必须闭合，同时K2,心中任意一个

闭合.共有：K\和Ki,2和&、K\和扁三种情况，满足条件的有Ki和K2、

K和K3两种情况，

能够让灯泡发光的概率为（2

【经典例题5][2020・重庆A卷]现有四张正面分别标有数字-1,1,2,3的不透

明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张,

记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的

数字分别记为加，n,则点P（〃?，〃）在第二象限的概率为.

【解析】列表如下：

n

-1123

m

-1(-1,-1)(-1,1)(-1,2)(-1,3)

1(1，-1)(1，D(1，2)(1,3)

2(2,-1)(2，1)(2,2)(2,3)

3(3,-1)(3，1)(3,2)(3,3)

由上表可知，共有16种等可能的结果，其中点P（加，〃）在第二象限的结果有3

种，即（-1,1）,（-1,2）,（-1,3）,

所以点尸（相，〃）在第二象限的概率为摄

16

练习5-1点P的坐标是（a,b）,从-2,-1,0,1,2这五个数中任取一个数作

为。的值，再从余下的四个数中任取一个数作为人的值，则点P（a，份在平面直

角坐标系中第二象限内的概率是.

【解析】画树状图如下：

-2-1012

/7K/7K/7K/TV

-1012-2012-2-112-2-102-2-101

共有20种等可能的结果，其中点P（a,力）在平面直角坐标系中第二象限内的结果

有4种，

4]

所以点P（a,与在平面直角坐标系中第二象限内的概率为而=亍

k-3<0,

练习5-2任取不等式组〜「八的一个整数解，则能使关于龙的方程2x+女=一

[2k+5>0

1的解为非负数的概率为.

|k-3<0,5

【解析】因为不等式组、c的解集为一5〈仁3,

[2k+5>02

所以不等式组的整数解为一2,-1,0,1,2,3.

k+1

关于x的方程2x+%=—1的解为甘=一°.

因为关于x的方程2x+Z=—1的解为非负数，

所以Z+1W0,解得1,

所以能使关于x的方程2%+左=-1的解为非负数的人的值为一1,-2,

21

所以能使关于x的方程级+%=-1的解为非负数的概率为

练习5-3（2020大庆）两个人做游戏：每个人都从一1,0,1这三个整数中随机选

择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为.

【解析】画树状图如解图所示，共有9种等可能的结果，其中两人所写整数的绝

对值相等的结果有5种，...P（两人所写整数的绝对值相等）="

练习5-4（2020荷泽）从一1,2,—3,4这四个数中任取两个不同的数分别作为a,

人的值，得到反比例函数丁=卓，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的

概率是.

【解析】当必＜0时，反比例函数的图象在第二、四象限，由树状图可知，共有

12种等可能的情况，其中ab＜0的情况共有8种，

Q9

••.P（图象在二、四象限尸艺=号

练习5-5从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a、c,则关

于尤的一元二次方程a?+4x+c=0有实数解的概率为（）

A.1B.|C.D.|

4323

【解析】C

练习5-6（2020岳阳）在一3,-2,1,2,3五个数中随机选取一个数作为二次函

数y=a?+4x-2中a的值，则该二次函数图象开口向上的概率是.

【解析】•••当。＞0时，该二次函数图象开口向上，在一3,-2,1,2,3五个

数中，大于0的数有3个，

•••该二次函数图象开口向上的概率是|.

练习5-7若事件“对于二次函数y=9-2〃ir+l,当烂1时，y随着x的增大而减

小是必然事件，则实数机的取值范围是.

【解析】对于二次函数y=5-2,nx+l,对称轴为x=-?=〃，，

Na

,当g1时，y随x的增大而减小，

•••实数机的取值范围是加之1,

故答案为：m>\.

练习5-8从-1,0,1,2,3这五个数中，随机取出一个数，记为a,那么使关

于x的方程等~=1有解，且使关于x的一元二次方程N-3x+a=0有两个不相

等的实数根的概率为.

【解析】:•使关于x的方程竿=1有解，

二。可取-1,0,1,2,3这五个数，

•••一元二次方程/-3x+a=0有两个不相等的实数根，

(-3)2-4xlxa=9-4a>0,

解得：»

可取-1、0、1、2,共有四个，

.•.从-1,0,1,2,3这五个数中，随机取出一个数，符合条件的有4个，

二使关于龙的方程竿=1有解，且使关于x的一元二次方程x2-3x+a=0

有两个不相等的实数根的概率为1，

D

故答案为：

D

练习5-9已知关于x的一元二次方程/升,加出£=蚓，从2和3中任选一个数作为

b的值，从1,2,《中任选一个数作为c的值，则该一元二次方程有两个不相

等的实数根的概率为.

【解析】三分之二

练习5-10(2020铜仁)从一2,一1,2三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标,

则该点在第三象限的概率等于.

【解析】根据题意，列表如下：

纵坐标

-2-12

横坐标

-2(-2,-1)(-2,2)

-1(—1,-2)(T，2)

2(2，-2)(2，-1)

由列表可知，共有6种等可能的情况，该点在第三象限的有2种情况，，尸(该

21

点在第三象限)=%=Q.

练习5-11有三张正面分别写有数字一2,-1,1的卡片，它们的背面完全相同，

将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为光的值，放回卡

片洗匀后，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面数字作为y的值，两次结果

记作(x,y).

(1)用画树状图法或列表法表示(x,y)所有可能出现的结果；

(2)求使分式"+上有意义的(x,y)出现的概率；

x-yx-y

(3)化简分式+上，并求使分式的值为整数的(x,y)出现的概率.

【解析】(1)画树状图如下：

X-2-11

//K

y-2-11-2-11-2-11

所以所有可能出现的结果为(一2,—2),(—2,—1),(—2,1),(—L—2),(―

1,-1),(-1,1),(1,-2),(1,-1),(1,1).

(2)要使分式3?+—有意义，则有(x+y)(x—y)#0,

x-y"x-y

所以只有(一2,—1),(—2,1),(—1,—2),(1,—2)符合条件，所以使分式

与当+二二有意义的(x,y)出现的概率为*

(3)—7—7+^-

x2—y2x-y

______x2-3xy+y(x+y)

(x+y)(x—y)(x+y)(x—y)

______x2-3xy+_____xy+y2_____

(x+y)(x—y)(x+y)(x—y)

x2-3xy+xy+y2

(x+y)(x—y)

x2-2xy+y2

(x+y)(x—y)

______(x-y)2____x-y

(x+y)(x—y)x+y*

将使公式士有意义的(一2,—1),(12,1),(11,—2),(1,—2)

xzy，xy

分别代入上式，计算可得原式的值分别为g,3,Y，-3,

2

所以使分式的值为整数的(x,y)出现的概率为争

练习5-12在甲、乙两个不透明的口袋中装有大小、材质完全相同的小球，其中

甲袋中的小球上分别标有数字1,2,3,4,乙袋中的小球上分别标有数字2,3,

4,先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为〃?，再从乙袋中任意摸出一个小

球，记下数字为九

(1)请用列表或画树状图的方法表示出所有(〃?，〃)的可能的结果；

⑵若〃?，〃都是方程/-5%+6=0的解，则小明获胜；若机，〃都不是方程W

—5x+6=0的解，则小利获胜，他们两人谁获胜的概率大？

【解析】(1)画树状图如图所示：

n234234234234

(2)因为解方程X2—5工+6=0,得光=2或1=3.

由树状图得共有12种等可能的结果，其中小，〃都是方程5x+6=0的解的

结果有4种，

团，〃都不是方程f—5x+6=0的解的结果有2种,

4121

所以小明获胜的概率为五=],小利获胜的概率为正=不

所以小明获胜的概率大.

【经典例题61（2020徐州）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这

些球除颜色外都相同.小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左

右，则袋子中红球的个数最有可能是（）

A.5B.10C.12D.15

【解析】20x0.25=5个.

练习6-1在一个不透明的盒子中装有m个除颜色外完全相同的球，这m个球中

只有3个红球，从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率为最那么机的值是

（）

A.12B.15C.18D.21

【解析】由题意得3V苦1解得〃?=15.

练习6-2不透明的黑色袋子中装有4个除颜色外其它均相同的小球，其中红球2

个，黄球1个，白球1个，从袋子中随机摸出1个球，记录颜色后放回，再随机

摸出一个球，两个球的颜色不一样的概率是.

【解析】根据题意画树状图得:

开始

白黄纸组

白黄纸空白黄红/L白黄红,红，白黄组组

•••共有16种等可能的结果，两次摸出的小球颜色不同的有10种情况,

,两次摸出的小球颜色不一样的概率为：某=■!.

168

故答案为："I",

o

练习6-3在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种

颜色的小球，已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的

概率是工，则袋中黑球的个数为

in------------

【解析】设袋中黑球的个数为X,则摸出红球的概率为二一=工，所以X=22.

22—*10

练习6-4[202。盐城]一只不透明的袋中装有2个白球和3个黑球，这些球除颜色

外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为.

【解析】|

练习6-5从-1,1,2,4四个数中任取两个不同的数（记作:曲姐构成一个数组

Mk={ak,4}（其中左=1,2,S,且将{以，从}与{心,四}视为同一个数组）,若

满足:对于任意的M和％={勾，b}（拘，WS,iggS）都有©+8#勾+力，

则5的最大值是（）

AJOB.6

C.5D.4

【解析】从-1,1,2,4这四个数中任取两个不同的数，共有{-1,1},{-1,2},

{-1.4},{1,2},{1,4},{2,4}六种情况，

其中{-1,4},{1,2}两数和相同，

所以共有五种情况，即S最大为5,选C.

练习6-6在一个不透明的袋子中装有黑球加个、白球〃个、红球3个，除颜色外

无其他差别，任意摸出一个球是红球的概率是（）

A3c3-m+n卜m+n

【解析】B

练习6-7（2020枣庄）不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个

白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概

率

是<

4221

--C-D-

A.9933

【解析】画树状图如解图，则共有9种等可能的结果，两次都摸到白球的有4

种情况,

4

，两次都摸到白球的概率为G.故选A.

练习6-8有两个正方体的积木，如图所示:

我是②号，

我一面灰

色，五面白色

下面是淘气掷200次积木的情况统计表:

灰色的面朝上白色的面朝上

32次168次

根据表币的数据推测，淘^^有可能掷的是号积木，请简要说明你的

判断理由.

【解析】①号积木由于三面灰色，三面白色，因此随机掷1次，朝上的面是白色、

灰色的可能性都是■|=50%,

②号积木由于一面灰色，五面白色，因此随机掷1次，朝上的面是灰色的可

能性都是入16.7%,是白色的可能性为•^83.3%,

66

由表格中的数据可得，淘气掷200次积木得到朝上的面为灰色的频率为爵=

16%,白色的频率为端=84%,

故他选择的是②号积木，

理由：淘气掷200次积木的实验频率接近于②号积木相应的概率.

【经典例题7】在某中学的迎国庆联欢会上有一个小嘉宾抽奖的环节，主持人把

分别写有“我”、“爱”、“祖”、“国”四个字的四张卡片分别装入四个外形相同的小

盒子并密封起来，由主持人随机地弄乱这四个盒子的顺序，然后请出抽奖的小嘉

宾，让他在四个小盒子的外边也分别写上“我"、"爱祖"、“国”四个字，最后

由主持人打开小盒子取出卡片，如果每一个盒子上面写的字和里面小卡片上面写

的字都不相同就算失败,其余的情况就算中奖，那么小嘉宾中奖的概率为（）

2539

A.-B.-C.—D.—

38416

【解析】

练习7-1太原是我国生活垃圾分类的46个试点城市之一，垃圾分类的强制实施

也即将提上日程根据规定，我市将垃圾分为了四类可回收垃圾、餐厨垃圾有害垃

圾和其他垃圾现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打