江苏省连云港市高级中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段检测（9月）数学试题

20242025学年第一学期高二年级第一次阶段检测数学试卷一、单选题(每题5分，共40分）1.已知直线的斜率为0，且直线，则直线的倾斜角为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由斜率定义可判断直线与轴平行，再由直线得解．【详解】因为直线的斜率为0，所以直线与轴平行，又直线，故直线的倾斜角为．【点睛】本题考查了直线斜率与倾斜角的定义．2.已知直线和之间的距离是（

）A.4 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由平行线间距离公式即可求解.【详解】直线可以转化为，由两条平行直线间的距离公式可得.故选：D3.圆和圆的位置关系是（

）A.外离 B.相交 C.外切 D.内含【答案】C【解析】【分析】计算两圆圆心之间的距离和半径比较，即得答案.【详解】圆的圆心为，半径为3，圆的圆心为0,3，半径为2，两圆的圆心距为，所以两圆外切.故选：C4.已知圆与轴相切，则（）A.1 B.0或 C.0或1 D.【答案】D【解析】【分析】根据一般式得圆的标准式方程，即可根据相切得求解.【详解】将化为标准式为：，故圆心为半径为，且或，由于与轴相切，故，解得，或（舍去），故选：D5.已知点关于直线对称的点的坐标是（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，根据中点在对称直线上及与对称直线垂直列方程求解.【详解】设，则，解得，.故选：B6.已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（）A.8 B. C.10 D.【答案】C【解析】【分析】根据题意结合椭圆定义可得的周长为，结合椭圆的性质分析求解.【详解】椭圆的方程为，则，，，连接，，则由椭圆的中心对称性可知，可知为平行四边形，则，可得的周长为，当AB位于短轴的端点时，AB取最小值，最小值为，所以周长为．故选：C.7.已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案．【详解】解：记为点，直线的斜率，直线的斜率，因为直线l过点，且与线段相交，结合图象，可得直线的斜率的取值范围是．故选：B．8.已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，得到直线过定点，以及曲线，画出直线与曲线的图象，结合直线与圆相切和图象，即可求解.【详解】由直线过定点，又由曲线，可得，作出曲线与直线的图象，如图所示，因为直线，可得，又由，解得，若直线与曲线有公共点，则，即实数的取值范围为.故选：B.二、多选题(每小题6分，本题18分)9.以下四个命题叙述正确的是（）A.直线在轴上的截距是1B.直线和的交点为，且在直线上，则的值是C.设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是2D.直线，若，则或2【答案】BC【解析】【分析】求出直线的横截距判断A；解方程组求出判断B；求出点到直线的距离判断C；验证判断D.【详解】对于A，直线在轴上的截距是，A错误；对于B，由解得，即，则，解得，B正确；对于C，依题意，，C正确；对于D，当时，直线重合，D错误.故选：BC10.已知是圆上任一点，，则下列说法正确的是（）A.圆心的坐标为 B.点在圆内C.的最大值为 D.过的最短弦长是【答案】ACD【解析】【分析】由圆标准方程可判断A，由点和圆的位置关系可判断B，由圆外一点到圆的距离的最值可判断C，由圆的几何性质可判断D.【详解】将圆的方程化为标准方程，圆心，如图所示：对于A：圆心C的坐标为，故A正确；对于B：因为，所以点在圆C外，故B错误；对于C：因为，所以，即，故C正确；对于D：因为，所以点在圆内，当弦垂直于时弦长最短，又，最短弦长为，故D正确.故选：ACD.11.已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（）A.C的离心率为 B.C.的最大值为 D.使为直角的点P有4个【答案】BCD【解析】【分析】根据椭圆标准方程求出，由离心率定义判断A，由椭圆定义判断B，由椭圆的几何性质判断C，根据以线段为直径的圆与椭圆交点个数判断D.【详解】由原方程可得椭圆标准方程为，，，故A错误；由椭圆定义可知，故B正确；由椭圆的性质知，故C正确；易知以线段为直径的圆（因为）与C有4个交点，故满足为直角的点有4个，故D正确.故选：BCD三、填空题(每小题5分，本题15分)12.已知三点A，B，C在同一直线上，则实数的值是________.【答案】3【解析】【分析】利用三点共线与斜率的关系，斜率的计算公式.【详解】三点A，B，C在同一直线上，，，解得.故答案为：3.13.已知椭圆C的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若为等腰三角形，则C的离心率为______．【答案】【解析】【分析】利用椭圆的性质计算即可.【详解】不妨设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为，则，且根据椭圆的性质易知，所以，显然若为等腰三角形，则只能有，即，则.故答案为：14.如果实数满足等式，那么的最大值是________；的最大值是________．【答案】①.##②.##【解析】【分析】画出图形，通过数形结合，以及直线与圆的位置关系、所求代数式的几何意义逐一求解即可.【详解】由，得的几何意义为圆上的动点到原点距离的平方．因为圆心到原点的距离为，所以圆上的动点到原点距离的最大值为，则的最大值是．令，则是直线在轴上的截距，当直线与圆相切时，直线在轴上的截距，一个是最大值，一个是最小值，此时，圆心到直线的距离，解得，所以的最大值为．故答案为：；.四、解答题15.已知点和直线.（1）若直线经过点P，且，求直线的方程；（2）若直线经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.【答案】（1）（2）和【解析】【分析】（1）根据直线垂直的斜率关系，即可由点斜式求解，（2）根据分类讨论，结合截距式即可代入点求解.【小问1详解】由直线l的方程可知它的斜率为，因为，所以直线的斜率为2.又直线经过点，所以直线的方程为：，即；【小问2详解】若直线经过原点，设直线方程为，代入可得，若直线不经过原点，设直线方程为，代入可得，故直线方程为.综上，直线的方程为和.16.（1）椭圆C与椭圆C1:有相同的焦点，且经过点M，求椭圆C的标准方程；（2）已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，且，求点到轴的距离.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）确定椭圆焦点坐标，根据椭圆定义求得，即得答案；（2）设，可得，；由得，结合椭圆方程求出，即得答案.【详解】（1）椭圆C1：的焦点坐标为，所以椭圆C的焦点坐标也为，即得焦距为，∵椭圆C过点M，∴，∴，∴椭圆的标准方程为.（2）由椭圆方程得，，，设，则，；由得：（1）；又点在椭圆上，可得（2）；（1）（2）联立消去得，，即；故点到轴的距离是．17.（1）已知点A，B的坐标分别为，2,0，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程；（2）如图，已知圆和定点，P为圆O外一点，直线PQ与圆O相切于点Q，若，求点P的轨迹方程．【答案】（1）；（2）0.【解析】【分析】设动点坐标为，用坐标表示动点满足的条件，列出方程，化简即可.【详解】（1）设Mx,y，则，，，化简整理得，，所以点的轨迹方程为：.（2）设Px,y，依题意，则，即，即，整理得.18.（1）求圆心在直线上，与直线相切于点的圆C的方程.（2）若过点作圆的切线，求切线的斜率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由圆的切线性质求出直线的方程，进而求出圆心的坐标及圆半径即可得解.（2）按切线斜率存在与否分类讨论，借助点到直线距离公式列式计算即得.【详解】（1）依题意，，则直线的斜率为，方程为，即，由，解得，则圆圆心，，所以所求圆的方程为：.（2）圆的圆心，半径，当切线的斜率不存在时，，点到切线的距离为2，不等于半径，不满足题意；当切线的斜率存在时，设，即，则，解得，所以切线的斜率为.19.如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直.（1）求椭圆的方程；（2）若，求的方程；（3）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值.【答案】（1）（2）（