高考数学一轮复习专练46空间向量的运算及其坐标表示

四十六空间向量的运算及其坐标表示(时间:45分钟分值:95分)【基础落实练】1.(5分)在空间四边形ABCD中,AB·CD+AC·DB+AD·BC的值为 ()A.1 B.0 C.1 D.2【解析】选B.在空间四边形ABCD中,AB·CD+AC·DB+AD·BC=AB·CD+(AB+BC)·(ABAD)+AD·BC=AB·CD+AB·AB+AB·BCAB·AD=AB·(BC+CD)+AB·(ABAD)=AB·BD+AB·DB=0.2.(5分)已知a=(2,1,3),b=(1,2,3),c=(7,6,λ),若a,b,c三向量共面,则λ= ()A.9 B.9 C.3 D.3【解析】选B.由题意知c=xa+yb,即(7,6,λ)=x(2,1,3)+y(1,2,3),所以2x-y=7x+23.(5分)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,设AD=1,则BD1·AD等于 (A.1 B.2 C.3 D.6【解析】选A.由长方体的性质可知AD⊥AB,AD⊥BB1,AD∥BC,AD=BC=1,BD1=BA+BC+所以BD1·AD=(BA+BC+B=BA·AD+BC·AD+BB1=0+BC2+0=14.(5分)如图,在空间四边形ABCD中,若向量AB=(3,5,2),CD=(7,1,4),点E,F分别为线段BC,AD的中点,则EF的坐标为 ()A.(2,3,3) B.(2,3,3)C.(5,2,1) D.(5,2,1)【解析】选B.取AC的中点M,连接ME,MF(图略),ME=12AB=MF=12CD=而EF=MFME=(2,3,3).5.(5分)已知直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 ()A.32 B.C.105 D.【解析】选C.由题知,在直三棱柱ABCA1B1C1中,BB1⊥平面ABC,CC1⊥平面ABC,因为BC⊂平面ABC,AB⊂平面ABC,所以BB1⊥BC,CC1⊥AB,因为AB1=BB1BA,BC所以AB1·BC1=BB1·BC+BB1·CC1BA·因为AB1=5,BC所以cos<AB1,BC1>=AB1·BC1AB1B6.(5分)如图,在△ABC中,AD⊥AB,BC=3BD,|AD|=1,则AC·AD=________【解析】由题干图可得:AC·AD=(AB+BC)·AD=AB·AD+BC·AD=0+3BD·=3(BA+AD)·AD=3·|AD|2=3.答案:37.(5分)(2023·西安模拟)空间四边形ABCD中,AC与BD是四边形的两条对角线,M,N分别为线段AB,CD上的两点,且满足AM=23AB,DN=34DC,若点G在线段MN上,且满足MG=3GN,若向量AG满足AG=xAB+yAC+zAD,则x+y+【解析】空间四边形ABCD中,AC与BD是四边形的两条对角线,M,N分别为线段AB,CD上的两点,且满足AM=23AB,DN=34DC,若点G在线段MN上,且满足MG=3由于MG=3GN,得AGAM=3(ANAG),整理得4AG=3AN+AM=3AD+3DN+AM=3AD+94DC=3AD+94AC9=34AD+94所以AG=316AD+916故x=16,y=916,z=所以x+y+z=1112答案:118.(5分)如图所示,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC=________.

【解析】因为PC=PA+AB+BC,所以|PC|2=|PA|2+|AB|2+|BC|2+2AB·BC=36+36+36+2×36cos60°=144.所以|PC|=12.答案:129.(10分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M为PC的中点.(1)求证:PB⊥DM;【解析】(1)结合题图知,PB=ABAP,DM=12(DP+DC)=12(APAD+AB12AD)=12AP+12AB34AD,则PB·=12|AB|212|AP|2=0,故PB9.(10分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M为PC的中点.(2)求AC与PD所成角的余弦值.【解析】(2)设PA=AD=AB=2BC=2,由于PD=ADAP,AC=AB+12因此|PD|2=|ADAP|2=AD22AD·AP+AP故|PD|=22,|AC|2=|AB+12AD=|AB|2+2AB·12AD+14|AD故|AC|=5,PD·AC=(ADAP)·AB+故cos<PD,AC>=222×所以AC与PD所成角的余弦值为1010【能力提升练】10.(5分)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,且满足DE=xDA+yDC+(1xy)DD1,则|DE|的最小值是 (A.13 B.23 C.33 【解析】选C.因为DE=xDA+yDC+(1xy)DD由空间向量的共面定理可知,点E,A,C,D1四点共面,即点E在平面ACD1上,所以|DE|的最小值即为点D到平面ACD1的距离d,由正方体的棱长为1,可得△ACD1是边长为2的等边三角形,则S△ACD1=12×(2)2S△ACD=12×1×1=1由等体积法得VD-AC所以13×32×d=13解得d=33,所以|DE|的最小值为311.(5分)已知长方体ABCDA1B1C1D1,下列向量的数量积一定为0的是 ()A.AD1·B1C BC.AB·AD1 D.B【解析】选C.当侧面BCC1B1是正方形时,得AD1·B1当底面ABCD是正方形时,得AC垂直于体对角线BD1,所以排除B;显然AB⊥侧面ADD1A1,C正确;由题图可得BD1与BC所成的角小于90°,所以排除D.12.(5分)已知点O为空间直角坐标系的原点,向量OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),且点Q在直线OP上运动,当QA·QB取得最小值时,OQ的坐标是____________.

【解析】因为OP=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,设OQ=λOP=(λ,λ,2λ),又因为OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),所以QA=OAOQ=(1λ,2λ,32λ),QB=OBOQ=(2λ,1λ,22λ),则QA·QB=(1λ)(2λ)+(2λ)(1λ)+(32λ)(22λ)=6λ216λ+10=6(λ43)22当λ=43时,QA·QB取得最小值此时OQ的坐标为43答案:413.(5分)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为A1D1,BB1的中点,则cos∠EAF=______,EF=______.

【解析】如图,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,因为正方体的棱长为1,则E(0,12F(1,0,12),所以AE=0,12,1,AF=(1,0,12cos<AE,AF>=AE·AF|AE||所以cos∠EAF=25EF=|EF|=12+-答案:2514.(10分)如图,已知直三棱柱ABCA1B1C1,在底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.(1)求BN的模;【解析】(1)如图,以点C作为坐标原点O,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.由题意得B(0,1,0),N(1,0,1),所以|BN|=(1-014.(10分)如图,已知直三棱柱ABCA1B1C1,在底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.(2)求cos<BA1,CB【解析】(2)由题意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),所以BA1=(1,1,2),BA1·CB1=3,|BA1|=所以cos<BA1,CB1>=14.(10分)如图,已知直三棱柱ABCA1B1C1,在底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.(3)求证:A1B⊥C1M.【解析】(3)由题意得C1(0,0,2),M12A1B=(1,1,2),C1所以A1B·C1M=所以A1B⊥C1M,即A1B15.(10分)已知a=(1,3,2),b=(2,1,1),点A(3,1,4),B(2,2,2).(1)求|2a+b|;【解析】(1)2a+b=(2,6,4)+(2,1,1)=(0,5,5),故|2a+b|=02+(-15.(10分)已知a=(1,3,2),b=(2,1,1),点A(3,1,4),B(2,2,2).(2)在直线AB上是否存在一点E,使得OE⊥b?(O为原点)【解析】(2)令AE=tAB(t∈R),所以OE=OA+AE=OA+tAB=(3,1,4)+t(1,1,2)=(3+t,1t,42t),若OE⊥b,则OE·b=0,所以2(3+t)+(1t)+(42t)=0,解得t=95因此存在点E,使得OE⊥b,此时E点的坐标为-6【素养创新练】16.(5分)(多选题)在三棱锥PABC中,以下说法正确的有 ()A.若2AD=AB+AP,则BP=3BDB.若PA·AC=0,PA·AB=0,则PA·BC=0C.若PA=PB=PC=2,AB=AC=BC=22,M,N分别为PA,BC的中点,则MN=2D.若T为△ABC的重心,则2PT+AT=PB+PC【解析】选BD.由2AD=AB+AP,得2OD-OA=OBOA+OPOA,整理可得,2OD=OB+所以ODOB=OPOD,即BD=DP,所以BP=2BD,故A错误;因为PA·AC=0,PA·AB=0,且BC=ACAB,所以PA·BC=PA·(ACAB)=PA·ACPA·AB=0,故B正确;因为PA=PB=PC=2,AB=AC=BC=22,由勾股定理逆定理可得,∠APB=∠APC=∠BPC=