专题06：三角形求角度模型之三角形内外角平分线交角-2021中考数学解题方法系统训练(一)

专题06:第2章三角形求角度模型之三角形内外角平分线交角

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一、填空题

1.如图，在^A8C中，/A=70°,如果NA8C与NAC5的平分线交于点。，那么

度.

2.如图，在AABC中，ZABC=80°,ZACB=50°,BP平分NABC,C尸平分Z4C8,贝I」ZBPC=,

3.(2018育才单元考)如图，在AABC中，NA8C和NACD的角平分线交于点力一得乙"，NA|BC和

4c。的角平分线交于点A?,得4h，........ZA“T8C和ZA,iC£＞的角平分线交于点A“，得NA”

(1)若ZA=80°,则NA=，/4=，/4=

(2)若ZA-nf,贝!JZA2O15=

BD

4.如图，在△ABC中，NA=60。，BD、CD分别平分NABC、ZACB,M、N、Q分别在DB、DC、BC的

延长线上，BE、CE分别平分/MBC、ZBCN,BF、CF分别平分NEBC、ZECQ,则NF=.

二、解答题

5.在△ABC中，若存在一个内角角度是另外一个内角角度的n倍(n为大于1的正整数)，则称△ABC为

n倍角三角形.例如，在△ABC中，/A=80。，/B=75。，ZC=25°,可知/B=3/C,所以△ABC为3

倍角三角形.

(1)在△ABC中，ZA=80°,NB=60。，则△ABC为倍角三角形；

(2)若锐角三角形MNP是3倍角三角形，且最小内角为a,请直接写出a的取值范围为.

(3)如图，直线MN与直线PQ垂直相交于点0,点A在射线0P上运动(点A不与点0重合)，点B在

射线0M上运动(点B不与点O重合).延长BA至G,已知NBA。、/0AG的角平分线与/B0Q的角平

分线所在的直线分别相交于E、F,若△AEF为4倍角三角形，求NAB0的度数.

6.在AABC中，已知NA=a.

（1）如图1,NABC、N4CB的平分线相交于点£>.求NBDC的大小（用含a的代数式表示）；

（2）如图2,若NA8C的平分线与/ACE的平分线交于点E求N2FC的大小（用含a的代数式表示）；

（3）在（2）的条件下，将APBC以直线BC为对称轴翻折得到AGBC,/GBC的平分线与NGCB的平分

线交于点M（如图3）,求/BMC的度数（用含a的代数式表示）.

7.如图1,△ABC的外角平分线交于点F.

（1）若/A=40。，则NF的度数为；

（2）如图2,过点F作直线MN〃BC,交AB,AC延长线于点M,N,若设/MFB=a,ZNFC=p,则/A

与a+P的数量关系是:

（3）在（2）的条件下，将直线MN绕点F转动.

①如图3,当直线MN与线段BC没有交点时，试探索/A与a,|3之间的数量关系，并说明理由；

②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中/A与a,。之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明

理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系.

图1图2图3

8.（1）如图1所示，BD,CD分别是△ABC的内角NABC,/ACB的平分线，试说明：ZD=90°+—ZA.

2

D

B,

D

（2）探究，请直接写出下列两种情况的结果，并任选一种情况说明理由：

①如图2所示，BD,CD分别是△ABC两个外角NEBC和NFCB的平分线，试探究NA与ND之间的等量

关系；

②如图3所示，BD,CD分别是△ABC一个内角/ABC和一个外角/ACE的平分线，试探究/A与/D之

间的等量关系.

9.如图①，在△ABC中，/ABC与NACB的平分线相交于点P.

（1）如果NA=80。，求NBPC的度数;

（2）如图②，作AABC外角/MBC、NNCB的平分线交于点Q,试探索NQ、/A之间的数量关系.

（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E,ABQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出

NA的度数.

10.（问题背景）

（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明/A+/B=/C+ND；

（简单应用）

(2)如图2,AP、CP分别平分/BAD.ZBCD,若NABC=46。，ZADC=26°,求NP的度数；

(问题探究)

(3)如图3,直线AP平分/BAD的外角/FAD,CP平分/BCD的外角/BCE,若NABC=36。，ZADC=16°,

请猜想/P的度数，并说明理由.

(拓展延伸)

(4)①在图4中，若设NC=a,ZB=B,ZCAP=-ZCAB,ZCDP=-ZCDB,试问NP与NC、NB之

33

间的数量关系为：(用a、B表示/P);

②在图5中，AP平分/BAD,CP平分NBCD的外角NBCE,猜想NP与NB、ND的关系，直接写出结

论.

B

D

ED

图5

参考答案

1.125

【解析】

【分析】

先利用二角形内角和定理求出NA5C+NACB的度数，进而可求NDBC+/DCB的度数，最后再利用■

角形内角和定理即可求出答案.

【详解】

vZA=70°,

Z/WC+ZACB=180°-ZA=110°.

BD平分ZABC,CD平分ZACB,

ZDBC+ZDCB=1(ZABC+ZACB)=55°,

ZBDC=180°—(NDBC+NDCB)=125°.

故答案为：125.

【点评】本题主要考查与角平分线有关的三角形内角和问题，掌握角平分线的定义和三角形内角和定理是

解题的关键.

2.115°

【解析】

【分析】

先根据角平分线的性质求出ZP8C+NPC8的度数，再利用;角形内角和定理即可求解.

【详解】

解：平分NA3C,C尸平分N4C3,

，ZPBC+NPCB=1(80°+50°)=65°,

ZfiPC=180°—65°=115°.

【点评】本题考查了角平分线的性质及三角形内角和定理.熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键.

3.40。20。10。（弃）。

【解析】

【分析】

（1）利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证/A尸L/A,进而可求NAi,同理易证/A2=^NAI,

22

ZA3=—ZA2,进而可求NA2和NA3；

2

（2）利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证NAkL/A,进而可求/A”同理易证NA2=1/AI,

22

ZA=-ZA.........以此类推可知NA2O15即可求得.

322

【详解】

解：（1）；NA=NACD—NABC,ZAI=ZAICD-ZA,BC

•••NABC和NACD的角平分线交于点A-ZA=80°

.,.ZAiCD=-ZACD,ZAiBC=-ZABC

22

Z.ZAi=ZAiCD-ZAiBC

=-ZACD--ZABC

22

=-（ZACD-ZABC）

2

=40°

同理可证：ZA2=—ZAI=20°,ZAa=-ZA2=10O

22

故答案为：40°；20°；10°.

(2)VZA=ZACD-ZABC,ZAi=ZAiCD-ZAiBC

・・・448。和44。。的角平分线交于点丁，ZA=m0

・・・NAiCD」NACD,ZAiBC="ZABC

22

AZAi=ZAiCD-ZAiBC

11

二一NACD--NABC

22

」(ZACD-ZABC)

2

4ZA

【点评】本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，解题的关键是推导出/Ai='/A,并依此找出规律.

2

4.15°

【解析】

【分析】

先由BD、CD分别平分/ABC、ZACB得到NDBC=^/ABC,ZDCB=—ZACB,在^ABC中根据三

22

角形内角和定理得NDBC+/DCB=，(ZABC+ZACB)=—(180°-ZA)=60°,则根据平角定理得到

22

/MBC+NNCB=300。：再由BE、CE分别平分NMBC、NBCN得N5+/6=工NMBC,Zl=-ZNCB,

22

两式相加得到/5+N6+Nl=!(ZNCB+ZNCB)=150°,在△BCE中，根据三角形内角和定理可计算出

2

NE=30。：再由BF、CF分别平分NEBC、/ECQ得到N5=/6,N2=N3+N4,根据三角形外角性质得到

Z3+Z4=Z5+ZF,Z2+Z3+Z4=Z5+Z6+ZE,利用等量代换得到/2=N5+NF,2Z2=2Z5+ZE,再进

行等量代换可得到/F=NE.

2

【详解】

解：；BD、CD分别平分NABC、ZACB,ZA=60°,

二/DBC」/ABC,ZDCB=-ZACB,

22

.,.ZDBC+ZDCB=—(ZABC+ZACB)=—(180°-ZA)=­x(180°-60°)=60°,

222

，ZMBC+ZNCB=360°-60°=300°,

：BE、CE分别平分NMBC、ZBCN,

/.Z5+Z6=—ZMBC,Zl=—ZNCB,

22

.*.Z5+Z6+Z1=—(ZNCB+ZNCB)=150°,

2

/.ZE=180°-(Z5+Z6+Z1)=180°-l50°=30°,

VBF>CF分别平分NEBC、ZECQ,

AZ5=Z6,Z2=Z3+Z4,

Z3+Z4=Z5+ZF,Z2+Z3+Z4=Z5+Z6+ZE,

即N2=N5+NF,2Z2=2Z5+ZE,

A2ZF=ZE,

/.ZF=—ZE=—x30°=15°.

22

故答案为：15。.

【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180。.也考查了三角形外角性质.

5.(1)2；(2)22.5°<a<30°；(3)45°或36°

【解析】

【分析】

(1)由NA=80。，NB=60。，可求NC的度数，发现内角之间的倍数关系，得出答案，

(2)ADEF是3倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的3倍，然后根据这两个角之间的关系，分情

况进行解答，

(3)首先证明/EAF=90。，分两种情形分别求出即可.

【详解】

解：(1)VZA=80°,NB=60°,

.*.ZC=180°-ZA-ZB=40°,

.♦./A=2NC,

.•.△ABC为2倍角三角形，

故答案为：2；

(2)•••最小内角为a,

•♦•3倍角为3a,

由题意可得：

3a<90°,且180°-4a<90°,

...最小内角的取值范围是22.5。<01<3()。.

故答案为22.5°<a<30°.

(3)：AE平分NBAO,AF平分NAOG,

.,.ZEAB=ZEAO,ZOAF=ZFAG,

/.ZEAF=ZEAO+ZOAF=—(ZBAO+ZOAG)=90°,

2

•.•△EAF是4倍角三角形，

1,、1

.•.NE=-x90。或一x90。，

45

：AE平分/BAO,OE平分NBOQ,

AZE=—ZABO,

2

AZABO=2ZE,

，/ABO=45°或36°.

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，余角的意义，不等式组的解法和应用等知识，读懂新定义n倍

角三角形的意义和分类讨论是解题的基础和关键.

OCCL0L

6.(I)ZBDC=90°+—；(2)NBFC=—；(3)ZBMC=90°+—.

224

【解析】

【分析】

(1)由•:角形内角和可求NA8C+NACB=18()o-a,由角平分线的性质可求/£>8C+NBCQ=工

2

a

(NA8C+NAC8)=90。-一，由三角形的内角和定理可求解；

2

(2)由角平分线的性质可得ZFCE^-ZACE,由三角形的外角性质可求解；

22

(3)由折叠的性质可得NG=/BFC=巴，方法同(1)可求/BMC=9(F+J,即可求解.

22

【详解】

解：(1)VZA=a,

・♦・NABC+NAC8=180。-a,

・・・/?。平分NA3C,CD平分NACB,

・•・ZDBC=-NA8C,NBCD=-ZACB,

22

1a

：.ZDBC+ZBCD=—(NA8C+NAC8)=90°——，

22

a

，N6OC=180°-(NDBC+NBCD)=90°+—；

2

(2)VZABC的平分线与/4CE的平分线交于点F,

：.ZFBC=­AABC,NFCE=LNACE,

22

■:ZACE=NA+NA8C,NFCE=/BFC+NFBC,

1a

：.ZBFC=-ZA=—；

22

(3)：NG8C的平分线与NGCB的平分线交于点M,

，方法同(1)可得NBMC=9(r+——，

2

•将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC,

a

：.ZG=ZBFC=—,

2

a

ZBMC=90°+—.

4

【点评】此题考查三角形的内角和定理，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，角平分线的性质

定理，折叠的性质.

7.(1)70°(2)«+/7-|zA=9O0(3)①见解析②不成立；—g/A=90°或

a—，-g/A=90°

【解析】

【分析】

(1)根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到/F的度数;

（2）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到/BFC的度数，再根据平行线的性质，即可得

到NA与a+B的数量关系；

（3）①根据（2）中的结论/BFC=90。-；NA,以及平角的定义，即可得到NA与a,p之间的数量关系;

②分两种情况进行讨论，根据（2）中的结论NBFC=90。-工/A,以及平角的定义，即可得到/A与a,

2

P之间的数量关系.

【详解】

解：（1）如图1,；NA=40。，

/.ZABC+ZACB=140°,

二ZDBC+ZECB=360°-140°=220°,

又「△ABC的外角平分线交于点F,

.,.ZFBC+ZFCB=—（ZDBC+ZECB）=—x220°=110°,

22

.♦.△BCF中，ZF=180°-110°=70°,

故答案为：70°；

(2)如图2,VZABC+ZACB=180°-ZA,

，NDBC+NECB=360°-(180°-ZA)=180°+NA,

又•••△ABC的外角平分线交于点F,

•,.ZFBC+ZFCB=—(ZDBC+ZECB)=­x(180°+ZA)=90°+—ZA,

222

.♦.△BCF中，NBFC=180。-(90°+—ZA)=90°-—ZA,

22

又,.,/MFB=a,/NFC=|3,MN〃BC,

；./FBC=a,ZFCB=p,

「△BCF中，ZFBC+ZFCB+ZBFC=180°,

/.a+p+90o-4/A=180。，

即a+p-yZA=90°,

故答案为：a+p-；ZA=90°；

(3)@a+p-ZA=90°,理由如下：

如图3,由(2)可得，ZBFC=90°-—ZA,

2

图3

■:ZMFB+ZNFC+ZBFC=180°,

/.a+p+90°-[NA=180°,

即a+p-gNA=90。，

②当直线MN与线段BC有交点时，①中/A与a,。之间的数量关系不成立.

分两种情况：

如图4,当M在线段AB上，N在AC延长线上时，

图4

由（2）可得，ZBFC=90°-—ZA,

2

ZBFC-ZMFB+ZNFC=180°,

，90°-yZA-a+p=180°,

即0-a--ZA=90°；

2

如图5,当M在AB的延长线上，N在线段AC上时,

图5

由(2)可得，NBFC=90。--ZA,

2

VZBFC-ZNFC+ZMFB=180°,

.*.90°-ZA-p+a=180°,

即a-p--ZA=90°；

2

综上所述，NA与a,「之间的数量关系为B-a-g/A=90。或a-0-；/A=90。.

【点评】此题主要考查三角形的角度求解与证明，解题的关键是根据题意分情况作图.

8.(1)证明见解析；(2)①NA=180o-2/D,理由见解析；②/A=2/D,理由见解析

【解析】

【分析】

(1)首先利用角平分线性质得出/DBC=4/ABC,ZDCB=^ZACB,再利用三角形内角和定理得出

22

NA+/ABC+NACB=180。以及NDBC+NDCB+/D=180。，据此进一步加以变形求证即可；

(2)①首先理由角平分线性质得出ZEBC=2NDBC,ZFCB-2ZDCB,然后再利用三角形内角和性质进一

步整理得出NA-2(NDBC+NDCB)=-180。，据此进一步加以分析证明即可：②利用三角形外角性质可知

ZDCE=ZDBC+ZD,然后再利用角平分线性质得出2/DBC=NABC,2ZDCE=ZACE,最后再结合

ZA+ZABC=ZACE进一步证明即可.

【详解】

(1)VBD,CD分别是/ABC,/ACB的平分线，

/.ZDBC=—ZABC,ZDCB=—ZACB,

22

NA+NABC+NACB=I8O°,

二ZABC+ZACB=180°-ZA,

又：ZDBC+ZDCB+ZD=180°,

・・・ZD=180°-(ZDBC+ZDCB)

=180°-g(NABC+ZACB)

=180°--1-(180o-ZA)

=180°-90o+—ZA

2

=90°+—ZA,

2

即：ZD=90°+—ZA；

2

(2)①NA=180°—2ND,理由如下：

VBD,CD分别是NEBC和NFCB的平分线，

・・・NEBC=2NDBC,ZFCB=2ZDCB,

VZA+ZABC+ZACB=180°,

.•.ZABC=180°-(ZA+ZACB)=180°-2ZDBC,

ZACB=180°-(ZA+ZABC)=180°-2ZDCB,

JZA+l80°-2ZDBC+180°-2ZDCB=180°,

・♦・ZA-2(ZDBC+ZDCB)=-180°,

XVZDBC+ZDCB+ZD=180°,

/.ZDBC+ZDCB=180°-ZD,

.•.ZA-2(ZDBC+ZDCB)=ZA-2(180°-ZD)=-180°,

叩：ZA-360°+2ZD=-180°,

.\2ZD=180o-ZA,

即：ZA=1800-2ZD；

②NA=2/D,理由如下：

•.•/DCE是△ABC的一个外角，

.*.ZDCE=ZDBC+ZD,

VBD,CD分别是NABC和NACE的平分线，

.\2ZDBC=ZABC,2ZDCE=ZACE,

VZA+ZABC=ZACE,

.,.ZA+2ZDBC=2ZDCE,

ZA+2ZDBC=2ZDBC+2ZD,

.•.NA=2ND.

【点评】本题主要考查了三角形内角和定理与三角形外角性质及角平分线性质的综合运用，熟练掌握相关

方法是解题关键.

9.(1)130°；(2)NQ=90°—g/A；(3)60°或120。或45°或135°

【解析】

【分析】

(1)运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出/ABC+/ACB,进而求出NBPC即可解决问

题；

(2)根据三角形的外角性质分别表示出/MBC与NBCN,再根据角平分线的性质可求得NCBQ+NBCQ,

最后根据三角形内角和定理即可求解；

(3)在4BQE中，由于NQ=90。-g/A,求出/E=^NA,ZEBQ=90°,所以如果△BQE中，存在

一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论:①NEBQ=3NE=90。；②/EBQ=3NQ=90。；

③NQ=3NE；@ZE=3ZQ；分别列出方程，求解即可.

【详解】

⑴解:VZA=80°.

，NABC+NACB=1(X)°,

•点P是/ABC和NACB的平分线的交点，

•,.ZP=180°--(ZABC+ZACB)=180°--xl00°=130°,

22

(2):外角/MBC,/NCB的角平分线交于点Q,

.\ZQBC+ZQCB=y(ZMBC+ZNCB)

(360°-ZABC-ZACB)

2

=—(1800+ZA)

2

=90°+—ZA

2

.,.ZQ=180°-(90°+^-ZA)=90°-yZA；

(3)延长BC至F,

VCQ为4ABC的外角NNCB的角平分线，

ACE是4ABC的外角/ACF的平分线，

.♦.NACF=2NECF,

：BE平分NABC,

AZABC=2ZEBC,

VZECF=ZEBC+ZE,

・・・2NECF=2NEBC+2NE,

即NACF=NABC+2NE,

又VZACF=ZABC+ZA,

/.ZA=2ZE,即NE=L/A；

2

ZEBQ=ZEBC+ZCBQ

=—ZABC+—ZMBC

22

(ZABC+ZA+ZACB)=90。.

2

如果ABQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况:

①NEBQ=3/E=90°,则NE=30°,ZA=2ZE=60°；

②NEBQ=3/Q=90°,则NQ=30°,NE=60°,NA=2NE=120°；

③NQ=3NE,则NE=22.5。，解得NA=45。；

®ZE=3ZQ,则NE=67.5。,解得NA=135。.

综上所述，/A的度数是60。或120。或45。或135。.

【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用

三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键.

10.(1)见解析；(2)36°；(3)26°,理由见解析：(4)①/P="②NP」')