河南驻马店市经济开发区2023-2024学年高二下学期5月月考试题数学

20232024学年高二下学期第三次月考数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡并交回。4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一、二、三册。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（）A．48 B．36 C．24 D．82．在等比数列中，，，则（）A． B． C．1 D．43．函数的图象在点处的切线方程为（）A． B．C． D．4．已知由样本数据组成的一个样本，变量x，y具有线性相关关系，其经验回归方程为，并计算出变量x，y之间的相关系数为，，，则经验回归直线经过（）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限5．已知直线与圆相交于A，B两点，则|的最小值为（）A． B． C． D．6．已知，，则（）A． B． C． D．7．已知函数，则“有极值”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知抛物线的焦点为F，过点作C的两条切线，切点为A，B，且Q为C上一动点，若的最小值为5，则△PAB的面积为（）A．75 B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在的展开式中，各奇数项的二项式系数之和为32，则（）A．常数项为 B．C．项的系数为40 D．项的系数为16010．若数列满足对任意的正整数n，都有，则称为“凸数列”．下列结论正确的是（）A．若分，则数列为“凸数列”B．若，则数列为“凸数列”C．若单调递减数列的前n项和为，则数列为“凸数列”D．若数列的前n项和为，数列为“凸数列”，则为单调递减数列11．已知，，，且a，b，c成等差数列，随机变量X的分布列为X123Pabc下列选项正确的是（）A． B．C． D．的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知随机变量，且，则______．13．用4种不同颜色的颜料给图中五个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有______种．14．已知函数在R上连续且存在导函数，对任意的实数x满足，当时，．若，则a的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知数列的前n项和．（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前n项和．16．（15分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，BAD为锐角，△PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD，，且四棱锥PABCD的体积为2．（1）证明：AD⊥PB．（2）若E是PC的中点，求平面ABE与平面PAD夹角的余弦值．17．（15分）某考试分为笔试和面试两个部分，每个部分的成绩分为A，B，C三个等级，其中A等级得3分、B等级得2分、C等级得1分甲在笔试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为，，，在面试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为，，，甲笔试的结果和面试的结果相互独立．（1）求甲在笔试和面试中恰有一次获得A等级的概率；（2）求甲笔试和面试的得分之和X的分布列与期望．18．（17分）已知双曲线的离心率为，半焦距为，A为C的左顶点，直线．（1）求C的方程．（2）若l过定点，且交C于E，F两点（异于点A），证明：直线AE与AF的斜率之积为定值．（3）若l与C有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别与x轴y轴相交于，两点，当点M运动时，求点的轨迹方程．19．（17分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：．20232024学年高二下学期第三次月考数学试卷参考答案1．A．2．B设的公比为q，则，所以．由，得，所以．3．C因为，所以，则，，故函数的图象在点处的切线方程为．4．B由相关系数为，知x，y负相关，所以．又，，即点在经验回归直线上，且在第三象限，所以经验回归直线经过第二、三、四象限．5．A将l的方程转化为，令解得，即l过定点．当OM⊥l时，取得最小值．6．B因为，，所以，故．7．C，若有极值，则，解得，所以“有极值”是“”的充要条件．8．D当F，Q，P三点共线时，取得最小值，且，所以，解得，所以．由，得．设，，则曲线在处的切线方程为，即．因为切线过点，所以．同理可得，所以直线AB的方程为，即．联立方程组得，则．因为直线AB过焦点F，所以，点P到直线的距离，所以．9．BD因为展开式中各奇数项的二项式系数之和为32，所以，解得，常数项为，项的系数为．10．BC若，则，故A错误．若，则，故B正确．若数列为单调递减数列，则，所以，即，故C正确．若数列的前n项和为，数列为“凸数列”，则，即，所以，则从第二项起，为单调递减数列，故D错误．11．BCD由得A错误，B正确．由，得，则，C正确．，当时，取得最大值，且最大值为，D正确．12．0.5因为，所以，则．13．721，2，3三个区域有种涂法，当1和5区域同色时，有种涂法，当1和5区域不同色时，有种涂法．综上，共有72种涂法．14．由，可得．令，则，，所以的图象关于直线对称．当时，，所以，又在R上连续，所以在上单调递增．由，可得，即，所以，解得．15．解：（1）当时，．当时，．因为，所以．（2）由（1）可得，则．16．（1）证明：取AD的中点O，连接OB，OP，BD．因为△PAD是正三角形，所以．又平面底面ABCD，且平面底面，所以底面ABCD．因为，所以，，解得，又∠BAD为锐角，所以，则△ABD为正三角形，从而OB⊥AD．因为，所以AD⊥平面PBO．又平面PBO，所以AD⊥PB．（2）解：以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，．设平面ABE的法向量为，由得令，得．由图可知，平面PAD的一个法向量为．故平面ABE与平面PAD夹角的余弦值为．17．解：（1）甲在笔试和面试中恰有一次获得A等级的概率为．（2）由题意得X的可能取值为2，3，4，5，6，，，，，，则X的分布列为X23456P所以．18．（1）解：因为半焦距为，所以．因为离心率为，所以．由，得，则C的方程为．（2）证明：因为l过定点，所以，联立方程组消去x得，由，，得，且．设，，则，，直线AE的斜率，直线AF的斜率，所以，即直线AE与AF的斜率之积为定值．（3）解：因为与C有唯一的公共点M，所以l与C相切．当时，过M且与l垂直的直线与x轴重合，不符合题意，所以．联立方程组消去x得．由，得，且．记切点，则，，代入l得，即．过点M且与l垂直的直线方程为．令，得，令，得，所以因为，，所以．因为，所以，代入，化简得．因为，所以，故点的轨迹方程为．19．（1）解：因为，所以．若，则恒成立，当时，，当时，．若，令，解得．若，即，则恒成立，当时，，当时，；若，即，则当时，，当时，；若，即，则在上恒成立；若，即，则当时，，当时，．综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，