专题15直角三角形（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.5直角三角形（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】直角三角形的性质定理与判定定理直角三角形角的性质定理直角三角形的两个锐角互余.几何语言：在△ABC中，∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°直角三角形角的判定定理有两个角互余的三角形是直角三角形几何语言：在△ABC中，∵∠A+∠B=90°∴∠C=90°，即△ABC为直角三角形特别解读直角三角形角的性质定理和判定定理的理论依据是三角形内角和定理.在直角三角形中，若已知两个锐角之间的关系，可结合两个锐角互余求出每个锐角的大小，不需要再利用三角形内角和定理求解.【知识点二】勾股定理1.勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.数学表达式：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，则a²+b²=c²2.勾股定理的变形公式a²=c²b²；b²=c²a²3.基本思想方法勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范.特别提醒勾股定理揭示的是直角三角形的三边的平方关系，只有在直角三角形中才可以使用勾股定理利用勾股定理，已知其中任意两边可以求出第三边.【知识点三】勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.利用边的关系判定直角三角形的步骤“找”：找出三角形三边中的最长边.“算”：计算其他两边的平方和最长边的平方.“判”：若两者相等,则这个三角形是直角三角形；否则不是.勾股定理与其逆定理的关系定理勾股定理勾股定理的逆定理区别勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形三边长的关系，即a²+b²=c²（c为斜边长）勾股定理是根据直角三角形探求边的关系，体现了由形到数的转化勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²”为条件，进而得到这个三角形为直角三角形；勾股定理的逆定理是由三角形的三边关系探求三角形的形状，体现了由数到形的转化联系勾股定理和勾股定理的逆定理的条件和结论相反，勾股定理是是直角三角形的性质，而其逆定理是直角三角形的判定，勾股定理及其逆定理都与直角三角形有关.特别解读a²+b²=c²只是一种表现形式，满足a²=b²+c²或b²=a²+c²的也是直角三角形，只是这时a或b为斜边.若最长边的平方与两短边的平方和大，则该三角形为钝角三角形；若最长边的平方比两短边的平方和小，则该三角形为锐角三角形.【知识点四】“斜边、直角边”（“HL”）定理定理斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）书写格式在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，AB=A’B’BC=B’C’∴Rt△ABC≌Rt△A’B’C’（HL）判定两个直角三角形全等常用的思路方法直角三角形一锐角（A）ASA或AAS可证直角与已知锐角的夹边对应相等或证已知锐角（或直角）的对应边对应相等斜边（H）HL或AAS可证一条直角边对应相等或证一锐角对应相等一直角边（L）HL或ASA或AAS或SAS可证斜边对应相等或证与已知边相邻的锐角对应相等或已知边所对的锐角对应相等或证一直角边对应相等.特别提醒应用“HL”判定两个直角三角形全等，在书写时两个三角形符号前一定要加上“Rt”判定两个直角三角形全等的特殊方法“HL”只适用于直角三角形全等的判定，对于一般三角形不适用.判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等同样适用.【考点目录】【考点1】直角三角形两锐角互余➼求值或证明【考点2】利用两锐角互余判断直角三角形➼求值或证明【考点3】用HL证明三角形全等及应用➼求值或证明【考点4】判断三角形为直角三角形➼求值或证明【考点5】勾股定理的逆定理的应用➼求值或证明【考点6】勾股定理的逆定理的拓展➼求值或证明【考点1】直角三角形两锐角互余➼求值或证明【例1】（2023上·四川泸州·八年级校考阶段练习）已知：如图，在、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接．（1）求证：；（2）试猜想、有何特殊位置关系，并证明．【答案】（1）见详解；（2），证明见详解【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的两锐角互余等知识．（1）先证明，再根据“边角边”即可证明；（2）根据得到，根据得到，即可证明，问题得证．解：（1）证明：∵，∴，即．在和中，，∴；（2）解：．证明：∵，∴．∵，∴，∴，即，∴．【变式1】（2023上·河北廊坊·八年级校考阶段练习）将如图，所示的一块直角三角板放置在上，使三角板的两条直角边、分别经过点B、C，若，则等于（

）A．30° B．40° C．50° D．55°【答案】A【分析】此题考查了三角形内角和定理要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和等于．根据，由三角形的内角和定理得到，根据三角形的内角和得到，即可得到结论．解：在中，，，，在中，，又，，，，，故选：A．【变式2】（2023上·河北石家庄·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，过上一点D作交的延长线于点P，交于点Q．若，则，．【答案】22【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握等边三角形的判定与性质，以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．根据已知易得是等边三角形，从而利用等边三角形的性质可得，，再利用垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而可得，最后利用对顶角相等可得，从而可得，进而利用等角对等边即可解答．解：∵，，∴是等边三角形，∴，，∵，，，，，，，，，故答案为：2，2．【考点2】利用两锐角互余判断直角三角形➼求值或证明【例2】（2023上·甘肃兰州·八年级兰州市第五十六中学校考阶段练习）如图，在中，F为延长线上一点，点E在上，且．（1）若，求度数；（2）求证：；（3）试判断与的位置关系．【答案】（1）；（2）见详解；（3）【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，解题的关键是明确题意，找出所要证明结论需要的条件．（1）根据在中，，F为延长线上一点，点E在上，且，可以得到和全等，根据全等三角形的性质，进行求解即可；（2）根据，可以得到，然后即可转化为的关系，从而可以证明所要证明的结论；（3）根据，，，结合，即可作答．（1）解：∵，∴，在和中，，∴；∵，∴，∴，∴，∴，即．（2）证明：∵，∴，∵，∴．（3）解：，过程如下：延长交于一点H，如图∵，∴，由（1）知，∴，∴.【变式1】（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分别进行变形结合，进行逐一求解，即可判断．解：A.，，，，解得：，，，不是直角三角形，故符合题意；B.，，，，解得：，是直角三角形，故不符合题意；C.，设，，，，，解得：，，是直角三角形，故不符合题意；D.，，，，，解得：，，，是直角三角形，故不符合题意；故选：A．【点拨】本题考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理，掌握定理是解题的关键．【变式2】（2023上·河北石家庄·八年级校考期末）如图，为修通铁路需凿通隧道，测得，，，，若每天开凿隧道，则需要天才能把隧道凿通．

【答案】12【分析】先根据三角形的内角和定理判断是直角三角形，再根据勾股定理求得的长，从而可以求得结果.解：∵，，∴，∴是直角三角形，∵，，∴，∵天，∴12天才能将隧道凿通．故答案为：12．【点拨】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是对文字的理解，是学生在学习过程中需要具备的基本能力，因而此类问题在中考中极为常见，在各种题型中均有出现，需多加关注．【考点3】用HL证明三角形全等及应用➼求值或证明【例3】（2023上·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）如图，在和中，，，，延长，交于点．（1）求证：点在的平分线上；（2）若，，，求的长．【答案】（1）见分析；（2）5【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，勾股定理；（1）连接，证明，可得，根据角平分线的判定即可解决问题；（2）证明，设，所以，根据勾股定理即可解决问题．解：（1）证明：如图，连接，

在和中，∵，，，，，，，平分，点在的平分线上；（2）解：，，，，设，，在中，，，．．【变式1】（2023上·河南商丘·八年级校考期中）如图，在中，是边上的高，，，点E在上，交于点F，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，证明，由全等三角形的性质得出，由三角形外角的性质可得出答案．解：∵是边上的高，，，在和中，，∴，，，故选：D．【变式2】（2023上·河南周口·八年级校考阶段练习）如图，，，点A，D在直线上，点B，C在直线上，点E在上，，，，则．【答案】【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质；求出，证明，可得，，然后根据可得答案．解：∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，故答案为：．【考点4】判断三角形为直角三角形➼求值或证明【例4】（2023上·新疆喀什·九年级校联考期中）如图，已知等腰的底边是腰上一点，且（1）求证：是直角三角形；（2）求的周长【答案】（1）见分析；（2）【分析】此题考查等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用，关键是勾股定理的逆定理解答．（1）由，知道，所以为直角三角形，（2）由（1）可求出的长，周长即可求出．解：（1）证明：∵，，∴为直角三角形；（2）解：设，∵是等腰三角形，∵，∴即解得：，∴的周长【变式1】（2023上·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，图中小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，则是（

）

A．直角三角形B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断【答案】A【分析】先根据勾股定理求出各边的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状即可．解：由图形可知：；；，∴，∴是直角三角形．故选：A．【点拨】本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．【变式2】（2020上·浙江·八年级期末）如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为．【答案】7或17【分析】分当E在线段AD上时，当E在线段BD上时分别求解即可．解：当E在线段AD上时，连接CE，作A关于CE的对称点F，连接AF，EF，CF，∵∠AEF=90°，∴∠AEC=∠FEC==135°，∴∠CED=45°，∴CD=ED=5，∴AE=ADED=125=7；当E在线段BD上时，连接CE，作A关于CE的对称点F，连接EF，CF，AF，∵∠AEF=90°，∴∠CEF=∠CEA=45°，∴ED=CD=5，∴AE=AD+DE=17，故答案为：7或17．【点拨】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，解本题的关键是注意运用数形结合的思想解决问题．【考点5】勾股定理的逆定理的应用➼求值或证明【例5】（2023上·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，且点与直线上两点的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响．

（1）着火点受洒水影响吗？为什么？（2）若飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要，请你通过计算判断着火点能否被扑灭？【答案】（1）着火点C受洒水影响，理由见分析；（2）着火点C能被扑灭【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，根据题意作出图形是解题的关键．（1）过点作，垂足为，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与500进行比较即可求得答案；（2）以点为圆心，为半径作圆，交于点，勾股定理求得，进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题．（1）解：着火点C受洒水影响，理由如下，如图，过点作，垂足为，

，，，，是直角三角形，，，，着火点C受洒水影响；（2）解：如图，以点为圆心，为半径作圆，交于点

则，，，在中，，，，，着火点C能被扑灭．【变式1】（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）如果a，b，c是三角形的三边并且满足：，则三角形的面积是（

）A．24 B．48 C．12 D．6【答案】D【分析】可得，求出a，b，c的值，用勾股定理的逆定理进行判断三角形的形状，即可求解解：由题意得，解得：，，，三角形是以a，b为直角边的直角三角形，；故选：D．【点拨】本题考查了平方的非负性，勾股定理的逆定理，理解非负性，掌握逆定理是解题的关键．【变式2】（2023上·河北保定·八年级校联考阶段练习）如图，某小区有一块四边形空地ABCD，为了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪，其中，，，，．

（1）连接AC，则m．（2）这块草坪的面积为．【答案】536【分析】（1）利用勾股定理解即可求解；（2）利用勾股定理的逆定理可得为直角三角形，即可求解．解：（1）如图：

∵，，∴故答案为：5（2）∵，，∴故为直角三角形∴这块草坪的面积为：故答案为：36【点拨】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．熟记定理内容是解题关键．【考点6】勾股定理的逆定理的拓展➼求值或证明【例6】（2021上·江西吉安·八年级统考期末）先观察下列各组数，然后回答问题：第一组：，，；第二组：，，；第三组：，，；第四组：，，；（1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数；（2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由；（3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长．【答案】（1），，；（2）直角三角形，见分析；（3）【分析】（1）根据已知数据即可得到结果；（2）根据勾股定理判断即可；（3）根据题意可得出，，，在根据勾股定理计算即可；解：（1）∵第一组：，，；第二组：，，；第三组：，，；第四组：，，；，∴第组：，，．（2）直角三角