32基本不等式（六大题型）（原卷版）

3.2基本不等式课程标准学习目标1、理解基本不等式的内容及证明.2、熟练掌握基本不等式及变形的应用.3、会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.4、能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.1、数学建模：能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.2、逻辑推理：熟练掌握基本不等式及变形的应用.3、数学运算：会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.4、直观想象：运用图像解释基本不等式.知识点01基本不等式1、对公式及的理解．（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”．2、由公式和可以引申出常用的常用结论①（同号）；②（异号）；③或知识点诠释：可以变形为：，可以变形为：．【即学即练1】（2023·全国·高一专题练习）不等式中，等号成立的条件是（

）A． B． C． D．知识点02基本不等式的证明方法一：几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有．得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）．通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”）方法二：代数法∵，当时，；当时，．所以，（当且仅当时取等号“=”）．知识点诠释：特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）．通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”）．【即学即练2】（2023·全国·高一专题练习）已知，，，求证：.知识点03基本不等式的几何意义如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、．易证，那么，即．这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立．知识点诠释：1、在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．2、如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．【即学即练3】（2023·全国·高一专题练习）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（

）．A． B．C． D．知识点04用基本不等式求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等．①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．知识点诠释：1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数．2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解．3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值．4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；③各项能取得相等的值．5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大或最小值；④写出正确答案．【即学即练4】（2023·陕西西安·高一校考期中）已知，且满足，求的最小值是.题型一：对基本不等式的理解及简单应用【典例11】（2024·高一·河南·阶段练习）不等式中，等号成立的条件是（

）A． B． C． D．【典例12】（2024·高一·福建宁德·阶段练习）《几何原本》卷2的几何代数法（几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明；如图所示图形，点、在圆上，点在直径上，且，，于点，设，，该图形完成的无字证明.则图中表示，的调和平均数、平方平均数的线段分别是（

）A．， B．， C．， D．，【方法技巧与总结】应用基本不等式时的三个关注点（1）一正数：指式子中的a，b均为正数．（2）二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值．（3）三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值．【变式11】（多选题）（2024·高三·全国·专题练习）下列推导过程，正确的为（

）A．因为a，b为正实数，所以≥2＝2B．因为x∈R，所以1C．因为a＜0，所以+a≥2＝4D．因为，所以【变式12】（2024·高二·宁夏·期中）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（

）已知，求的最小值；解答过程：；求函数的最小值；解答过程：可化得；设，求的最小值；解答过程：，当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式13】（2024·高一·全国·课后作业）下面四个推导过程正确的有（

）A．若a，b为正实数，则B．若，则C．若，则D．若，则【变式14】（2024·高一·江苏南京·阶段练习）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形（边长可以为0）拼成的一个大正方形．若直角三角形的直角边长分别为和，则该图形可以完成的无字证明为（

）．A． B．C． D．题型二：利用基本不等式比较大小【典例21】设，为正数，则，，，的大小关系是．【典例22】（2024·高一·上海·课后作业）若、、、、、是正实数，且，，则有．（比较大小）【方法技巧与总结】利用基本不等式比较大小在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能．【变式21】（多选题）（2024·高一·广东深圳·期中）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（

）A． B． C． D．【变式22】（多选题）（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（），其全程的平均时速为v，则（

）A． B． C． D．【变式23】（2024·高一·上海·课堂例题）若，，则、、、中最大的一个是．【变式24】（2024·高一·江苏·专题练习）比较大小：2(填“”“”“”或“”)．【变式25】（2024·高一·全国·课后作业）若，，，则，，2ab，中最大的一个是．题型三：利用基本不等式证明不等式【典例31】已知a、b是正数，求证：．【典例32】（2024·高一·江苏南京·期中）（1）设a，b，c，d为实数，求证：；（2）已知，求证：．【方法技巧与总结】利用基本不等式证明不等式时应注意的问题（1）注意基本不等式成立的条件；（2）多次使用基本不等式，要注意等号能否成立；（3）对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．【变式31】（2024·高一·上海·期中）已知a、b、c、，证明下列不等式，并指出等号成立的条件：(1)；(2)．【变式32】（2024·高一·上海·课后作业）（1）已知、都是正数，求证：；（2）已知，，，求证：．【变式33】（2024·高一·云南曲靖·期末）已知，，且，证明：(1)；(2)．【变式34】（2024·青海·一模）已知正数满足．求证：(1)；(2)．题型四：利用基本不等式求最值命题方向1：直接法求最值【典例41】（2024·高一·河南郑州·阶段练习）已知，且，则的最大值为．【典例42】已知，，且，则xy的最大值为．【变式41】（2024·高一·云南楚雄·期末）若实数满足，则的最大值为．【变式42】（2024·高二·浙江宁波·期末）已知正实数x，y满足，则xy的最大值为．【变式43】（2024·高一·河北保定·开学考试）若正数满足，则的最大值为．【变式44】（2024·高一·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知，的最小值为.命题方向2：常规凑配法求最值【典例51】（2024·高一·上海·课前预习）设、满足，且、都是正数，则的最大值为．【典例52】（2024·高一·上海·随堂练习）已知，则的最大值为．【变式51】（2024·高二·安徽六安·期末）已知，则的最大值为．【变式52】（2024·河北秦皇岛·三模）设，则的最大值为.【变式53】（2024·高一·福建福州·阶段练习）已知实数，则函数的最小值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【变式54】（2024·高一·湖北·阶段练习）已知，且，则的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．16【变式55】（2024·高二·浙江绍兴·期中）若，则有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值命题方向3：消参法求最值【典例61】（2024·新疆·高一校联考期末）设，则的最小值为（

）A． B．C． D．6【典例62】（2024·全国·高一专题练习）已知实数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．2【变式61】（2024·全国·高一专题练习）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式62】（2024·高一·全国·课后作业）若正实数满足，则的最小值为（

）A．7 B．8 C．9 D．10命题方向4：换元求最值【典例71】（2024·全国·高一专题练习）设x，y是正实数，且，则的最大值是.【典例72】（2024·全国·高一专题练习）已知正数、满足，则的最小值为.【变式71】（2024·浙江·高二校联考阶段练习）若实数，满足，则的最小值为．命题方向5：“1”的代换求最值【典例81】（2024·高一·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（

）A．2 B．1 C． D．【典例82】（2024·高一·重庆沙坪坝·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．8【变式81】（2024·高二·河北张家口·期末）已知，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式82】（2024·高一·全国·课后作业）已知，且，则的最小值为（

）A．8 B．6 C．4 D．2【变式83】（2024·高二·安徽·阶段练习）若正实数，满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【变式84】（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为（

）A．2 B． C．3 D．【变式85】（2024·河南信阳·模拟预测），则的最小值为（

）A． B． C． D．6【变式86】（2024·高一·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．命题方向6：△法【典例91】（2024·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【典例92】（2024·全国·高三专题练习）已知，满足则的最小值是（

）A． B． C． D．命题方向7：条件等式求最值【典例101】（2024·高一·山东济宁·阶段练习）设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的值为．【典例102】（2024·全国·高一专题练习）已知正数x，y满足，则的最大值为．【变式101】（2024·全国·高一专题练习）已知，，，则的最大值为．【变式102】（2024·全国·高一专题练习）若，且，则的最大值为.【方法技巧与总结】利用基本不等式求代数式的最值（1）利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值．（2）若是求和式的最小值，通常化（或利用）积为定值；若是求积的最大值，通常化（或利用）和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．题型五：利用基本不等式求解恒成立问题【典例111】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）若对任意，恒成立，则a的最小值为（

）．A． B． C． D．【典例112】（2024·高一·山东济宁·阶段练习）设，若恒成立，则k的最大值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【方法技巧与总结】利用基本不等式求解恒成立问题，通常通过分离参数转化为利用基本不等式求最值【变式111】（2024·高一·重庆·期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式112】（2024·高一·浙江丽水·阶段练习）已知不等式对满足的所有正实数都成立，则正实数的最小值为（

）A． B．1 C． D．2【变式113】（2024·高二·湖南·期中）已知实数，且满足，若不等式恒成立，则实数的最大值为（

）A．9 B．12 C．16 D．25【变式114】（2024·高一·湖北武汉·阶段练习）若对任意实数，，不等式恒成立，则实数a的最小值为（

）．A． B． C． D．【变式115】（2024·高一·山东泰安·阶段练习）设，且不等式恒成立，则正实数的取值范围是（

）A． B． C． D．题型六：基本不等式在实际问题中的应用【典例121】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）如图，公园想建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米长的铁丝网可供使用（铁丝网可以剩余），若利用x米墙，求最少需要多少米铁丝网．【典例122】（2024·高一·上海徐汇·期中）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？【方法技巧与总结】利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识（函数及不等式性质等）解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值．（4）正确写出答案．【变式121】（2024·高一·全国·随堂练习）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）

【变式122】（2024·高一·江苏扬州·阶段练习）已知a、、、为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题．(1)请根据基本不等式，证明：；(2)请利用（1）的结论，证明：；(3)如图，将边长为米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米?【变式123】（2024·高一·安徽淮北·期中）某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案：方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为;方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为．（其中）(1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；(2)若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值花费较小值）．【变式124】（2024·高一·贵州·阶段练习）某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）年产量（吨）之间的函数关系可近似的表示为已知此工厂的年产量最小为吨，最大为吨．(1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本；(2)若每吨产品的平均出厂价为万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润．【变式125】（2024·高一·浙江宁波·自主招生）对于任意正实数，仅当时，等号成立．结论：．若为定值，仅当时，有最小值．根据上述内容，回答下列问题：(1)初步探究：若x>0，仅当___时，有最小值___；(2)变式探究：对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？(3)拓展应用：疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙(墙的长度不限)，用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为(米)．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积最大？最大面积是多少？1．（2024·高一·河北保定·期末）已知为正实数且，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．2．（2024·高一·全国·课后作业）若，则有（

）A．最小值0 B．最大值2C．最大值 D．不能确定3．（2024·高三·陕西榆林·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．84．（2024·高一·山西朔州·阶段练习）已知，，满足，则下列结论正确的是（

）A．有最小值 B．有最大值C．有最小值 D．