大学物理课件：机械振动

机械振动

9.1简谐振动及相关概念9.2简谐振动的规律9.3简谐振动的合成9.4阻尼振动、受迫振动、共振

一、简谐振动及其表达式以弹簧振动为例，研究简谐振动的运动规律物体略加移动后释放，物体在其平衡位置往复运动9.1简谐振动及相关概念1.定义式：弹簧振子运动时，物体相对平衡位置的位移按余弦函数关系随时间变化，具有这种特征的振动就是简谐振动。x是描述位置的物理量,如

y,z或

等.

特点:

(1)等幅振动

(2)周期振动2.受力特点机械振动的力学特点线性恢复力其中

为

固有(圆)频率

1.

振幅A2.周期T和频率v二、简谐振动的物理量物体做一次全振动所经历的时间称为振动周期单位时间内作全振动的次数称为振动频率称为圆频率或角频率：物体离开平衡位置的最大位移3.相位初相位(1)(

t

+

)是t时刻的相位(2)

是t=0时刻的相位——初相O

相位确定了振动的状态.

相位每改变2

振动重复一次,相位在2

范围内变化,状态不重复.

txA-A

=2

相位的意义:以平衡位置为坐标原点建立振动体的动力学方程，必有力与位移成正比反向的关系。三、简谐振动方程的建立

1.确定圆频率例如：弹簧振子单摆单摆做角谐振动的圆频率振动方程角度很小时sinθ≈θ2.由初始条件t=0,x=x0,v=v0确定A和

则所求振动方程为：如图例9-1

一质量为m的物体系于一劲度系数为k的轻弹簧下，挂在固定的支架上，由于物体的重量使弹簧伸长了。如图所示，如果给物体一个向下的瞬时冲击力，使它具有向下的速度，它就上下振动起来，写出振动方程。解：取挂上物体后，物体平衡时的位置为坐标原点O，向下为y轴的正向，当物体偏离平衡位置时它所受的合力为-ky，因此动力学方程为令则上式变为说明物体在做简谐振动。以物体处于平衡位置开始向下运动为计时起点，则，于是得到由知可取或，由于取于是可写出该物体的运动方程为

例9-2在一轻弹簧下端挂砝码m0=100g时，弹簧伸长8cm,现在这根弹簧下端悬挂m=250g的物体，构成弹簧振子，将物体从平衡位置向下拉动4cm,并给以向上的21cm/s初速度（令这时t=0）选x轴向下，求振动方程的数学表达式。例9-3

如图为一谐振动的振动曲线图，求该振动的初相位和周期T。9.2简谐振动的规律一、简谐振动的运动学方程、速度、加速度

简谐振动的运动学方程速度加速度位移、速度、加速度与时间ｔ的关系曲线如图二、简谐振动的能量1.动能2.弹性势能3.机械能（简谐振动系统机械能守恒）弹簧振子在振动过程中，系统的动能和势能虽然分别随时间作周期性变化，但总能量却保持恒定，其量值与振幅的平方成正比。能量随空间变化x能量随时间变化例9-4

一弹簧振子的振动方程为，其中x的单位为m，t的单位为s。设弹簧的弹性系数为k，求：(1)当时，系统的动能和势能；(2)物体在什么位置，系统的动能与势能相等。解:(1)对弹簧振子，系统总能量为在，系统势能为系统动能为(2)设在处系统动能与势能相等

以

为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.时三、简谐振动的旋转矢量表示法例9-5

一质点沿x轴作简谐振动，振幅为A，周期为T。(1)当t=0时，质点对平衡位置的位移x0=A/2，质点向x轴正向方运动，求质点振动的初相；(2)质点从x=0处运动到x=A/2处最少需要多少时间？例9-6

一质点作简谐振动的振动曲线如图，求质点的振动方程。解：从图中可以直接看出质点振动的振幅为A=2cm。在t=0时，质点的位移x0=A/2，而质点的速度为负值，由旋转矢量法可知质点振动的初相为φ=π/3。在t=2s时，质点的位移x0=A/2，而质点的速度为正值，从矢量图分析可知，质点振动的相位应该为φ=5π/3（注意此处不能取φ=-π/3，因为相位是随时间单调增加的）。在t=0到t=2s的过程中，相位从φ=π/3变化到φ=5π/3，经历的时间为Δt=2s，相位的改变为Δφ=4π/3。振动的角频率ω，即相位变化的速率为

ω=Δφ/Δt=2π/3故质点的振动方程为例9-7

一质点沿x轴作简谐振动，振幅A=0.12m，周期T=2s，当t=0时，质点对平衡位置的位移x0=0.06m，此时刻质点向x正向运动。求：(1)简谐振动的运动方程；(2)t=T/4时，质点的位移、速度、加速度。9.3简谐振动的合成一、两个同方向、同频率简谐振动的合成1.分振动:2.合振动:

上式化成简谐振动方程

结论：合振动x

仍是简谐振动

讨论:当A1=A2时,A=0则A=A1+A2,两分振动相互加强，则A=|A1-A2|,两分振动相互减弱，当A1=A2时,A=2A1(1)若两分振动同相,即

2

1=

2k

(2)若两分振动反相,即

2

1=

(2k+1)

二、两个同方向不同频率简谐振动的合成1.分振动:2.合振动:

角频率为

振幅为

这种频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐振动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象称为拍。3.拍的现象拍频:单位时间内合振动振幅强弱变化的次数，即拍原理的应用x1xx2tttOOO三、两个相互垂直、同频率简谐振动的合成1.分振动2.合振动

讨论

当

=

2−

1=0时:即合振动轨迹为一条通过原点的直线上式变为圆方程，合振动轨迹为一个圆当

=/2时：xyxy当时

=0(第一象限)

=

/2

=

=3

/2(第二象限)(第三象限)(第四象限)四、两相互垂直不同频率的简谐运动的合成测量振动频率和相位的方法李萨如图9.4阻尼振动受迫振动共振一、阻尼振动x弹簧振子放在空气中，由于空气阻力作用，振幅将逐渐减小振动物体在阻力作用下，振幅随时间而减小的振动称为阻尼振动。XtOXtO大阻尼临界阻尼XOt二、受迫振动共振x将受迫振动的振幅达到最大值的现象叫共振将共振时的角频率称为共振角频率一.简谐振动及其表达式定义式：弹簧振子运动时，物体相对平衡位置的位移按余弦函数关系随时间变化，具有这种特征的振动就是简谐振动。速度和加速度

振幅A周期T和频率v二.简谐振动的物理量物体做一次全振动所经历的时间称为振动周期单位时间内作全振动的次数称为振动频率称为圆频率或角频率物体离开平衡位置的最大位移三.相位初相位(1)(

t

+

)是t时刻的相位(2)

是t=0时刻的相位——初相三.简谐振动