空间立体几何解答题（浙江省2020届高考模拟试题汇编（三模））（解析）

(浙江省2020届高考模拟试题汇编(三模))

空间立体几何解答题

一、解答题

1.(浙江省稽阳联谊学校2020届高三下学期5月联考数学试题)如图,在四棱锥P-

ABCDA协。为等边三角形，AB=AD2cz>=2,ZBAD=ZADC=90°,ZPDC

=60。，E为5c的中点.

(1)证明：ADLPE.

(2)求直线网与平面尸。E所成角的大小.

【答案】(1)证明见解析；(2)60。

【分析】

(1)取AO的中点O,连结P。，EO,通过EOA.AD,推出AO_L面尸E。，

即可证明ADLPE-,

(2)以。为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，连”。，求出平面PDE的法向

量，然后利用空间向量的数量积求解直线PA与平面PDE所成角.

【详解】

(1)证明：取AO的中点。，连结尸O,EO,

由PO_LAO,EOLAD,POCEO=。可知：AD_L面尸E。，且尸Eu面PE。，

则AD1PE.

(2)以。为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系。-DZ,

作PQJ_CD,PHLOE,连HQ,因尸H_L平面

ABCD,知HQJ_CD,

由NPDC=60°知。。=1,OH=DQ=1,由

尸0=5

在RtXPHO中，可知尸H=应，则尸(1,0,忘)，

A(0,-1,0),D(0,1,0),E(3,0,0),

则PD=(-1,1,-A/2),DE=(3,-1,0),PA=(-1,-1,-72),

设平面PDE的一个法向量为为=(x，y，z),

\n-DE=0\3x-y=0

贝nr匹一——△=<r，令无=1得万=(1,3,立)

\n-PD=0[-x+y-y/2z=0

设直线B4与平面PZ汨所成角为仇则，加。=|cos〈AZ万〉上千夫=一,,

11\PA\-\n\2

则直线PA与平面PDE所成角为60°.

【点睛】

本题主要考查了线线垂直的证明，空间向量的应用之求线面角，属于中档题.

2.（浙江省温州市2020届高三下学期6月高考适应性测试数学试题）如图,正四面体

A3CZ＞的边长等于2,点A,E位于平面3CD的两侧，且EB=EC=ED=形,点尸是

AC的中点.

（1）求证：平面COE

（2）求3P与平面CDE所成的角的正弦值

【答案】（1）证明见解析；（2）叵

6

【分析】

（1）首先取8的中点M,连接A",EM,AE,根据已知条件易证AABO与ZWOE

相似，从而得到再利用线面平行的判定证明即可.

（2）取AB中点N,连接MN,根据题意易证MV，平面CDE,设成与平面CDE所成

角为6,BP与MN所成的角为。，得到sine=cosa,再利用向量法即可得到答案.

【详解】

(1)取8的中点连接A",EM,AE,如图所示:

设A在平面BCD上的射影为。，即平面BCD,

■.AB^AC=AD,:.OB^OC=OD,

所以。为△BCD外心，

EB=EC=ED,同理可证E在平面BCD上的射影为0,

即平面38,所以A,O,E三点共线，

即钻［1则=0，所以四边形为平面四边形，

且。为ABCD的中心，因为正四面体ABCD的边长等于2,

所以3。=2即1=2衣彳=空，MO=-BM=—,

33333

D/----------------A3BOc

又EM=dDE「DM2=\,所以说=说=2,

TT

又NAOB=/EOM=5,所以AABO〜AMOE,

所以NBAO=/MEO,所以AB〃矶f,

而EMu平面CDE,AB<Z平面CDE,故A5〃平面CDE.

(2)取A3中点N,连接MN,如图所示：

因为正四面体ABCD,

所以MN_LAS,MNLCD,又因为AB〃EM,

MN1CD

所以nMN，平面CDE,

CDcEM=M

设3尸与平面。E所成角为。，

3P与肋V所成的角为a,贝!Jsine=costz,

设｛BA,BC,BD］为一组基底，

贝!］丽=丽_两=）（丽一反丽），丽=；（丽+丽

所以丽.可」(而+配＞(丽_就-瓦5),

4

=^(BA-BABC-BABD+BABC-BC2-BCBD)

[-----»2---►---►---*2---►---»

=-(BA-BABD-BC-BCBD).

因为丽丽=丽•配=2x2xcos600=2,

所以丽•丽=工(22_2_22_2)=-1.

4

又因为।而i=J2?—a=5।函=J(圾2_/=近,

\BP-MN\_V6

所以sin。=cosa=

\BP\\MN\~6

即BP与平面COE所成角的正弦值为逅.

6

【点睛】

本题第一问主要考查线面平行，利用三角形相似证平行为解题的关键，第二问主要考查

线面成角问题，同时考查了转化思想，属于中档题.

3.（浙江省嘉兴市平湖市2020届高三下学期5月模拟考试数学试题）如图,在四棱锥

P-ABCD中，尸平面ABCD,四边形ABCD是菱形，AC=2,BD=2^,且AC,

■BD交于点。，E是P8上任意一点.

（1）求证：AC±DE；

（2）已知二面角4-尸3-。的余弦值为姮，若E为尸3的中点，求EC与平面R4B所

5

成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）遮.

【详解】

试题分析：（1）线线垂直问题转化为线面问题即可解决，即温窗1.平面,翘碑n

ACLDE,（2）解法1：（空间向量在立体几何中的应用）建立空间直角坐标系，求得

法向量，利用公式求解；解法2：通过构造法作出二面角A-P3-D的平面角/AFO,

由,移%-据曾=蓬?-图据，求出点露到平面PAB的距离选=“屋/sin0=-^―=

J.1&CE5

试题解析：（1）因为。尸，平面ABC。，所以DPJL4C,因为四边形ABC。为菱形，所

以BDLAC

又BDcPD=D,;.AC±平面P5D.

因为。Eu平面尸89,AC1DE.

（2）解法1:

连接OE,在AP&）中，EO//PD,

所以平面A3CZ）,分别以0A所在直线为x轴，＞轴，z轴建立如图所示的空

间直角坐标系,

设尸D=/,则A（1,O,O）,B（O,^,O）,C（-1,O,O）,E0,0,1,P（O,-^,r）.

由（1）知，平面R2的一个法向量为.叫,（1,0,0）,设平面的一个法向量为

/、I叫嬷；=购—X+=0

,痴耳$%富），则4.得｛令y=i,得n2=Cl'~~~

-JF=顾-x-y/3y+tz=0

因为二面角A-PB-D的余弦值为巫,

5

解得，=2\/§^或.=-2^^（舍去），所以P（0,-10分

设石C与平面所成的角为氏因为或=卜1,0,-码，n2=（73,1,1）,

sin0=|cos<EC,n.>l=巧=叵

1212A/55

所以EC与平面H钻所成角的正弦值为巫.

5

解法2:

设DP=t,作出二面角A—依―D的平面角/AFO

1

tanZAFO=：—

OFe/J12+7>/3

%面

由洛■缠岩=’%-雷豳，求出点露到平面B45的距离曲=-1诵“

sin。」上

CE5

考点：1、线面垂直和线线垂直的互化；2、空间向量在立体几何中的应用；3、空间想

象能力和综合分析能力.

4.（浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2020届高三下学期5月阶段性评估数学试题）

如图，已知四棱锥尸-ABCD中，底面A3CD是矩形，AB=2,PA=PB=BC=M，

PD=PC=近.

（1）求证：平面R4B_L平面PCD；

（2）求直线E4与平面P3C所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）点.

【分析】

（1）取AB,0c的中点E,F,连接所，PE,PF,利用等边三角形和等腰三角形

的性质、勾股定理的逆定理，结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明

即可；

（2）解法一：利用线面垂直的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥体积公式进行求

解即可；

解法二：建立空间直角坐标系，利用两点间距离公式结合已知求出点尸的坐标，最后利

用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】

解：（1）如图，取AB,0c的中点E,F,连接E/，PE,PF,

因为===PC=PD=6,

所以，PEVAB,PFLDC,

又ABaCD,

所以，PELCD,

又因为AB=2,所以'=1,

所以+=IO=BC2=历2,即尸石,尸尸，

CDIPF=F,CD,PFu平面PCD,

所以PE_L平面PCD,而PEu平面R4B,

所以平面上4B_L平面PCD；

(2)解法一：设A到平面P3C的距离为d,

因为依=8C=W，PC=V2-

所以SgBC=~~，

由(1)PELPF,PFrDC,又AB〃CD,所以尸_F_LAB,

ABIPE=E,AB,PEu平面,

所以P尸_L平面上4B,因为AB〃CD,所以C点到平面E4B的距离为竹=1,

x

所以匕-PBC=§dSMBC—^C-PAB=§X1XS^pAB——3=1,

所以公噜

故直线上4与平面P3C所成角的正弦值为也叫=5叵.

19710190

解法二：建系法

如图，建立空间坐标系，贝l]A(O,O,O),8(2,0,0),0(0,710,0),C(2,亚,0),

设P(a/,c),由PA=PB=W，PC=也得

+/+。2=1。a=\

(〃-2)2+人2+。2=1。=<b二

Vio

6Z2+(Z?-V10)2+C2=2

3

r>

即小心

，设平面PBC的法向量为w=(x,y,z),

因为而=(0,而,0),PC=

My=0

所以13z令z=l,可得〃=

xH—7=y—f=z=(J

VioVio

于是sina=红色=0.

\n\-\PA\V190

【点睛】

本题考查了线面、面面垂直的判定定理的应用，考查了三棱锥体积公式的应用，考查了

利用空间向量夹角公式求线面角的正弦值，考查了推理论证能力和数学运算能力.

5.(浙江省宁波市镇海中学2020届高三下学期5月高考仿真测试数学试题)如图,已

知多面体EF-AfiCD,其底面ABCD为矩形，四边形89跖为平行四边形，平面

平面ABC。，FB=FC=BC=2,AB=3,G是CF的中点.

(1)证明：3G〃平面AEF；

(2)求直线AE与平面3DEF所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见详解；(2)叵

4

【分析】

(1)取OE中点L,EC的中点K,AZ)的中点M,DB的中点J,推到出四边形LW世

是平行四边形，从而LM//K7,推到出四边形KGBJ是平行四边形，仄而KJ//BG,

LMHBGHAE,由此能证明3G//平面AEF.

(2)直线AE与平面所成角即等于直线GB与平面BDEF所成角，作FH_LBC,

HI±DB,连接IF,则HG〃平面3DEF,从而G点到平面BDEF的距离等于H点平面

3

3DEF的距禺d,由等面积法求出”=:，由此能求出直线AE与平面5DE厅所成角的

4

余弦值.

【详解】

(1)取DE中点L,EC的中点K,AD的中点M,D8的中点J,

E

•/LK//MJ,LK=MJ,

••・四边形LM/K是平行四边形，.•.LM//K/,

KG//EF//DB,KG=-EF=-DB=JB,

，四边形KGBJ是平行四边形，

KJ//BG,:.LM//BG//AE,

•.IGO平面尸，AEu平面A£尸,

3G〃平面AEW

(2)由(1)知,

直线AE与平面应)EF所成角，

即等于直线GB与平面BDEF所成角,

作FHIBC,HIYDB,连接IF,

5

,•,%G都是所在棱的中点，.•.HG〃平面

G点到平面BDEF的距离等于H点平面BDEF的距离d,

-4=X>/33

由等面积法可知：d==-

V13

•••直线AE与平面BDEF所成角的余弦值为cos0=—.

4

【点睛】

本题考查了线面平行的判定定理、求线面角，考查了考生的逻辑推理能力，属于中档题.

6.(浙江省绍兴市竦州市2020届高三下学期第三次教学质量调测数学试题)如图，已

知三棱锥。—MC,AB=AD=2,BC=CD=2s/3,BD=3,直线80与平面ABC

所成的角为%

O

(1)证明：AC1BD；

(2)求二面角A-CD-3的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)2叵.

13

【分析】

(1)过D作DELAC于E,连接BE,利用△ABD二△CBD,可得BE，AC,再根据

直线与平面垂直的判定定理可得AC，平面BDE.,从而可得ACLBD-,

(2)以£为坐标原点，EA,所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系,

利用空间向量可求得结果.

【详解】

(1)过。作3E_LAC于E,连接BE.

D

因为钻=/1£>,BC=CD,AC=AC

所以△ACD^zXACB,

于是8E_LAC,又BEcDE=E,

所以AC_L平面BDE.

所以AC_LBO.

(2)由(1)可知，AC_L平面BDE,

所以平面ABC，平面BDE,

所以交线BE就是BD在平面ABC上的射影，

TT

故ND班;就是直线5。与平面ABC所成的角，即ZDB£=—.

6

因为BE=DE,BD=3,

2JT

所以BE=DE=y/3,/BED=—,

在直角△CDE中，DE=6,CD=26，所以Cf=3.

以E为坐标原点，EA,班所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，如图所

小，

则4（1,0,0）,B（0,^,0）,C（-3,0,0）,D.

\乙）

所以〃=（Y,0,0）,CD=3,-^-,-,BC=（-3,-73,0）.

设平面ACD的一个法向量为为=(x,y,z),

贝IJ万•*=()，S.n-CD=0,

-4x=0

所以J33，所以x=0，取z=l,则y=6,

3x----y+—z=0

I22

所以为=(o,若,1).

同理：可取平面BCD的一个法向量为比=(1,-6-3).

因为二面角A-CD-3是锐二面角，

所以二面角A-CD-B的余弦值为

Icos仿制一回一1°一3-3|_一工一也

3sM”尸恻.同一后弟.而后1一2岳—13'

【点睛】

本题考查了直线与平面垂直的判定与性质，考查了二面角的向量求法，属于中档题.

7.(浙江省杭州市富阳中学2020届高三下学期6月三模数学试题)矩形ABCD中，AB=3,

AD=2,E、尸分别为线段。、上的点，且R芸F=C紫F=：1,现将44DE沿AE翻折

BACD3

成四棱锥尸-ABCE,且二面角尸-的大小为奇077".

(1)证明：AE±PF；

(2)求直线与平面R处所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)生叵.

20

【分析】

(1)连接"'，跖，根据四边形为正方形，可得AELMF,然后根

据线面垂直的判定定理可得面尸MF,最后可得结果.

(2)根据二面角P-AE-B的大小为告，计算点/到平面总的距离4,然后根据

芸BF=：1,计算点B到平面R1E的距离d,同时计算最后计算即可.

BA3

【详解】

RFCF1

(1)由题意在矩形ABCD中AS=3,AD=2,-,

BACD3

・•・四边形ADEF为边长为2的正方形.

连结。尸，交AE于点如图

则AE_LDF,S.PM=MF=e.

在四棱锥P—ABCE中，AE±PM,AE±MF,

AE_L面尸A/F,又PFu面PMF,

/.AEX.PF

（2）设点尸到平面卫钻的距离为4，点3到平面巴4£的距离为d

由（1）NPMF就是二面角尸-AE-B的平面角，，NPMF=j-.

：AE_L面尸MF,.•.面刊1"_1面24£,

过尸作于H,,面PMbPI面=.,.切_1面已4月.

又：在△PMF中，PM=MF=五,；.NFPM=£,PF=布,

6

..1PFA/6..AF_23,3娓

122AB324

由题意可得PB=JIU,sine=W-=2®5,

PB20

•••直线FB与平面PAE所成角的正弦值为近.

20

【点睛】

本题考查通过线面垂直证明线线垂直，还考查利用几何法求解下面角，考查对线面关系

的认识，考查分析能力以及计算能力，属中档题.

8.（浙江省杭州市2020届高三下学期5月高考模拟数学试题）如图所示,在四棱锥

P-ABCD中，PCX.底面ABCD,ABCD是直角梯形,A5_LAO,A3//C。,AB=2AD=2CD=2,

E是PB的中点

(1)求证：平面EAC_L平面「5c

(2)若二面角P-AC-E的余弦值为远，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值

3

【答案】

(1)证明过程见解析；

⑵叵.

3

【分析】

(1)先证明ACYBC,再结合已知证明ACJ_平面PBC,进而证明平面E4UL平面PBC-,

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法先由已知二面角的余弦值求出点P的的坐

标，进而求出直线B4与平面EAC所成角的正弦值.

(1)

证明：过点C作CfUAB,垂足为R如下图所示

在直角梯形ABC。中

■.AB±AD,AB//CD

--.AD±CD

四边形AFC。为正方形

:.AF=BF=DC=CF=l

:.AC=BC=y/2

AC2+BC-=AB2

AC±BC

PCJ_底面ABC。，4Cu平面ABC。，

.-.AC±PC

：BC^\PC=C

，AC_L平面PBC

■：ACu平面EAC

•••平面EAC_L平面PBC

（2）

解：以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系

则C（0,0,0）,A（l,l,o）,B（l,-l,o）,

设尸（0,0,a）,a>0

由（1）知，BCLAC,BCLPC,且ACCPC=C

所以BC_L平面PAC

则而=（1,-LO）为平面PAC的一个法向量

又5=(1,1,0),CE=Q1a

252

设3=（无,y,z）为平面E4C的法向量，则

x+y=0

n-CA^O

即，11a

fi-CB=0，—x——y+—z=0

〔222

令x=a,则3=(a,-a,-2)

设向量在与向量♦的夹角为6，由题意知,

|coC"”一a一瓜

।一|网一3

解得：。=2

所以3=(2,-2,2),PA=(l,l,-2)

设直线E4与平面E4C所成的角为a,向量［与向量而所成角为£

4

所以sina=cos

即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为也

3

9.（浙江省宁波市镇海中学2020届高三下学期5月模拟试题）在三棱锥A—BCD中,

AB=AD=BD=2,BC=DC=RAC=2.

A

(1)求证：BD±AC；

(2)若点P为AC上一点，且AP=3尸C,求直线3尸与平面ACD所成的角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)逑

7

【分析】

(1)取的中点E,连接隹,CE,然后由等腰三角形的性质推出AE，BD,CELBD,

从而利用线面垂直的判定定理与性质可使问题得证；

(2)以E为坐标原点建立空间直角坐标系，然后求出相关点的坐标，再求出平面ACD

的一个法向量，从而利用空间向量的夹角公式求解即可.

【详解】

(1)证明：取8。的中点E,连接

AB=AD=BD^2,：.AE±BD,

同理可得CE_LBD,

又AEICE=E,：.BD±平面ACE,

又ACu平面ACE,ABD±AC.

(2),:AB=AD=BD=2,BC=DC=6，

...△BCD为等腰直角三角形，且AE=百,CE=1,

TT

：-AE2+EC2=AC2,ZA£C=-,即AE_LEC,

又AE1.BD,且BDcECnE,AE_1_平面BCD,

...以E为坐标原点，EC所在直线为x轴，即所在直线为y轴，E4所在直线为z轴建

立如图所示的空间直角坐标系.

•••B(0,-1,0),0(0,1,0),C(l,0,0),A(0,0,^3),

设尸(不，%,z°),VAP=|lC,AC=(l,0,-^),AP=(xo,yo,Zo-V3),

二卜-石)=■|(1,0,-百)=*0,一^^,

L7

.3

*,•<%=°，«*•尸，

Z。-石=-苧>

...而叵，

(44J

又方=(0,-1,V3),DC=(1,-1,0),

设〃二(%,*4)是平面ACD的法向量，

令％=1,得％=1,Z]=—,n=1,1,§

3I3J

设直线族与平面AC。所成角为6,

n-BP

则sin0=|cos<n,BP>\=

\M\BP\

•••直线明与平面A。所成角的正弦值为华.

【点睛】

本题考查空间中直线与平面的位置关系、利用空间向量解决直线与平面所成角问题.

(1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角后(求出是钝角时取其补角)，取其余

角即为直线与平面所成的角.

(2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系s加/+cod8=1求出其值.不要误认为直

线的方向向量与平面的法向量所成夹角的余弦值即为所求.

10.(浙江省杭州市建人高复学校2020届高三下学期5月模拟数学试题)如图所示，

AABC和ABCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2,ZABC=ZDBC=120°,E,

厂分别为AC,DC的中点.

(1)求证：EFLBC；

(2)求二面角E-BP-C的正弦值.

【答案】（1）见解析（2）半

【详解】

试题分析：（1）（方法一）过E作EOLBC,垂足为O,连OF,由AABC四ADBC可

证出△EOCgZXFOC,所以/EOC=/FOC=—,即FO_LBC,又EO_LBC,因止匕BC_L

2

面EFO,即可证明EFLBC.（方法二）由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B

左垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线

为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

易得成0,；，¥）,尸（孝］,。）,所以赤=（#,0,-［）,反^（O。。），因此乔•前=0,从

而得EFL3C；（2）（方法一）在图1中，过O作OGLBF,垂足为G,连EG,由

平面ABC_L平面BDC,从而EO_L平面BDC,从而EO_^BDC,又OG_LBF,由三

垂线定理知EG垂直BF,因此/EGO为二面角E-BF-C的平面角；在4EOC中，EO=g

EC=3BCcos30°=且，由△BGOsaBFC知，OG=空-FC=迫，因止匕tan/EGO=

22BC4

基=2,从而sinZEGO=^,即可求出二面角E-BF-C的正弦值.

OG