湖南省邵阳市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

20232024学年湖南省邵阳市高二（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合，，则（）A． B． C． D．2．（5分）已知复数（i为虚数单位），则（）A．8 B．9 C．10 D．1003．（5分）若，则（）A． B． C． D．4．（5分）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面（）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，，则5．（5分）某大桥的一侧依次安装有13盏路灯，因环保节能的需求，计划关掉其中的5盏．如果两端的路灯不能关，则不同关灯方式的种数是（）A．21 B．35 C．70 D．1266．（5分）已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（）A． B．1 C． D．27．（5分）已知奇函数及其导函数的定义域均为，．若，，则a，b，c的大小关系正确的是（）A． B． C． D．8．（5分）已知O为坐标原点，，，，，则的最小值为（）A．1 B． C． D．2二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）（多选）9．（6分）下列说法正确的有（）A．的展开式的第4项的系数是280B．对于随机变量X，若，则C．已知随机变量，若，则D．一组数据8，9，9，11，13，14，15，18，20，21的第60百分位数为14.5（多选）10．（6分）已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为A，B，P是E上异于A，B的一个动点．若，则下列说法正确的有（）A．椭圆E的离心率为B．若，则C．直线PA的斜率与直线PB的斜率之积等于D．符合条件的点P有且仅有2个（多选）11．（6分）已知A，B两点的坐标分别为，，直线，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之和是2，则下列说法正确的有（）A．点M的轨迹关于y轴对称 B．点M的轨迹关于原点对称C．若且，则恒成立 D．若且，则恒成立三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．（5分）有甲、乙两个工厂生产同一型号的产品，甲厂生产的次品率为2%，乙厂生产的次品率为3%，60%，从中任取一件产品______．13．（5分）已知函数的部分图象如图所示．若在中，，______．14．（5分）祖暅在数学上做出了突出贡献，他提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”．这就是“祖暅原理”，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，，共同围成的图形绕y轴旋转一周所得几何体的体积为V，则______．四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，E是边BC的中点，且16．（15分）如图所示，AB是的直径，点C是上异于A，PC⊥平面ABC，E，F分别为PA（1）求证：EF⊥平面PBC；（2）若，，二面角的正弦值为，求BC．17．（15分）已知动点到直线的距离比它到定点的距离多1（1）求的方程；（2）若过点的直线l与相交于A，B两点，求直线l的方程．18．（17分）已知函数，，其中．（1）求函数在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，令函数，证明：．19．（17分）我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”．定义：若数列是“k阶等差数列”，则称数列为“阶等差数列”．例如：1，3，7，13，21后项与前项的差值：2，4，6，8，10，…这些差值构成的数列是公差为2的等差数列，则称数列1，3，7，13，31…为“二阶等差数列”．（1）若数列的通项公式为，试判断数列是否为“二阶等差数列”，并说明理由；（2）若数列为“二阶等差数列”，且，对应的“一阶等差数列”首项为1，公差为；（3）若“三阶等差数列”的前4项依次为1，4，10，，求．

20232024学年湖南省邵阳市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【分析】先求出集合A，B，再利用集合的交集运算求解．【解答】解：集合，则．故选：C．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的交集运算，属于基础题．2．【分析】利用复数模的公式求解即可．【解答】解：，则．故选：C．【点评】本题考查了复数模的求法，是基础题．3．【分析】直接利用三角函数的关系式的变换求出函数的值．【解答】解：由于，故，故．故选：B．【点评】本题考查的知识点：三角函数的诱导公式，三角函数值的求法，主要考查学生的运算能力，属于中档题．4．【分析】根据空间中各要素的位置关系逐一判断即可．【解答】解：若，，∴A选项错误；若，，∴B选项错误；若，，又，∴C选项正确；若，，，则不一定成立．故选：C．【点评】本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．5．【分析】根据题意，采用插空法完成，先将保留的8盏灯排成一排，在8盏灯形成的7个空位中，选出5个空插空即可得解．【解答】解：因为两端的路灯不能关，且相邻的路灯不能同时关，即先将保留的8盏灯排成一排，进而在8盏灯形成的2个空位中，所以共有（种）不同的关灯方式．故选：A．【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了插空法的应用，属于基础题．6．【分析】根据等差数列性质可得，从而，进而，由此能求出的最小值．【解答】解：∵公差不为0的等差数列满足，∴根据等差数列性质可得，∴，∴当且仅当时，取“＝”号，∴的最小值为1．故选：B．【点评】本题考查等差数列的性质、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．【分析】构造函数，判断的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性即可比较a，b，c的大小．【解答】解：设，若为奇函数，则，所以，即函数为偶函数，因为．又当时，，所以，则函数在，故在（上为增函数．则，，且．故选：D．【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在函数值大小比较中的应用，属于中档题．8．【分析】由平面向量的坐标运算可得P的轨迹方程，由条件可得Q的轨迹方程，再求圆上一点到直线上一点的距离的最小值即可．【解答】解：因为，，设，，，所以点P的轨迹方程为：，又由，得点Q的轨迹方程为：，所以为圆上一点到直线上一点的距离，所以．故选：B．【点评】本题平面向量的坐标运算，点到直线的距离求法，属于基础题．二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）（多选）9．【分析】根据二项展开式的通项公式可判断A；由期望的性质即可判断B；根据正态分布的对称性即可判断C；由百分位数的定义求解即可判断D．【解答】解：对于A，的展开式的第4项为，所以第4项的系数为280，故A正确；对于B，对于随机变量X，则，故B正确；对于C，已知随机变量，若，则，则，故C错误；对于D，数据从小到大排列为8，5，9，13，15，20，因为，所以第60百分位数为．故选：ABD．【点评】本题主要考查二项式定理，正态分布，期望的性质，百分位数的定义，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）10．【分析】由椭圆的定义、方程和性质，结合直线的斜率公式和向量数量积的性质，对选项分析即可得到结论．【解答】解：由，可得，可得；设，则，，若，可得，，，故B错误；设，则直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为；由，可得以O为圆心，则符合条件，故D错误．故选：AC．【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．（多选）11．【分析】由直线的斜率公式可得，，且，判断函数的奇偶性可判断AB；由不等式的性质和恒成立思想可判断CD．【解答】解：由直线AM的斜率与直线BM的斜率之和是2，可得，化为，，可得函数y为奇函数，关于原点对称，故A错误；当且时，，故C正确；当且时，可取，由，故D错误．故选：BC．【点评】本题考查直线的斜率公式和函数的性质、不等式恒成立问题，考查方程思想和运算能力，属于中档题．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．（5分）【分析】根据已知条件，结合全概率公式，即可求解．【解答】解：由题意可知，从中任取一件产品．故答案为：0.026．【点评】本题主要考查全概率公式，属于基础题．13．（5分）【分析】结合周期先求出，结合特殊点求出，结合最值求A，进而可得及B，然后结合余弦定理及三角形面积公式即可求解．【解答】解：∵，∴，又，，∴．又，∴．∵，∴，又，∴，设角B，C，D的对边为b，c，，当且仅当．∴，∴，∴面积最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了函数性质在的解析式求解中的应用，还考查了余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题．14．（5分）【分析】令，分别代入=和中，求得，，由点，绕y轴旋转一周得到的圆的半径分别，计算圆环的面积，根据祖暅原理求出该几何体的体积．【解答】解：令，分别代入和中，解得：，．记点，绕y轴旋转一周得到的圆的半径分别为R，r．则，，此圆环的面积，恒为定值．根据祖暅原理该几何体的体积与底面圆半径为，高为6的圆柱的体积相等，所以．故答案为：．【点评】本题考查了空间几何体的体积计算问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．【分析】（1）利用三角变换即可求解；（2）根据，得到，再结合余弦定理求c，利用勾股定理求AE即可．【解答】解：（1）∵，由正弦定理得，∴，由余弦定理可得，∴，又，∴；（2）∵，∴，∴，∴在中，由余弦定理得，∴，由勾股定理得．【点评】本题考查三角变换，余弦定理以及三角形的面积公式，属于中档题．16．（15分）【分析】（1）根据已知条件，结合线面垂直的判定定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面PAC和平面PAB的一个法向量，利用向量夹角公式即可求解．【解答】解：（1）证明：由PC⊥平面ABC，知，由AB是的直径，知，∵，∴AC⊥平面PBC，由E，F分别是PA，知，∴EF⊥平面PBC．（2）以C为原点，CA，CP所在直线分别为x轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，b，，易知平面PAC的一个法向量，设平面PAB的一个法向量，则则，即，∴．取，得，则，∵二面角的正弦值为，则其余弦值为，∴，又，（，解得，．故．【点评】本题考查线面垂直的判定以及空间向量的应用，属于中档题．17．【分析】（1）由题意，根据抛物线的定义进行求解即可；（2）设直线l的方程为，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理以及向量的坐标运算求出t的值，再进行验证即可得到直线方程．【解答】解：（1）因为动点到直线的距离比它到定点所以动点到直线的距离等于它到定点则动点的轨迹是以，为准线的抛物线，故Γ的方程为；（2）设直线l的方程为，，，联立，消去x并整理得，此时，由韦达定理得，，因为，所以，解得或，则．当时，直线l的方程为；当时，直线l的方程．故直线l的方程为．【点评】本题考查轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．18．（17分）【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义先求出切线斜率，进而可求切线方程；（2）对求导，结合导数与单调性关系对a的范围进行分类讨论即可求解；（3）先对求导，结合导数与单调性关系，不等式恒成立与最值的转化关系即可证明．【解答】解：（1）由题意得，，，∴．∴切线方程为：，即；（2）由题意得，，①当时，上单调递减；②当时，时，．时，．综上，当时，上单调递减．当时，在，在上单调递增．（3）证明：当时，，∴，令，则．构建函数，∴．∴当时，，∴函数单调递增．∴当时，，∴．∵，，∴在（40．∴当，，∴函数单调递减．当，，∴函数单调递增．∴当时，函数取最小值．∵，∴．∴，．构造函数，∴．令，∴．∴当时，．∴当时，．∴，∴．【点评】本题主要考查了导数与单调性及最值关系的综合应用，属于中档题．19．（17分）【分析】（1）结合已知定