微积分06期末b分析和总结

对外经济贸易大学经贸学院高等数学(上)期末考试试卷B

对外经济贸易大学

2005—2006学年第一学期

《高等数学(上)》期末考试试卷(B卷)

课程代码及课序号：CMP—0

学号：______________姓名：_______________成绩：______________

班级：______________课序号：_______________任课教师：______________

题号——四五六合计

得分

一、填空题：(每空2分，共12分)得分_____

/.函数“X)在x的某一去心邻域内有界是极限存在的条件，极限

°XTX

0

lim/(x)存在是/(x)在x的某一去心邻域内有界的条件。

XTX°

0

2.函数y=^3-x+arctg—的定义域为(-co,0)(0,3】。

x

1

4.设函数，则八幻的间断点为_x=0_,属于第_1一类间断点.

€x+1

4.设/(%)有连续导数，且尸(0)=0Jim---=1,则f(x)在x=0的某个邻域内单调

XTO2

增加o

f(x)

5.函数/(幻在x=2处连续，lim--=-1，则八2)=_-1•

.22%-2

6.已知J上=-+C,则/(尤)=卫。

xX2

二、选择题：(每题2分，共12分)得分__

1.当XTO♦时,C与x是等价无穷小量.

(B)In(l-x)(C)小一工一Jl+x(D)X2(X+1)

2

2.曲线y=上对应于点上=1处的切线方程为.

x

(A)y=-3x+5(B)y=-3x+1

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(C)y=x+1(D)y=-x+3

3.设f(x)在X=某个邻域内有定义，则f(x)在工=。处可导的一个充分条件是()

limlimf(a+2h)-f(a+〃)

(A)存在

h

2+8h(/(a+〃)一f(a)口存在(B)/f_>o

(C)lim192少二£俱上2(D)二色存在

存在

力TO〃一>0h

4.下列等式正确的是_______

(A)d\f(x)dx=/(x)d\f(x)dx=f(x)dx

(B)

(C)'f(x)dx=f(x)dxJf{x)dx=/(xi+c

(D)

dx'dx

5.设方程/一公，=孙确定)，是R的函数，则)，'(0)=_2

1-y

(A)e-y(B)1(C)-----(D)0

ey

6.J(———+1)t/sinx=

sin2x

(4)-ctgx+c(8)-ctgx+sinx+c

_L

(C)+sinx+c(D)~+sinJC+C

sinxsinx

三、计算题：(每题6分，共42分)得分,

1.求极限

2,求极限lim9tPI-

.v->0X

「ln(l+,v)l隹x

(1+x)1-e^ln(l^.v)

-In(l+x)

解lim•\=lim=lim__J_=lim(1+x)Tlt^v

X

x->0x-»OXx->0XTOX2

1-_-ln(l+x)

=lime—-幼----i-m-e--(-l十B1+,=e

I)2R(1+X)22

x->0X2XTO

3.设y=f(lnx)+ln/(x),其中f(x)二阶可导，求y'。

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Jx=f2+ln2十"四div

4.设参数方程《确定了函数V=/(x)，求一■，巴2

[y=sin/-rcos/dxdx?

1

5.求不定积分J工工产

J---1--d=\—?—dx-f—---dr=x-ln(l+^x)+-----+。

解:

(1+ex)2(1+ex)(1+)21+如

Insinx.

6.求不定积分_____力

COS2X

rInsinxr

解J-sin.vJtanx=tanx-Insinr-x+c<>COS-X

国jx>0

7.设/(x)=4e问f(x)在x=0是否连续?

|L.J

[e2,x<0

解：lim/(x)=lime-2e-2=/(0),

x->0-0KTO-O

m+.r)ln(14-x)-x

因为

珪0_1

故limf(x)==Iime=er,。2x=e2=/(0),

x->0+0XTO+O

所以f。)在X=O连续。

四、经济应用题(9分)：

2P2

设某商品需求量Q是价格P的单调减少函数：Q=Q(P),其需求弹性n-j；-

192-Pi

(]R

(1)设R为总收益函数，证明__=e(l-n).

dP

(2)求P=6时总收益对价格的弹性，并说明其经济意义。

dR八ndQPdQ、、

解(1)R(P);PQ(P),两边同时对p求导得__=。+。__=。(1+____)=2(l-n).

dPdPQdP

(2)

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ER_PdR_°=1-9=I。？^尸-欧192-3x62_7*054

~EP~7^P~~PQ792-P2-丽16一一192^67--13

六（13分）求函数尸—口又•的单调区间与极值'曲线的凹凸区间与拐点、渐近线'并作

出函数的图形，并将讨论的结果填入表内。

单调区间单增区间单减区间

极值

凹凸区间凹区间凸区间

拐点

渐近线

解：⑴定义域（-双-1）11（-1,+8），X=-l为间断点

（2）单调性、极值、凹向、拐点

y'=—-,yr=---令旷=0,得x=0,x=-3,yW）,得x=0,x=T时，y，与y，不存在.

（x+l）3（x+l）412

列表

Xy,-3)-3(-3,-1)(-1,0)0(0,+00)

y+0一间断点++

V一—间断点-0+

27

腆极大值（一二）间断点拐点（0,0）

yn4JnrnTU

(3)渐进线：/W=lim*=l,lim(#-x)=-2,所以y=x-2为

lim一

x-yxiXfMx+1)2…(x+l)2

斜渐进线，lim_r__=-8,所以x=l为垂直渐进线

x+l（X+l）2

（4）图形略

五、证明题（共12分）得分

1.（6分）证明不等式：当0<%<二时，sinx>£xo

2n

证明：只需证?上>3。

X71

sinx2冗冗

令/«=-----,则/（x）在（0,_］内连续，且/（_）=0,又

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xn22

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f\x)='COS"-sin”,再令g(x)=xcosx-sin.E,则g(»在［0「］上连续，

x22

7C

且g(0)=0；又g'(x)=cosx-xsinx-cosx=TSinx<0。所以在［0,—］内

2

g(x)为单调减函数，故当x>。时g(x)<g(0)=0,即xoosx-sin工<0。于是

当0cxe;时，/'(幻<