大学物理课件：气体动理论

气体动理论7.1气体系统热运动的微观特征7.2理想气体的压强7.3温度的微观解释7.4能量均分原理7.5麦克斯韦速率分布定律7.6玻耳兹曼分布律7.7气体分子的平均自由程7.1气体系统热运动的微观特征气体(理想气体)一、研究对象二、研究方法

从物质的微观模型出发，应用力学规律和统计方法研究大量粒子热运动规律的微观理论,揭示粒子的微观运动与宏观热现象之间的深刻联系。揭示宏观热现象的微观本质。分子运动的基本观点:1.宏观物体由大量粒子(分子、原子等)组成。2.分子在永不停息地作无序热运动。(布朗运动)不同结构的分子其尺度不一样。例如标准状态氧分子直径阿伏伽德罗常数1mol物质含有的分子个数。

分子有单原子分子、双原子分子、多原子分子和千万个原子构成的高分子。3.分子间存在相互作用力。分子力与分子间距离的关系f(r)r0~10-9mr/mo合力引力斥力当时,

当r<r0

时,分子力主要表现为斥力；当r>r0

时,分子力主要表现为引力。r0—平衡位置

一切宏观物体都是由大量分子组成的，分子都在永不停息地作无序热运动，分子之间有相互作用的分子力。三、气体分子运动的规律2.气体分子间的相互碰撞是非常频繁的。大量分子都在不停地作无规热运动,在常温常压情况下,一个气体分子在1s的时间里大约经历10亿次碰撞,每个分子的运动状态都有一定的偶然性。1.气体中分子间的距离相对较大，分子之间、分子与器壁之间产生瞬间碰撞，分子在两次碰撞之间的运动可以看作是在惯性支配下的自由运动。分子运动是无序的。

通过对大量分子运动状态的观察，发现有一定的规律性。例如，在平衡态时，容器内各处的温度、密度和压强都是均匀分布。这表明，在大量的偶然、无序的分子运动中包含一种规律性，称为统计规律性。四、气体分子热运动满足的统计规律

1.在忽略重力和其他外力作用的条件下，每一个分子在容器中任意位置出现的概率是相等的。3.速度分量vx、v

y、vz平方的平均平衡状态时，气体分子沿各方向运动的概率相等，则2.分子速度分量的统计平均值气体在平衡状态时，分子沿各方向运动的概率相等，故1.分子线度与分子间距相比较可忽略,分子被看做质点。2.由于分子力的作用距离很短，可以认为气体分子之间除了分子碰撞的瞬间外,其相互作用力可忽略不计。3.气体分子在运动中遵守经典力学规律，假设碰撞为弹性碰撞。

按照这三条假设，可以把理想气体看成一个质点系，这些看成质点的理想气体分子除了碰撞的瞬间外,都在做自由的惯性运动。也就是说，理想气体分子好像是一个没有大小，并且除碰撞的瞬间外没有相互作用的弹性球。一、理想气体的微观模型7.2理想气体的压强二、理想气体的压强公式容器器壁单位面积上所受的正压力。压强

P宏观量

微观上看，气体作无规热运动，气体的压强等于大量分子在单位时间内施加在单位面积器壁上的平均冲量。如何求得F?如何求得

?为了讨论方便，我们把N个分子分为若干组，每组分子具有相同的速度。设第i组分子的速度为：第i

组分子的分子数密度为：一定质量的处于平衡态的某种理想气体，被封闭在体积为V的任意形状的容器中，气体分子的质量为

，容器内分子总数为N，分子数密度为。任意一个分子速度：第i组分子的分子数为∆Nix设器壁上面积元dA法向为x轴,速度为的分子碰撞器壁一次所受的冲量等于它的动量的增量：由牛顿第三定律，受分子碰撞一次,器壁所受的冲量：在dt时间内与dA碰撞的分子数（即斜柱体内的分子）：这些分子在dt时间内对dA的总冲量为：所有分子在dt时间内对dA的总冲量为：气体对器壁的宏观压强为：则定义:分子平均平动动能3.显示了宏观量与微观量的关系，是力学原理与统计方法相结合得出的统计规律。2.压强是大量分子对时间、对面积的统计平均结果。讨论

统计关系式宏观可测量量微观量的统计平均值1.气体对容器器壁的压强正比于气体的分子数密度n和气体分子的平均平动动能。例1

体积V=10-3m3的容器中贮有理想气体，其分子总数N=1023，每个分子质量,分子方均根速率。求：（1）分子总平均平动动能。（2）气体的压强。解（1）（2）理想气体物态方程若分子总数为N玻尔兹曼常数则7.3温度的微观解释所以（1）处于平衡态的理想气体，分子的平均平动动能与气体的温度成正比。同一温度下,各种气体分子平均平动动能均相等。比较与压强公式得(3)温度是统计概念,是大量分子热运动的集体表现。对于少量的分子，温度的概念就失去了意义。说明(2)温度的本质是物体内部分子热运动剧烈程度的标志。是分子热运动平均平动动能的度量。例1.容积V的容器中装有N1个氧分子和N2个氮分子的混合气体，混合气体的压强P，求：（1）分子的平均平动动能；（2）混合气体的温度。解：（1）由压强公式（2）自由度（i）

:确定一个物体在空间的位置所必需的独立坐标数目。7.4能量均分原理一、自由度的概念i=3i=2i=1t平动自由度；r转动自由度。v

振动自由度。

自由度数目1.单原子分子(看作质点)t=3.i=3

既有平动，又有转动。平动可看作质心的平动。

两个被看作质点的原子被一质量不计的刚性杆相连。xyzμ1μ2C2.刚性双单原子分子t=3,r=2，i=5。3.多原子分子六个自由度水蒸气、甲烷等t=3,r=3，i=6。三个或三个以上原子构成的分子。刚性分子自由度633多原子分子523双原子分子303单原子分子总i转动r平动t分子自由度分子的平均平动动能：二、能量按自由度均分定理能量均分定理在温度为T的平衡态下，物质分子的每个自由度都具有相同的平均动能，其值为。自由度为i的分子的平均动能：单原子分子多原子分子双原子分子理想气体的内能：分子动能和分子内原子间的势能之和。

1mol

理想气体的内能

νmol理想气体的内能三、理想气体的内能

理想气体的内能只是温度的函数，与热力学温度成正比。例1体积为V的钢瓶中盛有氧气，使用一段时间后，测瓶中气体压强为P。求:

此时氧气的内能。

解:内能利用理想气体物态方程得氧气的内能例2在容积为V的容器内盛有质量不等的两种单原子分子理想气体，设处于平衡状态时，它们的内能相等，且均为E，求混合气体的压强。

解:设两种气体的物质的量分别为和

混合气体物态方程两种气体的内能分别联立可得一、速率分布函数在平衡态下，0℃空气分子数按速率的分布100200300400500600700m/s5%10%15%20%25%0每一速率区间内分子数取决于速率和速率区间间隔大小。7.5麦克斯韦速率分布定律1、速率分布函数

平衡态下，在v~v

+dv

区间内分子数dN占总分子数N比率为，由于和速率区间dv有关，dv越大，则越大，通常用来反映分子的速率分布，它与所取区间无关，而仅与速率v有关。我们把这个比值定义为平衡态下的速率分布函数物理意义：在速率v附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的比率。2、速率分布曲线Ovf(v)f(v)以v为横轴，f(v)为纵轴，作出的分布函数f(v)的曲线，称为分布曲线。它反映了平衡态下气体分子数按速率的分布规律。窄条面积：总面积：归一化条件：部分面积：Ovf(v)v+dvvf(v)vf(v)OOvv1v2速率分布曲线下的面积

v~v

+dv区间的分子数在总数中占的比率v1~v

2区间的分子数在总数中占的比率Ovf(v)dvvf(v)f(v)dv二、速率分布函数的应用利用速率分布函数可求出：1.v~v

+dv区间的分子数v~v

+dv区间内分子数：dN总分子数：N3.v~v

+dv区间的分子数在总数中占的比率2.v1~v

2区间的分子数4.v1~v

2区间的分子数在总数中占的比率5.v1~v

2区间分子的平均速率

v1~v

2区间内分子平均速率：

v1~v

2内任取

v~v

+dv

区间，其中。该区间内的分子个数因为dv很小，可近似认为dN个分子的速率相等，均为v，于是dN个分子的速率之和为：

v1~v

2内的分子速率之和为：

v1~v

2内的分子总数：

v1~v

2内的分子的平均速率6.v1~v

2区间分子的方均速率

v1~v

2区间内分子方均速率：

v1~v

2内任取

v~v

+dv

区间，其中。该区间内的分子个数因为dv很小，可近似认为dN个分子的速率相等，均为v，于是dN个分子的速率的平方的和为：

v1~v

2内的分子速率的平方的和为：

v1~v

2内的分子总数：

v1~v

2内的分子的方均速率7.分子的平均速率8.分子的方均速率9.最概然速率vp（1）定义：速率分布函数曲线（f(v)~v)曲线峰值所对应的速率。（2）意义：在vp附近单位速率区间内的分子数占系统总分子数的比率最大。分子的平均速率，方均根速率和最概然速率

vp统称为速率分布的特征速率。Ovf(v)例1有N个粒子，其速率分布曲线如下图，则求常数a等于:()O解：(A)(B)速率分布函数的归一化条件为：即速率分布曲线下的总面积等于1，即(C)(D)答案为（C）例2有N个粒子，其速率分布函数为：(1)作速率分布曲线并求常数a；(2)求速率区间在(

，

）内分子的平均速率；(3)求速率区间在(0

，

）之间的分子数解(1)由归一化条件，得O(2)(3)三、麦克斯韦速率分布定律1.麦克斯韦速率分布定律其中，m为分子质量，

T为温度，k=1.38×10-23J/K是玻耳兹曼常量。早在1859年，麦克斯韦应用统计概念和力学原理导出在平衡态下气体分子速率分布函数的具体形式2.麦克斯韦速率分布曲线的性质气体分子速率可取的一切值，但v

很小和v很大的分子所占比率小，具有中等速率分子所占比率大。

Ovf(v)vp3.三个统计平均值(1)平均速率

(2)方均根速率

利用公式

(3)最概然速率,

vp在vp时,分布函数应有极大值。利用公式

三种统计速率比较f(v

)vf(vP)研究碰撞讨论分布计算平均平动动能O同温度下不同气体速率分布N2分子在不同温度下的速率分布1.

vp

与温度

T的关系:2.

vp

与分子质量

的关系:讨论氢气分子氧气分子例3计算在27oC时，氢气和氧气分子的方均根速率。解例4如图示两条曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，从图上数据求出两气体最概然速率.2000解:49507.6玻耳兹曼分布律一定量的气体处于平衡态时，若不计外力场的作用，其分子将均匀分布，分子数密度和温度都是处处相等的。当考虑外力场对气体作用时，其分子数密度和压强将不再是均匀分布了。1877年玻耳兹曼求出了在外力场中气体分子按能量分布的规律——玻耳兹曼分布律。51一、玻耳兹曼分布律由麦克斯韦速率分布律式中因子指数是一个与分子平动动能有关的量：故麦克斯韦速率分布律可以表示为52麦克斯韦速率分布律

玻耳兹曼将分布推广到分子在外力场（如重力场）中的情况，认为分子总能量为动能势能

平衡态下温度为T的气体中，位置在x~x+dx，y~y+dy，

z~z+dz

中，且速度在vx~vx+dvx,vy~vy+dvy,vz~vz+dvz区间分子数为53式中n0表示势能为零处单位体积内含有各种速度的分子数。

上式反映了气体分子按能量的分布规律，称为玻耳兹曼能量分布律。54二、重力场中粒子按高度的分布在重力场中，分子受到两种作用：一是分子热运动，使得分子趋于均匀分布；二是重力作用，使得分子趋于向地面降落。当这两种作用共同存在而达到平衡时，气体分子在空间形成一种非均匀稳定分布，气体分子数密度和压强都将随高度而减小。55

在x~x+dx，y~y+dy，z~z+dz

区间中的分子数为分子按势能分布规律括号内积分为1，所以56两边与dV=dxdydz相比，得势能为处单位体积内含有各种速度的分子数—分子按势能的分布律。在重力场中，地球表面附近分子的势能为57分子在重力场中按势能分布为式中n0、n分别为h=0和h=h处分子数密度。说明

（1）分子数密度n随高度的增大按照指数减小。

（3）气体温度越高（分子热运动剧烈），n就减小的越缓慢。

（2）分子质量

越大（重力的作用显著），n就减小的越迅速。58三、气压公式将地球表面的大气看作理想气体，有代入式子，得气压公式结论：大气压强随高度增加按照指数减小。气体分子平均速率空气分子在270C时的平均速率为476m/s.矛盾克劳修斯指出：气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生改变，所走的路程非常曲折。分子运动论佯谬:在常温下，空气分子速率400~500米/秒，如果在讲台上打开一瓶香水，后排的同学立刻就可闻到香水味。但实际需要1~2分钟才能闻到，扩散与分子速率102m/s矛盾.7.7气体分子的平均自由程

单位时间内分子与其他分子碰撞的平均次数。一、分子的平均碰撞频率dA

研究分子碰撞规律时，可把气体分子看作相互间无吸引力的有效直径为d的弹性小球。分子之间的碰撞为完全弹性碰撞。

跟踪分子A,观察它在

t时间内与多少分子相碰。

圆柱体的