江苏无锡市玉祁高级中学2024-2025学年高二数学上第一次月考试卷【含答案】

江苏无锡市玉祁高级中学2024-2025学年高二数学上第一次月考试卷一．选择题（共7小题）1．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（）A． B． C． D．2．已知平面α的一个法向量为＝（1，2，1），A（1，0，﹣1），B（0，﹣1，1），且A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（）A． B． C． D．13．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，现用基向量，，表示向量，设＝x+y+z，则x、y、z的值分别是（）A．x＝，y＝，z＝ B．x＝，y＝，z＝ C．x＝，y＝，z＝ D．x＝，y＝，z＝

4．设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为（8，6，4），则向量在基底下的坐标是（）A．（10，12，14） B．（14，12，10） C．（12，14，10） D．（4，3，2）5．设A（﹣2，3），B（1，2），若直线ax﹣y﹣1＝0与线段AB相交，则a的取值范围是（）A．[﹣2，3] B．（﹣2，3） C．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）6．设定点A（2，1），B是x轴上的动点，C是直线y＝x+1上的动点，则△ABC周长的最小值是（）A． B． C． D．

7．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，点H在棱AA1上，且，在侧面BCC1B1内作边长为的正方形EFGC1，P是侧面BCC1B1内一动点，且点P到平面CDD1C1距离等于线段PF的长，则当点P运动时，HP的最小值是（）A． B． C． D．二．多选题（共3小题）（多选）8．已知直线l经过点（3，4），且点A（﹣2，2），B（4，﹣2）到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为（）A．2x+3y﹣18＝0 B．2x﹣y﹣2＝0 C．x+2y+2＝0 D．2x﹣3y+6＝0（多选）9．在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝3，AA′＝1，以D为原点，以分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（）A．BD′⊥AC B．平面A′C′D的一个法向量为（﹣2，﹣3，6） C．异面直线A′D与BD′所成角的余弦值为 D．平面C′A′D与平面A′DD′夹角的余弦值为

（多选）10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过直线EF的平面分别与棱BB1，DD1交于M，N．设BM＝x，x∈[0，1]，以下正确的是（）A．平面MENF⊥平面BDD1B1 B．当且仅当时，四边形MENF的面积最小 C．四边形MENF的周长L＝f（x），x∈[0，1]是单调函数 D．四棱锥C1﹣MENF的体积V保持不变三．填空题（共3小题）11．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与面ABB1A1所成的角为．12．直线l经过A（2，1），B（1，m2）两点（m∈R），那么直线l的倾斜角的取值范围是．

13．正四面体ABCD的棱长为12，点P是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点P到AD的距离为．四．解答题（共2小题）14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC＝45°，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝1，AD＝3．（1）求点D到平面PBC的距离；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．

15．如图，平面直角坐标系内，O为坐标原点，点A在轴正半轴上，点B在第一象限内．（1）若|AB|＝3，求△OAB的面积的最大值和取得△OAB面积最大值时的直线AB的方程；（2）设|OA|＝a，|OB|＝b，若，求证：直线AB过一定点，并求出此定点的坐标．

参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．【解答】解：因为空间向量，，所以＝10，，所以向量在向量上的投影向量为＝．故选：C．2．【解答】解：＝（﹣1，﹣1，2）故点A到平面α的距离为，故选：B．3．【解答】解：∵M、N分别是对边OA、BC的中点，∴，．∴＝＝＝＝＝＝，因此，．故选：D．4．【解答】解：由已知得＝＝+6（）+4（）＝12+14+10＝（12，14，10）．故选：C．5．【解答】解：如下图，直线ax﹣y﹣1＝0过定点C（0，﹣1），斜率为a，且与线段AB相交，即过定点C（0，﹣1），斜率为a的直线l绕点C从CB逆时针旋转到CA，中间经过y轴，则a≤kCA或a≥kCB，因为，，所以则a≤﹣2或a≥3，即a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）．故选：D．6．【解答】解：设定点A（2，1），B是x轴上的动点，C是直线y＝x+1上的动点，如图，设点A（2，1）关于直线l：y＝x+1的对称点为A′（x1，y1），则由AA′⊥l，AA′的中点在直线l上可得：，解得，即A′（0，3），作点A（2，1）关于x轴的对称点A″（2，﹣1），连接A′A″，交直线y＝x+1于点C，交x轴于点B，则AC＝A′C，AB＝A″B，此时△ABC周长最小，∴△ABC周长的最小值为．故选：B．7．【解答】解：根据题意，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，则，设P（x，1，z），（0≤x≤1，0≤z≤1）∵点P到平面CDD1C1距离等于线段PF的长，∴，化简得，则6x﹣1≥0，解不等式可得，又0≤z≤1，可得≤，解得x≤，综上可得≤x≤．，所以当时，HP取最小值．故选：D．二．多选题（共3小题）8．【解答】解：直线l经过点（3，4），且点A（﹣2，2），B（4，﹣2）到直线l的距离相等，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，此时点A到直线l的距离为5，点B到直线l的距离为1，此时不成立；当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y﹣4＝k（x﹣3），即kx﹣y+4﹣3k＝0，∴点A（﹣2，2），B（4，﹣2）到直线l的距离相等，∴＝，解得k＝﹣，或k＝2，当k＝﹣时，直线l的方程为，整理得2x+3y﹣18＝0，当k＝2时，直线l的方程为y﹣4＝2（x﹣3），整理得2x﹣y﹣2＝0．综上，直线l的方程可能为2x+3y﹣18＝0或2x﹣y﹣2＝0．故选：AB．9．【解答】解：由题意可得A（3，0，0），B（3，2，0），C（0，2，0），D′（0，0，1），A′（3，0，1），C′（0，2，1），B′（3，2，1），选项A：，，即BD′⊥AC不成立；选项B：设平面A′C′D的一个法向量为，由，则，即，所以，取z＝6，得；选项C：，所以，所以异面直线A′D与BD′所成角的余弦值为；选项D：由上可得平面A′C′D的一个法向量为，又平面A′DD′的法向量为，则，所以两个平面夹角的余弦值为，则D正确．故选：BD．10．【解答】解：对于A，连接EF，BD，B1D1，AC，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，则，由BB1∥FC且EA∥BB1，得EA∥FC，则四边形EACF是平行四边形，则EF∥AC，由正方形ABCD中，AC⊥BD，由BB1⊥平面ABCD，则BB1⊥AC，又BB1∩BD＝B，BB1⊂平面BDD1B1，BD⊂平面BDD1B1，则AC⊥平面BDD1B1，则EF⊥平面BDD1B1，又EF⊂平面MENF，所以平面MENF⊥平面BDD1B1，故A正确；对于B，连接MN，过直线EF的平面分别与棱BB1，DD1交于M，N，即平面EMFN∩平面A1B1BA＝EM，平面EMFN∩平面D1C1CD＝NF，平面A1B1BA∥平面D1C1CD，所以EM∥NF，同理可得EN∥MF，则四边形MENF是平行四边形，因为EF⊥平面BDD1B1，MN⊂平面BDD1B1，所以EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．设MN∩EF＝O，则O为EF的中点，如图，在正方形BCC1B1中，过M作MM1⊥C1C，垂足为M1，则，在Rt△MOF中，，则，四边形MENF的对角线，四边形MENF的面积，所以当且仅当时，四边形MENF的面积最小，且最小值为1，故B正确；对于C，因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．则四边形MENF的周长，即，当时，单调递减；当时，单调递增，所以函数L＝f（x），x∈[0，1]不单调，故C错误；对于D，四棱锥可分割为两个小三棱锥，它们以C1EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥M﹣C1EF，N﹣C1EF，因为三角形C1EF的面积是常数，又BB1∥CC1，CC1⊂平面A1ACC1，BB1⊄平面A1ACC1，则BB1∥平面A1ACC1，又点M∈BB1，则M到平面C1EF的距离即点B到平面AA1C1C的距离，是常数，同理，则N到平面C1EF的距离也是常数，所以四棱锥C1﹣MENF的体积是常数，即四棱锥C1﹣MENF的体积V保持不变，故D正确．故选：ABD．三．填空题（共3小题）11．【解答】解：取A1B1中点D，连结C1D，AD，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，∴C1D⊥A1B1，C1D⊥AA1，∵A1B1∩AA1＝A1，∴C1D⊥平面ABB1A1，∴AC1与面ABB1A1所成的角为∠DAC1，∵C1D＝＝，AD＝＝3，∴tan∠DAC1＝＝，∴∠DAC1＝．∴AC1与面ABB1A1所成的角为．故答案为：．12．【解答】解：设直线AB的倾斜角为θ，0≤θ＜π，根据斜率的计算公式，可得AB的斜率为K＝＝1﹣m2，易得k≤1，由倾斜角与斜率的关系，即tanθ≤1，由正切函数的图象，可得θ的范围是．13．【解答】解：由正四面体ABCD的棱长为12，则其高为，则其体积为，设正四面体ABCD内切球的半径为r，则，解得，如图，取AD的中点为E，则，显然，当PE的长度最小时，取得最小值，设正四面体内切球的球心为O，可求得，则球心O到点E的距离，所以内切球上的点P到点E的最小距离为，即当取得最小值时，点P到AD的距离为．故答案为：．四．解答题（共2小题）14．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PA，又AB⊥BC，且AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB，在平面PAB内作AH⊥PB，垂足点为H，则易得AH⊥平面PBC，∴A到平面PBC的距离为AH，又AB＝AP＝1，且易得AP⊥AB，∴AH＝PB＝，易知AD∥平面PBC，∴点D到平面PBC的距离等于A到平面PBC的距离，∴点D到平面PBC的距离为AH＝；（2）易知AP，AB，AD两两相互垂直，建系如图，∵AB＝1，AD＝3，∠ADC＝45°，∴可得BC＝2，∴B（1，0，0），P（0，0，1），C（1，2，0），D（0，3，0），∴，，，设平面PBC的法向量为，平面PCD的法向量为，则，，取，，又两法向