上海期中解答题50题（基础版）-2021-2022学年高二数学上学期期中考试满分全攻略（沪教版2020）教师版

上海期中解答题精选50题（基础版）

聚焦考点

1.（2021•上海市新场中学高二期中）如图，在棱长为a的正方体中，E、F

分别是BO和8c的中点.

（1）求异面直线A8和AR的距离；

（2）求异面直线EF与C。所成角的大小.

【答案】⑴。；（2）y.

【分析】（1）由题意可知AA为异面直线和AA的公垂线段，即为A8和4R的距离；

（2）取BC中点连接由异面直线成角定义可知NFEM即为所与co成角，计算

即可.

【详解】（1）•.•AA_LAB，AAnA8=A,AA，AR，AAnan=a，

・•.AA为异面直线AB和AA的公垂线段，AA=a，即为AB和AA的距离为。；

（2）取8c中点M,连接EM,尸

因为CD//EM,则NEEM即为EF与C。成角，在△EMF中，可知，EM=FM吟,EM1.FM.

TT1T

所以,即面直线E/与C£＞所成角的大小为了.

44

2.用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹

倒，如图所示，求它的最高点到桌面的距离.

【答案】5指

【分析】先求出圆锥底面的半径，再在轴截面中利用解三角形的方法可求倒放的圆锥的最高

点到桌面的距离.

【详解】设底面半径为小母线的长为/,贝l"=10cm,且2%/-g乃/,故r=5.

所以圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10,如图：

最高点到底面的距离为等边三角形的高，此高为5>/L

【点睛】

本题考查空间中距离的计算，注意把距离放置在可解的三角形中，同时关注旋转体的轴截面,

因为它集中了旋转体的几何量，本题属于基础题.

3.（2021•上海市南洋模范中学高二月考）已知正方体A8CD-A与CQ中，BR与平面ACB,

交于点P,设与AC相交于点。，求证：尸€直线用。.

［分析］先证明点尸是平面BDD品与平面AC4的公共点，再根据平面BDD国Q平面ACB、=耳。,

即得证.

【详解】因为8。u平面BDD向，且BD、与平面ACB,交于点产，

所以点尸是平面BDD/I与平面ACB,的公共点，

因为平面BDD、B、Q平面ACB,=BQ,

所以Pc直线BQ.

4.（2021•上海市中国中学高二月考）已知圆锥的母线是其底半径的2倍，且高为26，求

圆锥轴截面面积.

【答案】4有

【分析】根据圆锥轴截面的性质求解.

【详解】由题意，圆锥轴截面面积为S=；X4X26=46.

5.（2019•宝山•上海交大附中高二月考）如图，ABC。是正方形，直线PD_L底面ABC3,

PD=DC,E是尸C的中点.

（1）证明：直线以〃平面EZM；

（2）求直线尸B与平面ABC。所成角的正切值.

【答案】（1）证明见解析；（2）交：

2

【分析】（1）连接AC,由三角形中位线可证得根据线面平行判定定理可证得结

论；

（2）根据线面角定义可知所求角为NPB。，且tanNP8D=黑，由长度关系可求得结果.

DU

【详解】（1）连接AC,交BD于0,连接EO

•.训边形ABC。为正方形为AC中点，又E为PC中点:.EO//PA

•.•EOu平面BOE,PA<Z平面.,.%//平面8OE

（2）•.•P0_L平面A8C。直线尸8与平面ABC。所成角即为NP8£）

PD

■：PDVBDtanZPBD=-

设PD=DC=a,则BD=a2+a2=-J2a.1.tanZ.PBD—

【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、直线与平面所成角的求解；证明线面平

行关系常采用两种方法：（1）在平面中找到所证直线的平行线；（2）利用面面平行的性质

证得线面平行.

6.（2019•同济大学第一附属中学高二期末）某小区所有263户家庭人口数分组表示如下：

家庭人口数12345678910

家庭数20294850463619843

（1）若将上述家庭人口数的263个数据分布记作*,当,……，以3,平均值记作"写出人口数方

差的计算公式（只要计算公式，不必计算结果）；

（2）写出他们家庭人口数的中位数（直接给出结果即可）；

（3）计算家庭人口数的平均数与标准差.（写出公式，再利用计算器计算，精确到0.01）

1__-

【答案】（1）—［（X,-x）2+（x-x）2+-+（x,-x）2］；（2）4；（3）平均数4.30人,方差L97

263226

【分析】（1）根据方差的计算公式可得结果；

（2）根据中位数的概念可得结果；

（3）根据平均数与标准差的公式计算即可.

【详解】解：（1）由方差的计算公式得：

人口数方差为^-%）2+（%2-（）2-%）2］；

Zo3

（2）263户家庭，则中位数为第名尹=132户家庭的人口数,

­.■20+29+48+50=147>132,v2O+29+48=97<132,

所以中位数为4；

（3）平均数:

-1x20+2x29+3x48+4x50+5x46+6x36+7x19+8x8+9x4+10x3

x=---------------------------------------------------------------------------“4.30,

263

标准差:

+29（2-x）2+48（3-jr）2+50（4-x）2+46（5-x）2+36（6-x）2+19（7-x）2+8（8-x）2+4（9-x）2+300—m2

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------u1.97

263

【点睛】本题考查平均数，标准差，中位数的计算，是基础题.

7.（2021•上海市第三女子中学高二期末）从某中学200名新生中随机抽取10名进行身高测

量，得到的数据为：168、159、166、163、170、161、167、155、162、169（单位：cm）,

试估计该中学200名新生身高的平均值和中位数，并求身高大于165cm的概率估计值.

【答案】平均值164cln,中位数164.5cm,

【分析】根据抽取的10名新生数据计算中位数、平均值，其中身高大于165cm的人数确定身高

大于165cm的概率，由样本特征与总体特征的关系即可得200名新生身高的平均值和中位数，

身高大于165cm的概率估计值.

【详解】由题意，将数据排序得：155、159、161、162、163、166、167、168、169、170,

・••样本中位数为-------=164.5cm,

2+/+位155+159+161+162+163+166+167+168+169+170

样本平均值为-------------------------------------------=164cm,

其中身高大于165cm共有5名，

.♦.身高大于165cm的概率为g.

综上，由样本特征值可知该中学200名新生身高的平均值164cm、中位数164.5cm,身高大于

165cm的概率估计值1

8.（2021•上海市西南位育中学高二期中）某企业要设计一款由同底等高的圆柱和圆锥组成

的油罐（如图），设计要求：圆锥和圆柱的总高度与圆柱的底面半径相等，均为10m.

（1）已知制作这种油罐的材料单价为1万元/nf,则制作一个油罐所需费用为多少万元？（万取

3.14,结果精确到0.01万元）

（2）已知该油罐的储油量为0.95吨/m：则一个油罐可储存多少吨油？（乃取3.14,结果精确

到0.01吨）

【答案】（1）979.56万元；（2）1989.68吨.

【分析】由题意知，求得圆柱和圆锥的高以及圆锥的母线长；

（1）求得组合体的表面积，从而求得造价；

（2）求得组合体体积，从而求得储油量.

【详解】由题意知，圆柱和圆锥的底面半径，=10m,圆柱和圆锥的高均为〃=5m；

则圆锥的母线长/=质淳=5层，

（1）由上知，组合体的表面积为：5=2江〃+开产+：2次•/

=2^X10X5+^X102+-X2^X10X5V5=（2（X）+50^）^,

2

则总造价为（200+50"）;rxl*979.56万元；

（2）组合体的体积为：V=7rr'h+-7tr~-/z=IO2x5+-1-^x1（）2x5=>

又储油量为0.95吨/„?，则一个油罐可以储存油量为：箸艺x0.95=1989.68吨

9.（2020•上海高三期中）已知圆锥的体积为7，底面半径OA与OB互相垂直，且04=6；

P是母线BS的中点.

S'

（1）求圆锥的表面积

（2）求异面直线S。与PA所成角的大小（结果用反三角函数表示）

【答案】（1）S表=（2>/5+3,；（2）arctan-715^

【分析】（1）利用圆锥的体积公式求出圆锥的高，进而利用表面积公式求解即可；

（2）取B。中点，，连接尸H,AH,S。与R4所成角为N4P"（或其补角），在中求解即

可.

【详解】（1）-.-V=^Sh,S=3TT,:.SO=1,SB=2,

S尧=7.6-2+乃1Gy=（2退+3）万

（2）取B。中点”，连接/W,A",S。与力所成角为44尸”（或其补角），

AH=—,PH=~,tanZAPH=V15,

22

所以异面直线SO与姑所成角的大小为arclan后.

4TT

10.（2020•上海市金山中学高二期中）将圆心角为彳，半径为kTM的扇形，卷成圆锥形容

器，求：

（1）这个容器的侧面积；

（2）这个容器的容积.

【答案】（1）~^~cm2:（2）兀cm'.

381

【分析】（1）计算出扇形的面积，即可得出这个圆锥形容器的侧面积;

（2）计算出圆锥底面圆半径，可计算出圆锥的高，进而利用锥体体积公式可求得这个容器的

容积.

【详解】（1）由题意可知，这个圆锥形容器的侧面积为S=gx与xl=等LM）：

47r2

（2）设圆锥形容器的底面半径为「cm,则2行=羊、1,可得r=：,

所以，圆锥形容器的高为〃=VF=7=/_图-邛（⑹,

因此，这个容器的容积为

33（3）3811，

【点睛】本题考查圆锥的侧面积和体积的计算，考查计算能力，属于基础题.

11.（2017•上海杨浦区•高三期中）如图，正四棱柱AB8-A8CQ的底面边长A3=2,

若异面直线AA与BC所成角的大小为arctang,

（1）求与底面ABC。所成角的正切值；

（2）求正四棱柱4BCD-ABCQ的体积.

【答案】⑴逝：（2）16.

【分析】（1）根据正四棱柱的特征，以及题中条件，先求出侧棱长，再连接B。，得到N"B。

即为8已与底面A8CO所成的角，根据题中数据，即可求出结果；

（2）根据正四棱柱的体积公式，即可求出结果.

【详解】（1）因为在正四棱柱ABCD-A4GA中，AAMB出,

所以NBBQ即等于异面直线A4与B,C所成角，

因为正四棱柱ABCO-A5CQ的底面边长AB=2,所以BC=2,

又异面直线4A与86所成角的大小为arctang,

1BC1

所以tanN网C=（即函=5,解得：明=4,

即正四棱柱的侧棱长为4,

又因为在正四棱柱ABC。-AfGR中，侧棱垂直于底面,

所以。。，平面ABC。，

连接8D,

因此ND、BD即为BD,与底面ABCO所成的角,

所以tanND,BD=^==6,

因此与底面ABCO所成角的正切值为应；

（2）由（1）可得8耳=4,

所以该正四棱柱的体积为：V=S4flCflBBl=2x2x4=16.

【点睛】本题主要考查求直线与平面所成的角，以及棱柱的体积，熟记线面角的概念，以及

正棱柱的结构特征，与棱柱的体积公式即可，属于常考题型.

12.（2018•上海市第二中学高二期中）如图，梯形48CC满足A8//CD,NABC=90,且

AB=273,BC=\,ABAD=30,现将梯形ABCD绕AB所在的直线旋转一周，所得几何体记作Q,

求C的体积匕

B--------IC

【答案】史兀

3

【分析】由题意易得该几何体为圆锥和圆柱的组合体，分别求出圆锥和圆柱的体积，再相加

即可；

【详解】几何体为圆柱与圆锥的组合体，

圆锥和圆柱的底面半径为，=BC=1,圆锥的高为九=有，

圆柱的高色=,

/.V=^-xl2x5/3+-^xl2乂正=.

33

【点睛】本题主要考查了旋转体的结构特征，体积的计算，考查了学生的计算能力，属于基

础题.

13.(2018•上海市淞浦中学高二期中)在正四棱柱A8CO-44GQ中，已知底面ABC。的

边长为2,C0=4,点尸是CC,的中点，求：

(1)正四棱柱ABCO-AAG2的体积；

(2)异面直线BC和AP所成角的大小(结果用反三角函数值表示).

【答案】(1)16；(2)arccos—

3

【分析】(1)根据正四棱柱的体积公式：V=S/z完成计算，S是正四棱柱的底面积，力是正

四棱柱的高；

(2)作出示意图，取3片中点。，连接尸Q,AQ,根据尸。与8c的关系可找出异面直线所成角

或其补角，由此可计算出异面直线8c和AP所成角的大小.

【详解】(1)因为5^8=22=4,A=CG=4,所以y=S〃=4x4=16；、

(2)取B⑸中点Q,连接PQ,AQ,如图所示：

因为「为CC,的中点，所以PQ//BC,

所以异面直线8C和AP所成角即为44PQ或其补角,

又因为AB=BC=2,CG=4,

所以AP=」22+22+22=26，AQ=，2?+22=2五，PQ=2,

12+4-8

所以cosZAPQ=

2・2行2一3

所以异面直线BC和AP所成角为arccos也.

3

【点睛】本题考查空间几何体的体积计算以及异面直线所成角的求解，难度较易.求解异面直

线所成角大小时，可通过将直线平移至同一平面内，然后根据线段长度利用余弦定理求解出

异面直线所成角的余弦值，再根据余弦值的正负即可求解出异面直线所成角的大小.

14.(2019•上海市通河中学高二期中)过圆锥轴的截面为等腰直角三角形。为底面

Q

圆周上一点，已知3。=26，圆锥体积为§乃，点。为底面圆的圆心

(1)求该圆锥的全面积

(2)求异面直线SA与所成角的大小(结果用反三角函数表示)

(3)求点A到平面SQB的距离

【答案】(1)40万+4%(2)arctan(3)土叵

35

【分析】(1)设底面圆的半径为R,则高R=SO,利用体积公式求出R,即可求出侧面积,进而

求得该圆锥的全面积；

(2)连接Q。并延长交圆周于C点，再连接ACAQ,BC,SC,则A。=B。=。。=OC,所以西边形

AQBC是平行四边形，AC//QB,N&1C的大小为异面直线弘与8Q所成角。的大小；

(3)求三棱锥S-AQB的体积以S为顶点，以AAQB底面,也可以A为顶点，以底面，通过

等体积法求解点A到平面SQB的距离.

【详解】(1)设底面圆的半径为R

ASAB等腰直角，故：|人。=|5。

R=\SO\

•••根据圆锥的体积计算公式：v=；s/

1,8

-7TR-R=-TI:得：R=2

母线的长为|SA|=依+a=2拒

圆锥的侧面展开图为扇形,根据扇形面积公式：S阚彩=《/用形弧长/形钻

圆锥的侧面积为：S『M?-|SA|=4缶

圆锥的全面积=5树+S底=4&兀+4勿

(2)

如图:连接QO并延长交圆周于C点，再连接ACAQ,BC,SC

m。=忸。=囱=|0。

四边形4QBC是平行四边形，得AC/QB

NMC的大小为异面直线SA与BQ所成角0的大小.

由（1）知在A5AC中，|M=|SC|=20,卜4=|四=2有

过点S作S〃_LAC丁点”

AASC为等腰三角形，故|4叫=6

在吟阳中有：tan”陷尸产-本-士

\AH\\AH\63

-0=arctan---

3

（3）根据三棱锥的体积计算公式：V=：S底〃

在AAQ8中|A8|2=|AQ|2+|QB|2可得：|AQ=2

k纱=:（如。卜附）阙=:（：22时.2=^^

VASQ8三ASAC中故：S.SQB=；?64=A

VA-SQB=J5,59/=得：＜，岳h=

解得：人=疫

5

•・•点A到平面SQB的距离为：生叵.

5

【点睛】本题主要考查圆锥的全面积、异面直线所成的角的求法,考查逻辑分析能力与运算求

解能力，属于中档题.

15.（2018•上海市通河中学）在直三棱柱A8C-A4G中，ABAC=90°,AB=AC=AAi=2,

点E、F分别为棱AC与A0的中点

(1)求三棱锥4-EFG的体积

(2)求异面直线AC与政所成角的大小

【答案】(1)I：(2)J

36

【分析】(1)由线面垂直的判定方法可知A尸，平面从而利用体积桥匕LMC,=V~AEC,

求得三棱锥体积；

(2)取AA中点P,由三角形中位线的平行关系可知所求角为NFEP，利用勾股定理求得\EFP

三边长，根据余弦定理求得cosNFEP,进而得到结果.

【详解】(1)：三棱柱为直三棱柱平面A^G

又4尸u平面AB£AA,1A,F

NBAC=90NgA©=90",即A尸AG

;A4(，4Gu平面AGE,AA1cAic]=A4尸_L平面AGE

^A,-EFC,==§S1VliGE,4尸=]X]X2x2x1=]

(2)取4A中点尸，连接EP,FP

•••E，P分别为AC,"1中点:.EP//A,C

异面直线4。与EF所成角即为EP与EF所成角，即NFEP

vFP=5/i+T=>/2.£P=Vi+T=>/2.EF=Jl+4+l=#

EF2+EP2-FP26=671

/.cosZEFP=/EFP=—

2EFEP2后0-26

即异面直线AC与EF所成角为I

【点睛】本题考查立体几何中三棱锥体积的求解、异面直线所成角的求解问题；求解三棱锥

体积时，常采用体积桥的方式将问题转化为底面面积和高易求的二棱锥的情况；求解异面直

线所成角的关键是能够通过平移，将问题转化为相交直线所成角的求解.

16.（2018•上海市宝山中学高二期中）已知圆柱。的底面半径为13cm,高为10a”，一平

面平行于圆柱。。1的轴00、,且与轴。。1的距离为5加，截圆柱得矩形ABBtAt.

（1）求圆柱的侧面积与体积；

（2）求截面48AA的面积.

【答案】（1）侧面积为260;rcM；体积为1690;TC加1；（2）240cM

【分析】

（1）求得底面圆周长后，由圆柱侧面积公式求得侧面积；根据圆柱体积公式求得体积；

（2）由截面与。的距离可求得A8,根据矩形面积公式求得结果.

【详解】（1）圆柱的底面圆周长为：2Tx13=26万（cm），侧面积5=26%X10=260万卜病）

圆柱体积^=万xl32xl0=16901小力）

（2）；截面4匹片与。。距离为5c7/AB=2>/132-52=24（cw）

二.截面AB54的面积为：ABAA,=24x10=240[cnv）

【点睛】本题考查圆柱侧面积、体积和截面面积的求解问题，考查对于公式的掌握情况，属

于基础题.

17.（2018•上海市吴淞中学高三期中）如图，已知长方体ABC。-ABGR的底面是边长为2

的正方形，P为线段AC的中点，若异面直线PA与BC所成角的大小是60。，求长方体

【答案】4立

【分析】取AB中点E,根据三角形中位线可确定异面直线AP与BC所成角即为NAPE,设

长方体高为6,表示出AA/E各边，利用余弦定理构造方程可求得高，进而得到长方体体积.

【详解】取A8中点E,连接

VP,E分别为AC,AB中点:.PE//BC且PE=；BC=1

"PE即为异面直线A,P与BC所成角，即"PE=60

设A4=〃，则AENI+*,&+/

在然PE中，由余弦定理可得：1+川=2+/?2+1-2亚Vcos6（y，解得：h=&

•••长方体A88-4耳CQ的体积：Y=2x2x夜=4点

【点睛】本题考查长方体体积的求解问题，涉及到异面直线所成角的知识；关键是能够利用

余弦定理构造方程求解出长方体的高.

18.（2020•上海市三林中学）如图，在长方体ABC£>-A£CQ中，AB=BC=2,AA,=3.

（1）求四棱锥A-A3c。的体积；

（2）求异面直线AC与B与所成角的大小.

【答案】（1）4：（2）arctan3区.

3

【分析】（1）根据题意，得到44,平面ABCD,再由题中数据，以及棱锥体积公式，即可

得出结果；

（2）连结AC,由题意得到AC与⑨所成的角，等于异面直线AC与四所成的角：即NA4C

等于异面直线AC与8片所成的角；根据题中数据，求出tanN44,C,即可得出结果.

【详解】（1）因为在长方体ABCO-ASCa中，AA_L平面ABC。，

又AB=8C=2,M=3,

所以四棱锥A-A8CC的体积为匕，—。;（人员氏丁仅二（？？，：牝

（2）连结AC,因为长方体ABCO-AgCQ中，

所以AC与441所成的角，等于异面直线AC与8片所成的角；

即ZAA,C等于异面直线4。与BB、所成的角；

又ACNAB^+BC。=20，

所以tanZAAjC=,因此ZAA|C=arctan2区,

A4,33

即异面直线AC与BBi所成角的大小为arctan逑.

3

【点睛】本题主要考查求四棱锥的体积，以及求异面直线所成的角，熟记棱锥的体积公式，

会用几何法求异面直线所成的角即可，属于常考题型.

19.（2018•上海市南洋模范中学高三期中）已知正四棱锥P-49CD的全面积为2,记正四

棱锥的高为A.

（1）用磁示底面边长，并求正四棱锥体积尚最大值；

（2）当上取最大值时，求异面直线力题Z5而成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

11

【答案】（1）。=了京,V；；（2）arctan3.

【分析】（1）设底面边长为。，侧面三角形高为H,由全面积构造方程可求得H利

a2

用“2=好+（£|2可构造方程求得。=3万；根据三棱锥体积公式得到“=而刁，结合基

本不等式可求得体积的最大值；

（2）取CO中点Q,由平行关系知NPR2即为所求角；根据（1）中结论可知的值，进而

可求得tanNPDQ,从而得到结果.

【详解】（1）设底面边长为。，侧面三角形的高为“，则/+2“H=2

a2

又"5+目，即（:雪—+图卷

・“泊=舟=内

V/Z+7>2（当且仅当人=；,即〃=1时取等号）

hh

即匕,*=：（当为=1,a=立时取最大值）

662

（2）取CO中点。，正方形ABC£>中心0,连接PO,PQ,。。

AB!/CDANPDQ即为异面直线AB与尸。所成角

••,Q为CA中点，PC=PD:.PQ±CD,即PQ="

由（1）知，H=^-—=—

44

^DO=-a=—tanNPOQ==3NP£）Q=arctan3

24DQ

即异面直线A8与PC所成角的大小为：arctan3

【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成角、体积最值的求解问题；求解体积最值问题的

关键是能够将体积表示为关于某一变量的函数的形式，从而利用函数求最值的方法来求解所

求的最值.

20.（2018•上海普陀•曹杨二中高三期中）如图ABCO-4BCQ是棱长为2的正方体，M、

N分别是8月、8的中点.

(1)求三棱锥B-AMV的体积；

(2)求异面直线MN与。2所成角的大小.(用反三角函数值表示)

2

【答案】(1)~:(2)arctan有.

【分析】(1)根据等体积法，VB-AMN=VM-ABN,根据底面积和高即可求得体积.

(2)因为异面直线与。。所成角等于MN与所成角的大小，连接NB,解三角形即可求

解,最后再转化为反三角函数即可.

【详解】(1)连接8N

=V

因为VB-AMNM-ABN,SABN=，2X2=2

12

所以VB-AMN=VM-ABN=^X2X1=-

(2)异面直线MN与DDt所成角等于MN与8月所成角

在RtMIBN中,2NMB即为MN与BB,所成角

BN=5+P=6,MN=1

所以tanNNMB=牛=小

所以NNMB=arctan-J5

【点睛】本题考查了等积法在立体几何中的应用，异面直线夹角的求法,属于基础题.

21.(2020•上海市复兴高级中学高三期中)如图，直三棱柱A8C-A8G中，N48C=9Oo,

AB=4,BC=4,明=3,欢A分别是BS和AC的中点.

(1)求异面直线Aq与GN所成的角;

(2)求三棱锥M-GCW的体积.

【答案】（1）arccos^^-（2）2

【分析】（1）过川乍交4G于0,连接30,可得N4加（或其补角）是异面直线45

与GV所成角.在46加中，分别求出仍、4和8,施勺长，结合余弦定理算出cos/和施勺值，从

而得到异面直线仍与GA所成的角是arccos姮；

5

（2）平面4区G中，过M乍〃〃4G于"根据直三棱柱的性质结合面面垂直的性质定理，得到

，他平面A44C,「雌二棱锥"-GG的高.算出物的长和NGG的面积，结合二棱锥的体积公

式，可得三棱锥"-GC1的体积.

【详解】（1）平面力46仲，过4作力。〃卬V；交4G于Q,连接BQ

：.ZBtAQ（或其补角）就是异面直线力笈与G.A所成的角

矩形/4G舛，八是力舛点，可得Q是4G中点

仇△力45中，48=jAA^+4Bj=5,同理可得/10=Ji7

等腰/中，50是斜边的中线

.•.80孝45=2拒，

△iW机cosNB、AQ=25+17二=匝＞。

2x5x7175

ZB\AQ=arccos^^-,即异面直线阳与。八所成的角等于arccos/^；

（2）平面48C中，过M乍物L4G于〃

•直三棱柱/比-45G中，CG_L平面43G,CGU平面444C

/.平面GCL平面4旦G，

•.•平面44GC_L平面4〃G=4G,MH1A.C,,

."婚"L平面44CC,MH是三棱锥M-GCA,的高线

,.•△5G冲，，促4G中点，.物/〃40

."例是△3C硒中位线，得扬/=3耳。=忘

•；△GG的面积S=；avxCC=gx2拒x3=3夜

二三棱锥M-C◎的体积％Mg=京根侬，/"=；x30x点=2

【点睛】本题给出特殊三棱柱，求异面直线所成角并求锥体的体积，着重考查了线面垂直、

面面垂直的判定与性质，异面直线所成角的求法和锥体体积公式等知识，属于基础题.

22.(2020•宝山•上海交大附中高二期中)现有四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长

是“，高是b；2号容器的底面边长是b,高是“；3号容器的底面边长是。，高是“；4号容器

的底面边长是人，高是尻假设出方，问是否存在一种必胜的4选2的方案(与a涉的大小无关)，

使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和？无论是否存在必胜的方案，

都要说明理由.

【答案】存在，选择3号和4号容器.

3}222

【分析】分别计算出四个容器的体积，^^a+b-ab-ba=(<a+bXa-bj>0,从而得到

必胜方案，即选择3号和4号容器.

【详解】1号容器体积为：a2b-,2号容器体积为：/a:

3号容器体积为：/；4号容器体积为：护

,:a丰b

32222

o'+b-ab-ba=(^a+b)^a-ab+b^-ab[<a+b)=^a+b')^a-by>0

...存在必胜方案，即选择3号和4号容器

【点睛】本题考查与棱柱体积有关的计算问题，关键是能够进行因式分解得到恒大于零的式

子，从而得到所求方案.

23.(2021•上海市复兴高级中学高二期中)已知圆锥AO的底面半径为2,母线长为2加，

点C为圆锥底面圆周上的一点，。为

圆心，力是AB的中点，且N8OC=匹.

2

(1)求圆锥的全面积；

(2)求直线CD与平面AOB所成角的大小.

(结果用反三角函数值表示)

【答案】⑴4（1+Ji6）乃；（2）arctan^.

试题分析：（1）圆锥的全面积等于圆锥的底面积与圆锥的侧面积之和，根据圆锥的侧面积公

式》“求得面积，代入相加即得，（2）先根据线面垂直判定定理得OCL平面A08,即得NCDO

是直线CQ与平面A08所成角，再解三角形C。。得直线CO与平面A05所成角的大小.

试题解析：（1）圆锥的底面积岳=万r=4万

圆锥的侧面积52=兀”=4而j/r

圆锥的全面积5=岳+$2=4（1+加）》.

（2）•/ZBOC=y:.OC1OB且OCJ_OA,OCJ■平面AO8

:.ZCDO是直线CO与平面AOB所成角

在MACW中，OC=2,0O=M，

tanNCOO=—,ZCDO=arctan叵

55

所以，直线CO与平面AOB所成角的为arctan萼.

24.（2021•上海市亭林中学高二期中）在直三棱柱ABC-A禺G中，ZABC=90°,

AB=BC=AA]=1,

（1）求异面直线与G与AC所成的角的大小;

（2）求直线AC与平面ABC所成角.

【答案】（1）45°；（2）arctan.

2

【分析】（1）根据异面直线所成角的概念，结合题中条件，得到ZACB即为异面直线所成角,

进而可求出结果；

（2）根据直棱柱的特征，结合线面角的概念，得到必。即为所求线面角，进而可求出结果.

【详解】（1）因为在直三棱柱ABC-A4G中，BC//B.C,,

所以N4C8即为异面直线与AC所成的角，

又NABC=90。，AB=BC=\,

所以AABC为等腰直角三角形，因此ZACB=45。：

（2）在直三棱柱A8C-44G中，侧棱和底面垂直，即平面ABC；

连接AC,则幺6即为直线AC与平面A8C所成角，

又AB=BC=A4=1,

则AC="+F*

因此tanZACA="1=,

'AC2

所以直线AC与平面ABC所成角为arctan也.

2

25.（2021•上海市市西中学高二期中）如图所示，在正三棱锥A-8CD中，E为棱BC的中

点.

（1）求证：BC1AD；

(2)若AB=布,且点A到底面8C。的距离为2,求二面角A-BC-D的大小(结果用反三

角函数值表示).

【答案】(1)证明见解析；(2)arctan4.

【分析】(1)证得BC_L平面3,结合线面垂直得性质定理即可证出结论；

(2)因此ZAEO为二面角A-8C-D的平面角，在在汝AAEO中，直接求正切值即可求出结

果.

【详解】

(1)证明：连接。E,正三棱锥A—BCD中，AB^AC,E为BC中点,则等边三

角形3CO中，E为BC中点，则DEJ.8C,^.AE[}DE=E,

因此8C_L平面A£>E,又因为A£)u平面A£>E,因此3C_LAO.

(2)由于AE_L8C,DEYBC,

因此ZAE£>为二面角A-8C-。的平面角，过A作AOL平面BC。于。，则。为等边三角形

88的重心，连接08,由已知得49=2,48=后，则8。=1,60=3，

…八AO2“

.-->tan^A.ED==-=4

在中，EO1

2

由图可知二面角A-BC-。的平面角为锐角，因此二面角A-8C-。的大小为arctan4.

26.(2021•上海市市西中学高二期中)如图所示，在正方体ABCD-AMGR用、N中，M、N

分别是A。、GP的中点.

(1)证明：直线AM,CN相交;

（2）求异面直线A"与CA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.

【答案】（1）证明见解析；（2）arccos典.

5

【分析】（1）通过线线平行证得四点共面，进而证得结论；

（2）首先证得NCRE（或其补角）是异面直线AM与CR所成角，在中利用余弦定理

解三角形即可求出结果.

【详解】

（1）证明：连接用MAC、AC,

由M、N为A2、CA中点，则MN〃AG,MN=gAG

又AA//CG，A4,=CC,,则平行四边形AAGC中，AC,//AC,

因此MV〃AC,直线MN与AC共面，且MNHAC,所以直线AW、CN相交.

（2）

取AO中点E,连接RE、CE,不妨设正方体棱长为2,

则D.M//AE,】M=AE,在平行四边形AEDtM中，DtE//AM,

因此NC^E（或其补角）是异面直线4W与CR所成角,

在△CRE中，D,E=^5,D、C=2&CE=Bcos/CRE=5y遮

2,\/5,25/25

因此异面直线AM与CD,所成为arccos®

5

27.（2020•上海师范大学第二附属中学高二期中）如图，四边形ABC。为矩形，孙，底面

ABCD,AB=2,fiC=l,PA=R

p

:方、一）c

I/、/

I/X/

I/X/

AB

（1）求证：CDJ_平面PAQ；

（2）求直线PC和平面PAO所成角的大小.

【答案】（1）证明见解析；（2）

4

【分析】（1）根据题中条件，由线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；

（2）根据（1）的结果，得到NCP。为直线PC和平面R4Z）所成角；由题中数据求出产。=2,

DC=2,得出tan/CPO=l,即可求出线面角.

【详解】（1）因为PA_L底面ABC/）,COu底面A8C。，所以R4J_C£）；

由四边形ABC。为矩形，可得4），8,

又"）cRl=A,A£）u平面PAO,Elu平面PA。，

所以C£）,平面E4O；

（2）由（1）CQ_L平面PA。，则尸。是8在平面PAD的射影，且C£）_LPZ），

所以/CPO为直线PC和平面幺。所成角：

因为Afi=2,BC=l,PA=6,所以/。=巧+心=2,DC=2,

因此tanNCP£>=空=1,则NCP£>=X,

PD4

所以直线PC和平面PAO所成角的大小为£.

【点睛】本题主要考查证明线面垂直，考查求线面角，熟记线面垂直的判定定理，以及线面

角的定义即可，属于常考题型.

28.（2018•上海市南洋模范中学高二期中）如图，已知平面

AB=AC=3,BC=2j5,A4,=夕,8田=2近，点E为BC的中点.

4

（1）求证：平面43八平面BCq；

（2）求直线A旦与平面BCB1所成角的大小.

【答案】⑴证明见解析；⑵聿

【分析】⑴由己知可得短，8C,因为"口平面A8C,阴〃他，所以阴1.平面A8C,从而

四||AE.故A£_L平面SCB,,所以平面AEA,人平面BCB,；

⑵取网中点用和BC中点N,连接AM，AMNE,可证四边形4NE4为平行四边形,则

A、N〃AE,且AN=AE=2,可证/郎为直线A,B,与平面BCBt所成的角.又因为〃AB,

48,8片，有故可求出A片，在在RtA^NA中，sin幺8方=整=<,即可得到直线

A蜴与平面BC5所成角.

【详解】解：⑴因为AB=AC,E为BC的中点.，所以AELBC.

因为A4J平面A8C,85〃44,,所以8片，平面48（，

从而BBJAE.

又因为8（708旦=8,所以他，平面BCB1,

又因为AEu平面AE4,所以平面AEA入平面BCq:

⑵取BB、中点"和BC中点N,连接A"，AMNE.

因为N和E分别为AC和BC的中点，所以NE||BB「NE=；BS（中位线定理），

故NE||AA,NE=A4,,故四边形ANEA为平行四边形，

所以AN〃4E,且AN=AE,

又因为面越，平面8c用，所以ANJ.平面8CB-

从而NAqN为直线A片与平面8c与所成的角.

在AABC中，可得M=2,所以4N=AE=2,

因为BM〃/L4,,BM=AAt,

所以四边形AAB历是平行四边形

所4阳〃AB,A,M=AB,

又由AB得AM||四，

在Rt△中，A与=y]B,M2+A,M2=4,

AN_1

在RtAAN片中,sinZAfBlN=

因此NAMN=30.

所以直线4片与平面BC瓦所成角为£

o

【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知

识考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.

29.(2017♦上海市控江中学高二期中)已知长方体A8C£>-A4GA.

(1)求证：人①尸平面8BQD

(2)若4?=4,AO=3,求AA和平面明。。的距离.

12

【答案】⑴证明见解析；⑵y

【分析】(D在长方体ABC0-A8GA中，44,〃8瓦，可证44户平面34。£>.

(2)由4A尸平面B片。。，直线4A上任意一点到平面BBQQ的距离都相等，即可以求点A到

平面BB&Q的距离,从而可得答案.

【详解】⑴在长方体"CO-ABCQ中，AA、IIBB、

又BB&平面BBRD

所以4Ap平面B8QO

⑵由（1）AAP平面8BQ。，

则直线A4上任意一点到平面BBQQ的距离都相等，

所以只需求直线4A上任意一点到平面3旦。。的距离,

在长方体ABCD-A4GA中，BBt1平面ABCD

且BB]c平面BBRD,则平面BBRD1平面ABCD

过点A作AH±BD交BD于H,

则平面BBQ。，

即AH为直线4A和平面8月。。间的距离

在AABD中，AB=4,A£）=3,则80=5.

,…ABxAD4x312

由等面积法得：AH=-—

DDJJ

所以4A和平面BB