第2章一元二次方程章末重难点检测卷

第2章一元二次方程章末重难点检测卷注意事项：本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)1．（2023上·浙江台州·九年级台州初级中学校考阶段练习）下列各数中，是方程的根的是（

）A．2 B．1 C． D．【答案】C【分析】本题主要考查解一元二次方程，解出一元二次方程是解题的关键．【详解】解：，，或，或．故选：C．2．（2023上·浙江台州·九年级校联考期中）电影《八角笼中》讲述了向腾辉倾注心血想把当地无人照料的孩子培养成才，这让生活本没有出路的孩子们看到了一丝通向未来的曙光的故事．一经上映就获得追捧，第一天票房收入约6亿元，第三天票房收入达到了亿元，设第一天到第三天票房收入平均每天增长的百分率为，则可列方程（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程与增长率问题．根据题意即可列出方程．【详解】解：∵第一天到第三天票房收入平均每天增长的百分率为，且第一天票房收入约6亿元，第三天票房收入达到了亿元，∴故选：C3．（2023上·浙江金华·九年级校考阶段练习）已知二次方程的两根为和5，则一次函数图象不经过第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】A【分析】本题考查通过二次方程的解建立二元一次方程组求解一次项系数和常数项，再结合一次函数的图象和性质与系数的关系，即可解题．【详解】解：的两根为和5，，解得，则一次函数为，则一次函数图象不经过第一象限，故选：A．4．（2023上·浙江台州·九年级台州初级中学校考阶段练习）设方程的两个根为m，n，那么的值等于（

）A． B． C．1 D．3【答案】D【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．【详解】解：方程的两个根为m，n，，，．故选：D．5．（2023上·浙江台州·九年级校联考期中）一元二次方程的根的情况是（

）A．没有实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根【答案】A【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，求出判别式与0的关系直接判断即可得到答案．【详解】解：由题意可得，，∴方程没有实数根，故选：A．6．（2023下·浙江丽水·八年级期末）若关于的方程有两个不相等的实数根，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的整数的个数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查根的判别式及分式方程的解法，求得的取值范围是解题的关键．先利用判别式的意义得到且，再解把分式方程化为整式方程得到，利用分式方程有正数解可得到关于的不等式组，则可求得的取值范围，则可求得满足条件的整数的个数．【详解】解：方程有两个不相等的实数根，且，解得且，分式方程去分母得，解得，分式方程有正数解，且，解得且，的范围为且，，符合条件的整数的值是，即符合条件的只有一个，故选：．7．（2022下·浙江·八年级开学考试）己知下面三个关于x的一元二次方程恰好有一个相同的实数根b，则的值为（

）A．0 B．1 C．3 D．不确定【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．把代入3个方程得出，3个方程相加即可得出，即可求出答案．【详解】把代入得：，相加得：，，∵，∴，故选：A．8．（2023·浙江宁波·九年级效实中学校联考自主招生）已知为正实数，，是方程的两个根，则()A． B． C． D．【答案】C【详解】先根据根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式把变形为，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵，是方程的两个根，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，．9．（2023下·浙江·八年级期中）若方程的两个不相等的实数根满足，则实数p的所有值之和为（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，进而推出，则，，即可推出，然后代入，得到，再根据判别式求出符号题意的值即可得到答案．【详解】解：∵是方程的两个相等的实数根，∴，，∴，∴，∴，∴，同理得，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，解得，∵，∴，∴，∴不符合题意，∴∴符合题意，故选B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．10．（2023下·浙江杭州·八年级校考期中）对于一元二次方程，下列说法：①若a＋b＋c＝0，则方程必有一根为x＝1；②若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；③若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；④若是一元二次方程的根，则其中正确的（

）A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】根据一元二次方程根的判别式及根的定义以及求根公式逐个判断排除．【详解】解：①若，则是方程的解，故①正确；②方程有两个不相等的实根，，则方程的判别式，方程必有两个不相等的实根，故②错误；③∵方程两根为，且满足，∴，令，，∴方程有两个实数根，令两根分别为，∴，，∴方程，必有实根，，故③正确；④若是一元二次方程的根，则由求根公式可得：，，，故④正确．故正确的有①③④，故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键．二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)11．（2023上·浙江台州·九年级台州初级中学校考阶段练习）若关于x的一元二次方程的一根为2，则另一根为．【答案】【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到是解题的关键．【详解】解：设方程的另一个根为，则，解得：，故答案为：．12．（2023上·浙江杭州·九年级杭州绿城育华学校校考期中）已知实数，满足，则代数式的最小值是．【答案】3【分析】此题考查了代数式的变式与二次函数最值，解题的关键是由题意得，代入代数式可得，由此可知代数式的最小值是3．【详解】解：，，，，，当时，代数式有最小值等于3，故答案为：3．13．（2023上·浙江台州·九年级校联考期中）请写出一个常数c的值，使得关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的值可以是．【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解．熟记相关结论即可．【详解】解：由题意得：∴故（答案不唯一）14．（2023下·浙江湖州·八年级校考期中）为积极响应国家“双减”政策，某县推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次，设从第一批到第三批公益课受益学生人次的平均增长率为x，则可列方程．【答案】【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设受益学生人次的平均增长率为x，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”列出方程，即可求解．【详解】解：设受益学生人次的平均增长率为x，根据题意得：．故答案为：．15．（2023下·浙江丽水·八年级期末）已知关于的一元二次方程，若等腰三角形的一边长为，另两边长恰好是该方程的两个根，则的值是．【答案】或【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．已知可能是底，也可能是腰，分两种情况求得，的值后，可得结论．【详解】解：若为底边，设，为腰长，则，则，，解得：，此时原方程化为，，即，此时三边为，，能构成三角形，；若，则或，即方程有一根为，把代入方程，得，解得：，此时方程为，解得：，，方程另一根为，、、能构成三角形，，综上，的值为或，故答案为：或．16．（2023下·浙江温州·八年级校考期中）已知，，是非零实数，关于的一元二次方程，，，有公共解，则代数式的值为．【答案】或【分析】设公共解为，根据一元二次方程根的定义得到，，，三式相加可得：或，分别代入所求式可解答．【详解】解：设公共解为，则，，，三式相加得，即，因为，所以或，当时，，原式；当时，，，，，原式，综上，代数式的值为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，理解方程解的定义是解题的关键．三、解答题(本大题共7小题,共66分)17．（2023上·浙江台州·九年级校联考阶段练习）选用适当的方法解下列方程：(1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握根据方程特征，选择恰当解法是解题的关键．（1）利用直接开平方法解题即可；（2）利用公式法解一元二次方程即可解题．【详解】（1）解：∴或，解得：，；（2）解：，方程有两个不相等的实数根，∴，解得，．18．（2023上·浙江温州·九年级校联考开学考试）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．①，；②，；③，；④，．注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．【答案】选②或③，②，；③，【分析】当，，时，，有两个相等的实根；当，时，，没有实根，②组或③方程有实数根，代入，再解方程即可．【详解】解：可以选②组或③组．当，，时，，有两个相等的实根，故①不能选；当，，时，，有两个不相等的实根，故②可以；，，，；当，，时，，有两个不相等的实根，故③可以；，，，．当，时，，没有实根，故④不能选．【点睛】本题考查了根的判别式，掌握根的判别式的意义是解题的关键．19．（2023上·浙江台州·九年级校考期中）已知关于的方程（为常数）．(1)求证：不论为何值，该方程总有实数根．(2)若该方程有一个根是4，求的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）证明方程的根的判别式即可．（2）把代入，转化为m的方程求解即可．本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键．【详解】（1）当时，，解得，当时，方程，，∴，∴方程有两个实数根；∴无论m取何值，方程总有实数根．（2）把代入，得，解得．20．（2023·浙江·模拟预测）已知三个关于的方程和．若其中至少有两个方程有实根，求实数的取值范围．【答案】或【分析】分类讨论：①当时，②当时，③当，时，分别求出m的取值范围即可．【详解】解：①当时，方程和有解；②当时，方程和有解；③当，时，第一个方程有根则：，解得：；第二个方程有根则：，解得：，第三个方程有根则：，解得：，当每两个方程都有解时，有或或，解得：或．【点睛】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．21．（2024上·浙江宁波·八年级期末）某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同(1)求该种商品每次降价的百分率；(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3120元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件?【答案】(1)该种商品每次降价的百分率为(2)第一次降价后至少要售出该种商品20件【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，根据数量关系列出方程或不等式是解决问题得关键．（1）设该种商品每次降价的百分率为，根据“两次降价后的售价原价”，列出方程，解方程即可得出结论；（2）设第一次降价后售出该种商品件，则第二次降价后售出该种商品件，根据“总利润第一次降价后的单件利润销售数量第二次降价后的单件利润销售数量”表示出总利润，再根据总利润不少于3210元，即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【详解】（1）解：设该种商品每次降价的百分率为，依题意得：，解得：，或（舍去）．答：该种商品每次降价的百分率为．（2）设第一次降价后售出该种商品件，则第二次降价后售出该种商品件，第一次降价后的单件利润为：（元/件）；第二次降价后的单件利润为：（元/件）．依题意得：，解得：，即：为使两次降价销售的总利润不少于3210元，第一次降价后至少要售出该种商品20件．22．（2023下·浙江湖州·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，，点P从点O开始沿x轴正方向以每秒1个单位的速度移动，点Q从点A开始沿y轴负方向以每秒2个单位的速度移动，点P，Q分别从点O，A同时出发，且当点P到达点C处时，点Q也停止运动，设P、Q两点的运动时间为t秒．(1)若点Q在y轴的正半轴上．①试用含t的代数式表示：__________，__________；②t为何值时，的面积是面积的？(2)是否存在这样的t的值，使是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)①，；②t为1秒或2秒时，的面积是面积的；(2)当秒或秒或6秒时，是等腰三角形．【分析】本题考查了勾股定理，解一元二次方程，坐标与图形的性质．（1）①根据题意列出代数式即可；②利用三角形的面积公式列式计算即可求解；（2）分情况讨论，利用勾股定理列式计算即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，，①∵点P从点O开始沿x轴正方向以每秒1个单位的速度移动，点Q从点A开始沿y轴负方向以每秒2个单位的速度移动，∴，，则；故答案为：，；②由题意得，解得或；∴t为1秒或2秒时，的面积是面积的；（2）解：由题意得，，，当点Q在y轴的正半轴上时，此时，，，若，则，整理得，解得（舍去），；若，则，整理得，解得（舍去）；若，，整理得，解得（舍去），（舍去）；当点Q在y轴的负半轴上时，此时，，，若，则，整理得，解得（舍去），（舍去）；若，则，整理得，解得（舍去），；若，，整理得，解得（舍去），；综上，当秒或秒或6秒时，是等腰三角形．23．（2023下·浙江温州·八年级校考期中）如何利用闲置纸板箱制作储物盒如何利用闲置纸板箱制作储物盒素材如图，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图所示．

素材如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为长方形纸板．长方形纸板①长方形纸板②

小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．长方形纸板①的制作方式长方形纸板②制作方式裁去角上个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒．

将纸片四个角裁去个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．

目标熟悉材料熟悉按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝障的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽为______．目标利用目标计算所得的数据，进行进一步探究．初步应用（1）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积．储物收纳（2）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．

【答案】目标1：，目标2：（1）储物盒的容积为立方厘米（2）玩具机械狗不能完全放入该储物【分析】（1）由制作过程知小正方形的边长为，，再利用面积公式即可得出收纳盒的高为，进而即