江西省重点中学协作体2023-2024学年高一下学期期末考试数学

江西省重点中学协作体2023~2024学年度高一期末联考数学本试卷共150分，考试用时120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列说法正确的是（）A.通过圆台侧面一点，有无数条母线B.棱柱的底面一定是平行四边形C.圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形D.用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台2.sin600°＋tan240°的值等于（）A.－ B.C.－＋ D.＋3.设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A. B. C. D.4.已知，，则（）A.1 B.C.2 D.或25.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，则（）A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α与β相交，且交线垂直于 D.α与β相交，且交线平行于6.已知函数图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有点（）A.先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来2倍，纵坐标不变B.先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C.先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度D.先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度7.已知，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（）A B. C. D.8.已知函数在区间上的最大值为，则实数的取值个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知集合，其中为虚数单位，则下列属于集合的元素是（）A. B. C. D.10.已知，满足：对任意，恒有，则（）A. B. C. D.11.如图，在棱长均相等的正四棱锥中，为底面正方形的中心，分别为侧棱的中点，下列结论正确的是（）A平面 B.平面平面C. D.直线与直线所成角的大小为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为____________.13.如图，一个水平放置的正方形，它在直角坐标系中，点的坐标为，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点到轴的距离为______．14.已知函数的图象过点和且当时，恒成立，则实数的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知复数，（其中为虚数单位）．（Ⅰ）求复数；（Ⅱ）若复数在复平面内所对应点在第四象限，求实数的取值范围．16.如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积.17.平面内有向量，，，点为直线上的一个动点．（1）当取最小值时，求坐标；（2）当点满足（1）的条件和结论时，求的值．18.如图，在平面直角坐标系中，点为单位圆与轴正半轴的交点，点为单位圆上的一点，且，点沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点.（1）当时，求的值；（2）设，求的取值范围.19.已知三棱锥的棱两两互相垂直，且.（1）若点分别在线段上，且，求二面角的余弦值；（2）若以顶点为球心，8为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交，试求交线长是多少？江西省重点中学协作体2023~2024学年度高一期末联考数学本试卷共150分，考试用时120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列说法正确的是（）A.通过圆台侧面一点，有无数条母线B.棱柱的底面一定是平行四边形C.圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形D.用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台【答案】C【解析】【分析】根据圆柱、圆锥、圆台以及棱柱的结构特征判断.【详解】因为通过圆台侧面一点只有一条母线，所以A不正确；因为棱柱的底面不一定是平行四边形，可以是任意多边形，所以B不正确；因为由棱台的定义，要求上､下底面平行，所以D不正确；因为圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形，三角形的两腰是其母线，所以C正确.故选：C【点睛】本题主要考查几何体的结构特征，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.2.sin600°＋tan240°的值等于（）A.－ B.C.－＋ D.＋【答案】B【解析】【分析】分别利用诱导公式求得sin600°和tan240°的值，从而求得结果.【详解】sin600°＝sin(360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－，tan240°＝tan(180°＋60°)＝tan60°＝，则sin600°＋tan240°＝.故选：B.【点睛】本题主要考查诱导公式，意在考查学生的数学运算的学科素养，属基础题.3.设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．【详解】则．故选C．【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．4.已知，，则（）A.1 B.C.2 D.或2【答案】C【解析】【分析】根据数量积的运算律即可求解模长.【详解】因为，所以，故选：C.5.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，则（）A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α与β相交，且交线垂直于 D.α与β相交，且交线平行于【答案】D【解析】【详解】试题分析：由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D．考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．6.已知函数图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有点（）A.先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B.先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来2倍，纵坐标不变C.先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度D.先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度【答案】C【解析】【分析】根据三角函数平移伸缩变化求解即可.【详解】先将函数图象上每点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.故选:C.7.已知，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】求出向量在向量上的投影，再乘以向量方向的单位向量．【详解】，，，，则向量在向量上的投影向量为，故选：B【点睛】本题考查向量的投影，共线向量，掌握向量投影的定义是解题关键．8.已知函数在区间上的最大值为，则实数的取值个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】先计算出，分和两种情况讨论，时转化为图像交点问题.【详解】，则，显然，，①若即时，在单调增，，作函数的图象，作与仅一个交点，所以此时有一个满足要求；②若即时，满足要求，综上知满足条件的共有两个.故选：B二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知集合，其中为虚数单位，则下列属于集合的元素是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】先求得集合，然后结合复数运算对选项逐一计算，由此确定正确选项.【详解】依题意，，A错误，，B正确，，C正确，，D错误.故选：BC.10.已知，满足：对任意，恒有，则（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据向量线性运算的几何意义分析可得，即为定点A到x轴上的动点的距离，进而分析可得，结合数量积运算求解.【详解】不妨设，则，即为定点A到x轴上的动点的距离，显然当轴时，取到最小值，若对任意，恒有，则，可得，故B正确，D错误；∵，可得，故A错误，C正确；故选：BC.11.如图，在棱长均相等的正四棱锥中，为底面正方形的中心，分别为侧棱的中点，下列结论正确的是（）A.平面 B.平面平面C. D.直线与直线所成角的大小为【答案】ABC【解析】【分析】A选项:连接,为中点，为中点，可证∥根据线面平行判定可以证明∥平面；B选项:；连接,同理证明∥平面,结合A选项可证明平面平面；C选项:由于正四棱锥的棱长均相等，且四边形为正方形，根据勾股定理可证,结合∥可证;D选项:先利用平移思想，根据平行关系找到异面直线与直线所成角的平面角，结合为正三角形，即可求出直线与直线所成角.详解】连接如图示：为底面正方形的中心,为中点，又为中点，∥又平面,平面，∥平面，故A选项正确；连接，同理可证∥,又平面,平面，∥平面,又,∥平面平面,平面,平面平面,故B选项正确；由于正四棱锥的棱长均相等，且四边形为正方形，,又∥，,故C选项正确;分别为侧棱的中点，∥四边形为正方形,∥,直线与直线所成的角即为直线与直线所成角即为直线与直线所成角，又为正三角形，,直线与直线所成角为.故D选项不正确.故选：ABC三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为____________.【答案】【解析】【详解】试题分析：由复数的运算可知，是纯虚数，则其实部必为零，即，所以.考点：复数的运算.13.如图，一个水平放置的正方形，它在直角坐标系中，点的坐标为，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点到轴的距离为______．【答案】【解析】【分析】作出正方形的直观图，再结合斜二测画法的规则计算可得.【详解】作出正方形的直观图如图所示：因为，，所以顶点到轴的距离为．故答案为：14.已知函数的图象过点和且当时，恒成立，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】利用三角函数的性质得到参数间的关系，进行消参，然后分类讨论参数范围，求解即可.【详解】由知，，此时，当时，，只需，得，又；当时，成立，适合；当时，，要使，只需，综上知，故，则实数的取值范围是.故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知复数，（其中为虚数单位）．（Ⅰ）求复数；（Ⅱ）若复数在复平面内所对应的点在第四象限，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用复数除法法则计算；（Ⅱ）首先化简复数，再根据复数在复平面内所对应的象限，列式求实数的取值范围．【详解】（Ⅰ）；（Ⅱ），因为复数在复平面内所对应的点在第四象限，所以，解得：.16.如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据已知可得，进而有≌，可得，即，从而证得平面，即可证得结论；（2）将已知条件转化为母线和底面半径的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形边长，在等腰直角三角形中求出，在中，求出，即可求出结论.【详解】（1）连接，为圆锥顶点，为底面圆心，平面，在上，，是圆内接正三角形，，≌，，即，平面平面，平面平面；（2）设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为，，解得，，在等腰直角三角形中，，在中，，三棱锥的体积为.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.17.平面内有向量，，，点为直线上的一个动点．（1）当取最小值时，求的坐标；（2）当点满足（1）的条件和结论时，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）设，利用向量与共线可得，用坐标表示，结合二次函数性质，求最小值，可得；（2）利用向量的夹角公式求解即可【详解】（1）设，∵在直线上，∴向量与共线．∵，∴，∴，∴．又∵，，∴．故当时，有最小值，此时．（2）由（1）知，，，∴，，∴．18.如图，在平面直角坐标系中，点为单位圆与轴正半轴的交点，点为单位圆上的一点，且，点沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点.（1）当时，求的值；（2）设，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函数定义得到，故，利用诱导公式，辅助角公式化简得到答案；（2）化简得到，由，整体法求解值域.【小问1详解】由三角函数的定义可得，，当时，，即，.【小问2详解】，，，，则，，则，即的取值范围为.19.已知三棱锥的棱两两互相垂直，且.（1）若点分别在线段上，且，求二面角的余弦值；（2）若以顶点为球心，8为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交，试求交线长是多少？【答案】（1）（2）【