江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高二（上）数学第8周阶段性训练模拟练习【含答案】

江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高二（上）数学第8周阶段性训练模拟练习一．选择题（共5小题）1．若直线kx+y+k＝0与曲线仅有一个公共点，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．2．已知F1，F2是椭圆+＝1的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过F1引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则Q与短轴端点的最近距离为（）A．1 B．2 C．4 D．53．已知直线l：kx+y﹣k+1＝0，直线l关于直线x+y﹣2＝0对称的直线为l′，则l′必过点（）A．（3，1） B．（1，3） C．（2，2） D．（4，4）4．已知点P在椭圆上，F1与F2分别为左、右焦点，若，则△F1PF2的面积为（）A． B． C． D．5．（2023秋•新吴区校级期中）已知椭圆C1：，其短轴长为2且离心率为，在椭圆C1上任取一点P，过点P作圆的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则•的最小值为（）A．﹣1 B． C． D．二．多选题（共4小题）（多选）6．下列说法正确的是（）A．直线的倾斜角为120° B．经过点P（2，1），且在x，y轴上截距互为相反数的直线方程为x﹣y﹣1＝0 C．直线l：mx+y+2﹣m＝0恒过定点（1，﹣2） D．直线l1：ax+2ay+1＝0，l2：（a﹣1）x﹣（a+1）y﹣4＝0，l1⊥l2，则a＝﹣3或0（多选）7．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上，则下列结论正确的有（）A．椭圆C的离心率为 B． C． D．∠F1PF2的最大值为（多选）8．已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x﹣2y+4＝0，则下列说法正确的是（）A．的最大值为 B．的最小值为0 C．x2+y2的最大值为 D．x+y的最大值为（多选）9．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（）A． B．BD⊥平面ACC1 C．向量与的夹角是60° D．直线BD1与AC所成角的余弦值为三．填空题（共5小题）10．设椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的右顶点为A、右焦点为F，B为椭圆E在第二象限上的点，直线BO交椭圆E于点C，若直线BF平分线段AC，则椭圆E的离心率是．11．已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1、F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：＝1上任意一点，则|MN|﹣|MF1|的取值范围为．12．已知直线l过点（1，2），且在y轴上的截距为在x轴上的截距的两倍，则直线l的方程是．13．在平面直角坐标系中，记d为点P（2cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣3＝0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为．14．已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝2，则的取值范围为．四．解答题（共6小题）15．已知一个动点M在圆x2+y2＝16上运动，它与定点Q（8，0）所连线段的中点为P．（1）求点P的轨迹方程；（2）若点P的轨迹的切线在两坐标轴上有相等的截距，求此切线方程．

16．已知椭圆焦距为，过点，斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点A、B．（1）求椭圆M的方程；（2）若k＝1，|AB|的最大值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，AB⊥AD，，PA＝4，E为棱BC上的点，且．（1）求证：DE⊥平面PAC；（2）求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值；（3）若点Q在棱CP上（不与点C，P重合），直线QE能与平面PCD垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由．

18．已知M（1，）为椭圆+＝1（a＞b＞0）上一点，上下顶点分别为A、B，右顶点为C，且a2+b2＝5．（1）求椭圆C的方程；（2）点P为椭圆C上异于顶点的一动点，直线AC与BP交于点Q，直线CP交y轴于点R．求证：直线RQ过定点．

19．圆O1的方程为x2+（y+1）2＝4，圆O2的圆心O2（2，1）．（1）若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；（2）若圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|＝2．求圆O2的方程．

20．设圆x2+y2﹣2x﹣15＝0的圆心为M，直线l过点N（﹣1，0）且与x轴不重合，l交圆M于A，B两点，过点N作AM的平行线交BM于点C．（1）证明|CM|+|CN|为定值，并写出点C的轨迹方程；（2）设点C的轨迹为曲线E，直线l1：y＝kx与曲线E交于P，Q两点，点R为椭圆C上一点，若△PQR是以PQ为底边的等腰三角形，求△PQR面积的最小值．

参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．【解答】解：曲线y＝1+，即x2+（y﹣1）2﹣2x＝0（y≥1），即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1（y≥1），表示M（1，1）为圆心，r＝1为半径的圆的上半部分，直线kx+y+k＝0恒过定点（﹣1，0），考查临界情况：当直线过点（0，1）时，直线的斜率k＝﹣1，此时直线与半圆有两个交点，当直线过点（2，1）时，直线的斜率k＝﹣，此时直线与半圆有1个交点，当直线与半圆相切时，圆心M（1，1）到直线kx﹣y+k＝0的距离为1，且k＜0，即＝1，解得：k＝﹣，（k＝0舍去）．据此可得，实数k的取值范围是（﹣1，﹣]∪{﹣}．故选：D．2．【解答】解：因为P是焦点为F1，F2的椭圆上的一点，PQ为∠F1PF2的外角平分线，QF1⊥PQ，设F1Q的延长线交F2P的延长线于点M，所以|PM|＝|PF1|，∵|PF1|+|PF2|＝2a＝10，∴|MF2|＝|PF1|+|PF2|，所以由题意得OQ是△F1F2M的中位线，所以|OQ|＝a＝5，所以Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，所以当点Q与y轴重合时，Q与短轴端点取最近距离d＝5﹣4＝1．故选：A．3．【解答】解：直线l：kx+y﹣k+1＝0，整理得k（x﹣1）+（y+1）＝0，故，解得，即直线l恒过点（1，﹣1）；设点（1，﹣1）关于直线x+y﹣2＝0的对称点的坐标为（a，b），故，解得，即直线l′必过点（3，1）．故选：A．4．【解答】解：由椭圆，可得a＝＝2，c＝＝，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由题意可得：cos＝＝﹣，m+n＝2×2，解得mn＝8，∴△F1PF2的面积为×8×sin＝2．故选：A．5．【解答】解：由题意可得，可得b＝1，a＝，所以椭圆的方程为：+y2＝1，由圆C2可知半径为1，圆心C2（0，3），设∠MC2N＝2θ，cosθ＝，则•＝||||cos∠MPN＝||2（1﹣2cos2θ）＝（﹣1）（1﹣2•）＝﹣1﹣2+2•+，设t＝，则t∈[4，16]，所以y＝t+2•在t∈[4，16]上单调递增，所以t＝4时，y最小，且最小值为4+2＝，所以•的最小值为﹣3+＝．故选：D．二．多选题（共4小题）6．【解答】解：对于A，直线的斜率k＝﹣，∴该直线的倾斜角为120°，故A正确；对于B，当直线的横截距a＝0时，该直线过点（2，1）和（0，0），直线方程为，即x﹣2y＝0；当a≠0时，纵截距为﹣a，直线方程为＝1，把P（2，1）代入得：＝1，解得a＝1，∴直线方程为x﹣y﹣1＝0，综上，经过点P（2，1），且在x，y轴上截距互为相反数的直线方程为x﹣2y＝0或x﹣y﹣1＝0，故B错误；对于C，直线l：mx+y+2﹣m＝0转化为（x﹣1）m+（y+2）＝0，由，解得x＝1，y＝﹣2，∴直线l恒过定点（1，﹣2），故C正确；对于D，直线l1：ax+2ay+1＝0，l2：（a﹣1）x﹣（a+1）y﹣4＝0，l1⊥l2，∴a（a﹣1）+2a（﹣a﹣1）＝0，解得a＝﹣3或0，当a＝0时，直线l1：ax+2ay+1＝0没有意义，故a＝﹣3，故D错误．故选：AC．7．【解答】解：由题意，可得，b＝5，c＝5，则，椭圆C的离心率为，故A正确，B错误；∵a﹣c≤|PF1|≤a+c，∴，C正确；当点P位于短轴的端点时，∠F1PF2取得最大值，此时，|F1F2|＝2c＝10，故PF1⊥PF2，即∠F1PF2的最大值为，D正确．故选：ACD．8．【解答】解：将x2+y2﹣4x﹣2y+4＝0整理可得：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，设圆心C（2，1），半径r＝1，对于ABD，令y＝kx，即＝4，x+y＝a，则两条直线都与圆有公共点，所以，，解得，0，故x+y的最大值为3+，的最大值为，故ABD正确；对于C，原点到圆心的距离为d＝，则圆上的点到原点的距离为[|OC|﹣r，|OC|+r]，而|OC|＝＝，即[]，所以，可得，故x2+y2的最大值为6+2，故C错误．故选：ABD．9．【解答】解：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，所以：，故：＝+2＝36+36+36+3×2×6×6×cos60°＝216；整理得：，故A错误；对于B：由于底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，由于，所以AC1⊥BD，故BD⊥平面ACC1，故B正确；对于C：由于，△AA1D为等边三角形，所以和的夹角为120°，故向量与的夹角是120°，故C错误；对于D：，，利用：，解得：，，由于，所以，故D正确．故选：AC．三．填空题（共5小题）10．【解答】解：如图，设AC中点为M，连接OM，则OM为△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB，且＝＝，即＝可得e＝＝．故答案为：．11．【解答】解：由椭圆方程可得：a2＝4，b2＝2，所以a＝2，c＝，则，又由椭圆的定义可得：|MF1|+|MF2|＝2a＝4，所以|MF1|＝4﹣|MF2|，由圆E的方程可得圆心E（3），半径R＝1，则|MN|﹣|MF1|＝|MN|﹣（4﹣|MF2|）＝|MN|+|MF2|﹣4≥|EF2|﹣R﹣4＝﹣1﹣4＝﹣1，即当F2，M，N，E四点共线时取得最小值为﹣1，|MN|﹣|MF1|≤|ME|﹣|MF1|+1≤|EF1|+1＝2+1，当F1，M，N，E四点共线时取得最大值为2+1，故|MN|﹣|MF1|的取值范围为[﹣1，2+1]，故答案为：[﹣1，2+1]．12．【解答】解：若直线l经过原点，满足条件，可得直线l的方程为y＝2x．若直线l不经过原点，可设直线l的方程为+＝1，把点（1，2）代入可得+＝1，解得a＝2．∴直线l的方程为+＝1，即2x+y﹣4＝0．综上可得直线l的方程为y＝2x或2x+y﹣4＝0．故答案为：y＝2x或2x+y﹣4＝0．13．【解答】解：根据题意，对于点P（2cosθ，sinθ），令x＝2cosθ，y＝sinθ，则点P在椭圆+y2＝1上，直线x﹣my﹣3＝0，即my＝x﹣3，恒过定点（3，0），设M（3，0），d为椭圆+y2＝1上任意一点到过定点M（3，0）的直线x﹣my﹣3＝0的距离，则当m＝0，即直线x﹣my﹣3＝0与x轴垂直，且点P的坐标为（﹣2，0）时，d取得最大值，其最大值为5．如图：故答案为：5．14．【解答】解：如图，在△OPA中，OA⊥PA，PO＝2，OA＝1，则PA＝，∠OPA＝，在△OPD中，OD⊥PD，PO＝2，设∠OPD＝α，α∈（﹣，），则PD＝2cosα，所以＝||||cos∠APD＝2cosαcos（）＝3cos2α﹣cosαsinα＝3×﹣sin2α＝cos（2α+）+，因为α∈（﹣，），所以2α+∈（﹣，），当2α+＝0，即α＝﹣时，有最大值，最大值为+，当α＝时，•＝，的取值范围为（，+]．故答案为：（，+]．四．解答题（共6小题）15．【解答】解：（1）设P（x，y），M（x0，y0），Q（8，0），根据动点M在圆x2+y2＝16上运动，它与定点Q（8，0）所连线段的中点为P，解得，由，得（2x﹣8）2+（2y）2＝16，∴点P的轨迹方程是（x﹣4）2+y2＝4．（2）当切线在两坐标轴上截距均为0时，设切线y＝kx，由相切得，∴，所以切线方程为：，当切线在两坐标轴上截距相等且不为0时，设切线x+y＝a（a≠0）由相切有，∴，切线方程为，综上：切线方程为或．16．【解答】解：（1）由已知可得，则，∴椭圆M的两个焦点分别为、，由椭圆的定义可得，则，∴，因此，椭圆M的方程为．（2）设直线AB的方程为y＝x+m，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），联立，可得4x2+6mx+3m2﹣3＝0，Δ＝36m2﹣4×4×3（m2﹣1）＝48﹣12m2＞0，解得﹣2＜m＜2，由韦达定理可得，，∴，当且仅当m＝0时，等号成立，故|AB|的最大值为．17．【解答】证明：（1）解：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，又AB⊥AD，则以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），E（2，1，0），D（0，2，0），C（2，4，0），P（0，0，4），所以，所以，所以DE⊥AP，DE⊥AC，且AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面PAC，所以DE⊥平面PAC；（2）解：由（1）知＝（2，﹣1，0）是平面PAC的一个法向量，，设平面PCD的一个法向量为，所以，即，令z＝﹣1，则x＝2，y＝﹣2，所以，所以，又由图可知二面角A﹣PC﹣D的平面角为锐角，所以二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值为；（3）解：由（1）得．设，则，可得Q（2﹣2λ，4﹣4λ，4λ），所以，由（2）知是平面PCD的一个法向量．若QE⊥平面PCD，可得，则，该方程无解，所以直线QE不能与平面PCD垂直．18．【解答】（1）解：由题意可得，可得a2＝4，b2＝1，所以椭圆的方程为：+y2＝1；（2）证明：由（1）可得A（0，1），B（0，﹣1），C（2，0），可得直线AC的方程为y＝﹣x+1，即x+2y﹣2＝0，设P（x0，y0），（x0≠0且x0≠±2），则+＝1，可得直线BP的方程为y＝x﹣1，联立，可得，即Q（，），设R（0，t），则，即t＝，即R（），则＝，则直线RQ方程为，即，令x＝2，则y＝﹣1，则直线RQ过定点（2