高考物理培优一轮计划全国创新版讲义第4章　曲线运动第17课时水平面内的圆周运动及其临界问题

第17课时水平面内的圆周运动及其临界问题考点1圆锥类运动及其临界问题1．关于水平面内的匀速圆周运动的临界问题，主要是临界速度和临界力的问题，常见的是与绳的拉力、弹簧的弹力、接触面的弹力和摩擦力等相关的问题，通过受力分析来确定临界状态和临界条件是常用的解题方法。2．(1)运动轨迹是在水平面内圆。(2)物体所受合外力提供向心力。(3)向心力可以是一个力或几个力的合力，也可以是某个力的分力。3．实例：圆锥摆、汽车和火车拐弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行、锥斗、锥面等，临界条件是恰好满足或不满足某条件。[例1]如图所示，用一根长为l＝1m的细线，一端系一质量为m＝1kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8,g取10m/s2，结果可用根式表示)。求：(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？解析(1)若要小球刚好离开锥面，则小球受到重力和细线拉力，如图所示。小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得mgtanθ＝mωeq\o\al(2,0)lsinθ解得ωeq\o\al(2,0)＝eq\f(g,lcosθ)即ω0＝eq\r(\f(g,lcosθ))＝eq\f(5\r(2),2)rad/s。(2)同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式得mgtanα＝mω′2lsinα解得ω′2＝eq\f(g,lcosα)即ω′＝eq\r(\f(g,lcosα))＝2eq\r(5)rad/s。答案(1)eq\f(5\r(2),2)rad/s(2)2eq\r(5)rad/s(1)圆锥类圆周运动问题的物体，有些在锥面内，有些在锥面外，有些属于锥面问题，如：汽车道路在拐弯时为什么修的是内低外高，火车拐弯处的构造等。(2)先对运动轨迹和状态分析确定圆心和半径及有关物理量，再对物体进行受力分析。分析出提供向心力是什么力、列式求解。(3)当转速变化时，往往会出现绳子拉紧，绳子突然断裂，上下移动的接触面会出现摩擦力达到极值，弹簧的弹力大小或方向发生变化等。铁路转弯处的弯道半径r是根据地形确定的，弯道处要求外轨比内轨高，内外轨的高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率有关。下表是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的内外轨的高度差h的部分数据关系：(g取10m/s2)弯道半径r/m660330220165132110内外轨的高度差h/mm50100150200250300(1)根据表中数据，推导出h和r关系的表达式，并求出r＝550m时h的值；(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨均不向车轮施加侧向压力。已知我国铁路内外轨的间距设计值L＝1435mm，结合表中的数据，算出我国火车的转弯速率v(以km/h为单位，结果取整数。当θ很小时tanθ≈sinθ)；(3)为了提高运输能力，国家不断对火车进行提速，这就要求火车转弯速率也提高。请根据上述计算原理和表格中的数据分析提速时应采取怎样的有效措施。答案(1)60mm(2)55km/h(3)见解析解析(1)由题表中数据可知，每组的h与r之积为常数，即hr＝660×50×10－3m2所以当r＝550m时h＝60mm。(2)当内外轨对车轮都没有侧向压力时，对火车的受力分析如图所示。则F＝mgtanθ＝meq\f(v2,r)因为θ很小，tanθ≈sinθ＝eq\f(h,L)所以v＝eq\r(\f(ghr,L))＝eq\r(\f(10×33,1435×10－3))m/s≈15.2m/s≈55km/h。(3)由前面的计算可知，可采取的有效措施有：①适当增大内外轨的高度差h；②适当增大铁路弯道的轨道半径r。

考点2水平转盘上物体的运动及其临界问题1．在水平面上物体做圆周运动提供向心力的力可能是摩擦力、绳子的拉力、弹簧的弹力、杆的拉力(支持力)等，根据题意找出条件去判定。2．临界极值分析物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有Fm＝eq\f(mv2,r)，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，具体问题再具体分析。[例2](2014·全国卷Ⅰ)(多选)如图，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是(A．b一定比a先开始滑动B．a、b所受的摩擦力始终相等C．ω＝eq\r(\f(kg,2l))是b开始滑动的临界角速度D．当ω＝eq\r(\f(2kg,3l))时，a所受摩擦力的大小为kmg解析因圆盘从静止开始绕转轴缓慢加速转动，在某一时刻可认为，小木块随圆盘转动时，其受到的静摩擦力的方向指向转轴，充当向心力，两木块转动过程中角速度相等，则根据牛顿第二定律可得f＝mω2R，由于小木块b的轨道半径大于小木块a的轨道半径，故小木块b做圆周运动需要的向心力较大，先达到最大静摩擦而滑动，B错误，A正确；当b开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmg＝mωeq\o\al(2,b)·2l，可得ωb＝eq\r(\f(kg,2l))，C正确；当a开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmg＝mωeq\o\al(2,a)l，可得ωa＝eq\r(\f(kg,l))，而转盘的角速度eq\r(\f(2kg,3l))<eq\r(\f(kg,l))，小木块a未发生滑动，其所需的向心力由静摩擦力来提供，由牛顿第二定律可得f＝mω2l＝eq\f(2,3)kmg，D错误。答案AC(1)关键分析物体的受力情况，找出向心力的来源，以及运动状态改变时力的变化，确定临界点、临界条件。如题中，物体静摩擦力提供向心力、随角速度增大，静摩擦力增大，达到最大静摩擦力时，物体开始滑动，这就是临界点和临界条件。(2)特别注意有弹簧和绳子时应先满足摩擦力的情况下去分析变化。(多选)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转动到两个物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，两个物体的运动情况是()A．物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动B．物体A发生滑动，离圆盘圆心越来越远C．两物体仍随圆盘一起做圆周运动，不发生滑动D．两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远答案AB解析当圆盘转速加快到两物体刚要发生滑动时，A物体靠细线的拉力与圆盘的最大静摩擦力的合力提供向心力做匀速圆周运动，所以烧断细线后，A所受最大静摩擦力不足以提供其做圆周运动所需要的向心力，A要发生相对滑动，离圆盘圆心越来越远，但是B所需要的向心力小于B的最大静摩擦力，所以B仍保持相对圆盘静止状态，故C、D错误，A、B正确。1.山城重庆的轻轨交通颇有山城特色，由于地域限制，弯道半径很小，在某些弯道上行驶时列车的车身严重倾斜。每到这样的弯道乘客都有一种坐过山车的感觉，很是惊险刺激。假设某弯道铁轨是圆弧的一部分，转弯半径为R，重力加速度为g，列车转弯过程中倾角(车厢地面与水平面夹角)为θ，则列车在这样的轨道上转弯行驶的安全速度(轨道不受侧向挤压)为()A.eq\r(gRsinθ) B.eq\r(gRcosθ)C.eq\r(gRtanθ) D.eq\r(gRcotθ)答案C解析由题意画出受力分析图，可知合外力提供向心力，指向水平方向：mgtanθ＝meq\f(v2,R)，解得v＝eq\r(gRtanθ)，故C正确。2.(2017·郑州质检)如图所示，两个用相同材料制成的靠摩擦转动的轮A和B水平放置，两轮半径RA＝2RB。当主动轮A匀速转动时，在A轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A轮边缘上。若将小木块放在B轮上，欲使木块相对B轮也静止，则木块距B轮转动轴的最大距离为()A.eq\f(RB,4)B.eq\f(RB,3)C.eq\f(RB,2)D．RB答案C解析由题图可知，当主动轮A匀速转动时，A、B两轮边缘上的线速度相同，由ω＝eq\f(v,R)，得eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(\f(v,RA),\f(v,RB))＝eq\f(RB,RA)＝eq\f(1,2)。由于小木块恰能在A轮边缘静止，则由静摩擦力提供的向心力达最大值μmg，故μmg＝mωeq\o\al(2,A)RA'①，设放在B轮上能使木块相对静止的距B轮转动轴的最大距离为r，则向心力由最大静摩擦力提供，故μmg＝mωeq\o\al(2,B)r'②，因A、B材料相同，故木块与A、B间的动摩擦因数相同，①、②式左边相等，故mωeq\o\al(2,A)RA＝mωeq\o\al(2,B)r，得r＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ωA,ωB)))2RA＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2RA＝eq\f(RA,4)＝eq\f(RB,2)，C正确。3.(2017·莆田联考)如图所示，在半径为R的半圆形碗的光滑表面上，一质量为m的小球以转速n(r/s)在水平面内做匀速圆周运动，该平面离碗底的距离h为()A．R－eq\f(g,4π2n2) B.eq\f(g,4π2n2)C.eq\f(g,4πn2)－R D.eq\f(g,4π2n2)＋eq\f(R,2)答案A解析由题意知，小球做圆周运动的角速度ω＝2πn，小球做圆周运动需要的向心力为F＝m·4π2n2r，向心力由重力与弹力的合力提供，即mgtanθ＝m·4π2n2r，如图所示，根据几何关系：sinθ＝eq\f(r,R)，联立解得：cosθ＝eq\f(g,4π2n2R)，可得：h＝R－Rcosθ＝R－eq\f(g,4π2n2)，所以A正确，B、C、D错误。4.(多选)如图所示，在水平转台上放一个质量M＝2.0kg的木块，它与台面间的最大静摩擦力fm＝6.0N，绳的一端系住木块，另一端穿过转台的光滑中心孔O悬吊一质量m＝1.0kg的小球，当转台以ω＝5.0rad/s的角速度匀速转动时，欲使木块相对转台静止，则木块到O孔的距离可能是(重力加速度g＝10m/s2，木块、小球均视为质点)()A．6cmB．15cmC．30cmD．34cm答案BC解析转台以一定的角速度ω匀速转动，木块所需的向心力与做圆周运动的半径r成正比，在离O点最近处r＝r1时，木块有靠近O点的运动趋势，这时摩擦力沿半径向外，刚好达到最大静摩擦力fm，即mg－fm＝Mω2r1，得r1＝eq\f(mg－fm,Mω2)＝8cm，同理，木块在离O点最远处r＝r2时，有远离O点的运动趋势，这时摩擦力的方向指向O点，且达到最大静摩擦力fm，即mg＋fm＝Mω2r2，得r2＝eq\f(mg＋fm,Mω2)＝32cm，则木块能够相对转台静止，半径应满足关系式r1≤r≤r2。B、C正确。5.(2017·开封质检)(多选)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA＝r，RB＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法正确的是()A．此时绳子张力为T＝3μmgB．此时圆盘的角速度为ω＝eq\r(\f(2μg,r))C．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆外D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动答案ABC解析A和B随着圆盘转动时，合外力提供向心力，则F＝mω2r，B的运动半径比A的半径大，所以B所需向心力大，绳子拉力相等，所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B的静摩擦力方向沿半径指向圆心，A的最大静摩擦力方向沿半径指向圆外，根据牛顿第二定律得：对A有T－μmg＝mω2r，对B有T＋μmg＝mω2·2r，解得：T＝3μmg，ω＝eq\r(\f(2μg,r))，故A、B、C正确；此时烧断绳子，A的最大静摩擦力不足以提供向心力，则A做离心运动，故D错误。6.(2017·宁波联考)如图所示，放于竖直面内的光滑金属细圆环半径为R，质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为R的细绳一端系于球上，另一端系于圆环最低点，绳的最大拉力为2mg。当圆环以角速度ω绕竖直直径转动时，发现小球受三个力作用，则ω可能为()A．3eq\r(\f(g,R))B.eq\f(3,2)eq\r(\f(g,R))C.eq\r(\f(3g,2R))D.eq\r(\f(g,2R))答案B解析因为圆环光滑，所以这三个力肯定是重力、环对球的弹力、绳子的拉力。细绳要产生拉力，绳要处于拉伸状态，根据几何关系可知，此时细绳与竖直方向的夹角为60°。如图所示，当圆环旋转时，小球绕竖直轴做圆周运动，向心力由三个力在水平方向的合力提供，其大小为F＝mω2r，根据几何关系，其中r＝Rsin60°一定，所以当角速度越大时，所需要的向心力越大，绳子拉力越大，所以对应的临界条件是小球在此位置刚好不受拉力，此时角速度最小，需要的向心力最小，对小球进行受力分析得Fmin＝mgtan60°，即mgtan60°＝mωeq\o\al(2,min)Rsin60°解得ωmin＝eq\r(\f(2g,R))；当绳子的拉力达到最大时，角速度达到最大，同理可知，最大角速度为ωmax＝eq\r(\f(6g,R))，故只有B正确。7.如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O、A两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m的小球上，OA＝OB＝AB。现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB始终在竖直平面内，若转动过程OB、AB两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是()A．OB绳的拉力范围为0～eq\f(\r(3),3)mgB．OB绳的拉力范围为eq\f(\r(3),3)mg～eq\f(2\r(3),3)mgC．AB绳的拉力范围为eq\f(\r(3),3)mg～eq\f(2\r(3),3)mgD．AB绳的拉力范围为0～eq\f(2\r(3),3)mg答案B解析当转动的角速度为零时，OB绳的拉力最小，AB绳的拉力最大，这时两者的值相同，设为F1，则2F1cos30°＝mg，F1＝eq\f(\r(3),3)mg，增大转动的角速度，当AB绳的拉力刚好等于零时，OB绳的拉力最大，设这时OB绳的拉力为F2，则F2cos30°＝mg，F2＝eq\f(2\r(3),3)mg，因此OB绳的拉力范围为eq\f(\r(3),3)mg～eq\f(2\r(3),3)mg，AB绳的拉力范围为0～eq\f(\r(3),3)mg，B正确。8.(2017·晋江月考)如图所示，AB为竖直转轴，细绳AC和BC的结点C系一质量为m的小球，两绳能承受的最大拉力均为2mg。当细绳AC和BC均拉直时∠ABC＝90°，∠ACB＝53°，BC＝1m。细绳AC和BC能绕竖直轴AB匀速转动，因而小球在水平面内做匀速圆周运动。当小球的线速度增大时，两绳均会被拉断，则最先被拉断的那根绳及另一根绳被拉断时的速度分别为(重力加速度g＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6)()A．AC5m/s B．BC5m/sC．AC5.24m/s D．BC5.24m/s答案B解析当小球线速度增至BC被拉直后，由牛顿第二定律可得，竖直方向上：TAsin∠ACB＝mg①，水平方向上：TAcos∠ACB＋TB＝meq\f(v2,r)②，由①式可得：TA＝eq\f(5,4)mg，小球线速度增大时，TA不变，TB增大，当BC绳刚要被拉断时，TB＝2mg，由②可解得此时，v≈5.24m/s；BC绳断后，随小球线速度增大，AC线与竖直方向间夹角增大，设AC线被拉断时与竖直方向的夹角为α，由TAC·cosα＝mg，TACsinα＝meq\f(v′2,r′)，r′＝LAC·sinα，可解得，α＝60°，LAC＝eq\f(5,3)m，v′＝5m/s，故B正确。9.(江苏高考)如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是()A．A的速度比B的大B．A与B的向心加速度大小相等C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小答案D解析A、B两个座椅都绕中心轴做匀速圆周运动，角速度相等，由于B的半径大，由v＝ωr可知，B的线速度大，A项错误；由a＝rω2可知，B的向心加速度大，B项错误；由F＝mω2r可知，B受到的向心力大，而向心力是由缆绳拉力的水平分力提供的，设缆绳与竖直方向的夹角为θ，即Tsinθ＝mω2r，而竖直方向Tcosθ＝mg，因此，tanθ＝eq\f(ω2r,g)，因此悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角不等，C项错误；B的半径大所以对应的θ大，由Tcosθ＝mg可知，对应的拉力就大，D项正确。10．(2016·浙江高考)(多选)如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R＝90m的大圆弧和r＝40m的小圆弧，直道与弯道相切。大、小圆弧圆心O、O′距离L＝100m。赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍。假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动。要使赛车不打滑且绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g＝10m/s2，π＝3.14)，则赛车()A．在绕过小圆弧弯道后加速B．在大圆弧弯道上的速率为45m/sC．在直道上的加速度大小为5.63m/s2D．通过小圆弧弯道的时间为5.58s答案AB解析赛车做圆周运动时，由F＝eq\f(mv2,R)知，在小圆弧上的速度小，故赛车绕过小圆弧后加速，A正确；在大圆弧弯道上时，根据F＝meq\f(v2,R)知，其速率v＝eq\r(\f(FR,m))＝eq\r(\f(2.25mgR,m))＝45m/s，B正确；同理可得在小圆弧弯道上的速率v′＝30m/s。如图所示，由边角关系可得α＝60°，直道的长度x＝Lsin60°＝50eq\r(3)m，据v2－v′2＝2ax知在直道上的加速度a≈6.50m/s2，C错误；小弯道对应的圆心角为120°，弧长为s＝eq\f(2πr,3)，对应的运动时间t＝eq\f(s,v′)≈2.79s，D错误。11.(2017·湖南怀化一模)(多选)如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是()A．A、B都有沿切线方向且向后滑动的趋势B．B运动所需的向心力等于A运动所需的向心力C．盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍D．若B相对圆盘先滑动，则A、B间的动摩擦因数μA小于盘与B间的动摩擦因数μB答案BC解析把A、B当成一个整体，在水平方向上只受摩擦力作用，所以，摩擦力即物块所受合外力，其作为向心力保证物块做匀速圆周运动，所以，摩擦力方向指向圆心，物块有沿径向向外滑动的趋势，故A错误；物块做匀速圆周运动，向心力F＝meq\f(v2,R)，A、B质量相同，一起做匀速圆周运动的速度、半径也相等，所以，两者运动所需的向心力相等，故B正确；由受力分析可知B对A的摩擦力等于F，盘对B的摩擦力等于2F，故C正确；若B相对圆盘先滑动，则2μBmg－μAmg<μAmg，即μB<μA，故D错误。12．(2017·四川资阳一诊)(多选)如图所示，水平转台上有一个质量为m的物块，用长为l的轻质细绳将物块连接在转轴上，细绳与竖直转轴的夹角θ＝30°，此时细绳伸直但无张力，物块与转台间动摩擦因数为μ＝eq\f(1,3)，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块随转台由静止开始缓慢加速转动，角速度为ω，重力加速度为g，则()A．当ω＝eq\r(\f(g,2l))时，细绳的拉力为0B．当ω＝eq\r(\f(3g,4l))时，物块与转台间的摩擦力为0C．当ω＝eq\r(\f(4g,3l))时，细绳的拉力大小为eq\f(4,3)mgD．当ω＝eq\r(\f(g,l))时，细绳的拉力大小为eq\f(1,3)mg答案AC解析当转台的角速度比较小时，物块只受重力、支持力和摩擦力，当细绳恰好要产生拉力时μmg＝mωeq\o\al(2,1)lsin30°，解得ω1＝eq\r(\f(2g,3l))，随角速度的增大，细绳上的拉力增大，当物块恰好要离开转台时，物块受到重力和细绳的拉力的作用，mgtan30°＝mωeq\o\al(2,2)lsin30°，解得ω2＝eq\r(\f(2\r(3)g,3l))，由于ω1<eq\r(\f(3g,4l))<ω2，所以当ω＝eq\r(\f(3g,4l))时，物块与转台间的摩擦力不为零，故B错误；由于eq\r(\f(g,2l))<ω1，所以当ω＝eq\r(\f(g,2l))时，细绳的拉力为零，故A正确；由于ω1<eq\r(\f(g,l))<ω2，由牛顿第二定律得f＋Fsin30°＝meq\b\lc\(\rc\)(