大学物理课件：动力学基本定理与守恒定律

动力学基本定理与守恒定律一、理解动量、冲量等概念，掌握动量定理、动量守恒定律及其应用；三、掌握保守力作功特点及势能、变力功的计算；四、掌握动能定理、功能原理、机械能守恒定律，及运用守恒定律分析问题的方法；五、了解完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞的特点；教学基本要求：二、理解角动量等概念，掌握角动量定律、角动量守恒定律及其应用；六、了解质心运动定律；3.1.1冲量质点动量定理动量(momentum):(1)

1.冲量(impulse)3.1动量定理及动量守恒定律质点动量定理：给定时间间隔内，合力作用于质点的冲量等于质点在该时间间隔内动量的增量.(2)故(1)式可写为：定义冲量：力对时间的积累2.质点的动量定理注意：由于推导过程应用了牛顿第二定律，故动量定理仅适用于惯性系！3.冲量的分量形式(3)在直角坐标系有：4.碰撞问题与平均冲力(4)例如人从高处跳下、飞机与鸟相撞、打桩等碰撞事件中，作用时间很短，冲力很大.则的值越大！一定时，越小，注意：解：建立惯性系，取球为研究对象，由动量定理得：例1：质量、速率为0.05kg、10m·s-1的刚球,以与钢板法线呈45º角方向撞击板上,以相同的速率和角度弹回.设碰撞时间为0.05s.求此时间间隔内钢板所受平均冲力

.(2)(1)钢板受到的平均冲力为钢球受到平均冲力的反作用力！故所求结果为：(3)讨论：人从两米高处跳下，冲力可达体重的200倍!1.如何避免冲力的危害？！

2.如何利用冲力效应？！看出：如果冲量一定，冲力与作用时间间隔成反比！故有结论：1.避免冲力危害：利用缓冲增加作用，减小冲力；2.利用冲力效应：利用快速作用减小，增加冲力；

例题3.1.1飞鸟对飞机的碰撞是威胁航空安全的重要因素之一，为避免此类事故的发生，机场通常都配备专门的驱鸟设施。设飞机以

的速率正常航行，不幸与质量、身长

的飞鸟相撞，试计算所产生的撞击力。解：分析选地面惯性系，由质点动量定理可求。相对飞机撞击前飞鸟的速度可忽略不计（初态），故两者撞击产生的冲力即为撞击力，设撞击后飞鸟粉碎性伤亡，故可认为其紧贴机身并与飞机同速（末态），则撞击时间为：(1)故飞鸟受到平均冲力的值为:由牛顿第三定律可知飞鸟作用于飞机的平均冲力为:由质点动量定理得:(2)(3)(4)例题3.1.2冰壶又称“冰上溜石”，是一项传统技巧运动，1998年长野冬奥会上被列为正式比赛项目。设质量约20kg的冰壶在冰面上稳定滑动，

时冰壶静止于坐标原点，在水平力

的作用下运动3s，不计冰壶转动，试求其末速。解：由题意不计冰壶转动，故可将其视为质点，设冰面水平并选其为惯性系，坐标原点位于冰面上，由题意已选平面直角坐标系，由质点动量定理可解。冰球静止，即有：故：冰球末速：(1)(2)(3)0.质点系：相互有联系的质点组成的系统。系统内质点间的相互作用叫内力（internalforce）；系统外质点对系统内质点的作用叫外力（externalforce）。性质1.内力的和恒为零；性质2.内力矩的和恒为零；3.1.2质点系动量定理和质点系动量守恒定律例：设有两个质点的质点系；分别对应内力、外力，于是对单个质点应用质点动量定理得到：因为对于内力有：其中：分别为外力、内力；对于该质点系有：作用于系统的合外力的冲量等于系统

动量的增量，内力无贡献。(a)(b)故有：质点系动量定理:作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量，内力无贡献。(4)可写为：将以上结论推广到一般情况得到质点系动量定理；(5)由质点系动量定理：此即质点系动量守恒定律(lawofconservationofmomentum)。令质点系所受合外力为零：

可得系统的总动量守恒：(1)(2)2.质点系动量守恒定律3.若合外力沿某方向投影为零,该方向分动量守恒；

2.守恒条件是合外力为零：但当

时，可略去外力作用近似取系统动量守恒，以扩大其应用范围；

1.系统动量守恒指其总动量不变，但系统内任一质点的动量可变，且各质点的动量必相对同一惯性系；注意：

4.动量守恒定律只在惯性系中成立,是自然界最普遍、最基本的定律之一.

例3.1.3

返回式火箭以2.5

103m·s-1的速率相对惯性系沿水平方向飞行。现使质量100kg的仪器舱脱离，已知后方的返回舱质量200kg.若前者相对后者的水平速率为1.0

103m·s-1.空气阻力不计，试求两者相对惯性系的速度.解：分析受合外力为零系统动量守恒，用绝对速度；有惯性系，设返回舱为惯性系，有：(3)(1)(0)则：(2)初态已知量：末态待求量：

，；例题3.1.3

设在光滑的水平面上有质量

、长

的小车，如图3.2所示车上一端有质量

的少年，起初小车和少年均静止，若少年从车的一端走到另一端时，试求解少年与车相对地面运动的距离

。解：以车、少年为质点系，地面为惯性系，此系统在水平方向受合外力为零，故在此方向质点系动量守恒:因少年、小车在同一方向上做直线运动，故可写为标量式:即有：

两边对时间积分得:(1)(2)(3)于是：又因：由以上两式得：(4)(5)(6)1.质点的角动量设质量m速度，位矢的质点，其相对原点O的角动量为：方向：右手法则.(1)3.2.1质点角动量定理3.2角动量定理及角动量守恒定律例：质点以角速度作半径为的圆周运动，相对圆心的角动量：z2.质点角动量定理(2)质点角动量定理：作用于质点的合力对参考点O

的力矩，等于质点对该点的角动量随时间的变化率.质点角动量定理：对同一参考点O

，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量.(3)冲量矩：3.2.2质点角动量守恒定律质点角动量守恒定律：质点所受对参考点O

的合力矩为零时，质点对该参考点O

的角动量为一恒矢量.(4)恒矢量例：若选太阳中心为参考点，行星受太阳万有引力对参考点的力矩为零，故八大行星对太阳中心角动量守恒！于是均恒在固定平面内沿同方向运动。z例题3.2.1地球同步卫星为运行在地球同步轨道上的人造卫星。在地球同步轨道上布设3颗通讯卫星，可实现除两极以外的全球通讯。该类卫星的运行方向与地球自转同向，其运行轨道为位于地球赤道平面上的圆形轨道，距地心约，其运行周期与地球自转周期相等。设

1

颗地球同步卫星的质量

，试计算该卫星相对地心的角动量。解：分析取地心为惯性系且又为坐标原点，设时刻该卫星的位矢

、速度

，于是可得：其中:带入数据解得：角动量的方向垂直于卫星相对地心的

与

确定的平面.故角动量的大小为:z例题3.2.2哈雷彗星绕太阳的运行轨迹为椭圆曲线，如图所示设太阳位于椭圆的一个焦点，哈雷彗星距太阳的最近距离

，对应速率

，距太阳最远时速率为

，求该彗星距太阳的最远距离。解：分析由于彗星绕太阳公转过程相对其中心所受力矩为零，故相对中心彗星角动量守恒：即有：即该彗星距太阳的最远距离为：.彗星距太阳最近、最远处有：解得：例题3.2.3

开普勒第二定律也称面积定律，即相等时间内太阳与绕其运动行星的连线所扫过的面积相等。试应用角动量守恒定律证明该定律。解：分析

设行星在太阳引力作用下沿椭圆轨道运行，太阳位于椭圆轨道的一个焦点。由于引力方向总是指向太阳中心，故行星所受引力对中心力矩为零，故行星相对中心角动量守恒：

的方向不变说明由

和

所决定平面的方位不变，即行星总在同一个平面内运动!行星对该中心角动量的大小为：其中：代入上式可得：于是位矢在单位时间内扫过的面积为：即在相等的时间内，太阳与绕其运行行星的连线所扫过的面积相等！1.功(work)

：力对质点作的功为力与质点位移的点

乘积，功是标量和过程量。元功为：B**A(1)讨论：3.3动能定理及机械能守恒定律3.3.1功功率(2)(3)可证：合力的功=

分力功的代数和。(4)有关功的问题：(1).功与参照系有关；

(2).功的量纲：2.

瞬时功率：

功率的单位（瓦特）例题3.3.1农场工人从10.0m深的井中提水，初始桶中装有10.0kg的水，由于水桶漏水，提到井口时刚好全部漏完。试求水桶匀速提到井口，工人对于桶内的水所作的功解：分析

取竖直向上为y轴正向，坐标原点位于井内水面处。桶内的水的质量因漏水随提升高度而变，因此本题为变力做功问题。水桶在匀速上提过程中，工人对桶内水的拉力等于桶中水的重力，而水的重力随其位置变化关系为

，其中

，故工人对于桶内的水所作的功为：1.质点动能定理(1)(2)又有：3.3.2动能定理ABθ由自然坐标系求功：

3.动能为状态函数，功是过程量：(4)1.功、动能与参考系有关；2.该定理仅适用于惯性系；质点动能定理：

合力对质点作的功，等于质点动能的增量。

(3)注意例题3.3.2

质量10kg的物体作直线运动所受力与坐标关系如图所示，

时

，试

求

处物体速度的大小。上式表示功的大小等于力

与

轴所围面积，故得：由动能定理：最终解得：解：分析由动能定理可解。由图知到合力的功为：注意初、末态：

1.选择对象及惯性系，受力分析；

2.计算合力功，定初、末态；

3.由定理列方程；

4.求解讨论；应用动能定理求解步骤：2.质点系动能定理

2.对整个质点系有：1.对第个质点应用质点动能定理：考虑n个质点组成的质点系：3.质点系动能定理:

(1)1.作用于质点系所有力之总功等于系统动能增量；2.作用于质点系内、外力功之和等于系统动能增量；质点系动能定理可表述为:1.每一质点受力作功的总和＝内、外力功的总和；2.内力对质点系动能的改变有贡献；注意1.万有引力以

为参考系、

位置矢量为，对

的万有引力为：设：m由A点沿其轨迹移动到B点，则作功为：(1)3.3.3保守力与势能(2)(a)AB2.重力(3)(4)(5)3.弹性力(6)(7)(8)4.保守力与非保守力引力功：(1)重力功：(2)弹力功：(3)b.保守力的功:a.保守力:所作功与路径无关，仅决定于相互作用质点的始末相对位置，此类力称为保守力。c.保守力判据：保守力判据：设有一闭合路径如图所示，则对于保守力来说有：物体沿任意闭合路径运动一周时,

保守力对其所作的功为零！以此可作为保守力或非保守力的判据。

(4)d.非保守力:所作功与路径有关；结论：5.势能a.势能:与物体间相互作用及相对位置有关的能量；弹性势能：引力势能:重力势能:弹力功:引力功:重力功:定义：(5)2.势能具有相对性，其表达式与势能零点选取有关；1.势能是状态函数:3.势能是属于系统的物理量；注意：4.势能计算：(6)(7)弹性势能曲线重力势能曲线引力势能曲线例题3.10从地球表面发射质量

的探测飞船，试求能使飞船脱离地球引力成为人造行星所需最小初速度。解:分析选飞船为研究对象取地球中心为坐标原点，设地球为匀质球体，飞船从初始位置

运动到终态位置

的过程中，万有引力的功为：考虑到所求为最小发射初速度，故

时，飞船的速率：(1)由动能定理得：解得：飞船在地球表面时：故得：(2)(3)1.质点系功能原理由质点系动能定理：

因为有：又有：令机械能：(1)3.3.4功能原理机械能守恒定律2.机械能守恒定律

机械能守恒定律:

只有保守内力作功的情况下，质点系的机械能保持不变.当时，有：(2)(3)

质点系功能原理:质点系机械能的增量等于外力和非保守内力作功之和.由功能原理:a.守恒定律(1)质点动能定理质点系动能定理质点系功能原理机械能守恒定律；忠告：应用物理解决工程问题的工程技术人员，聪明的做法是，优先考虑守恒定律，然后才是其他。b.守恒定律的特点:不追究过程细节而能对系统的状态下结论，这是守恒定律的特点和优点。回顾推导过程：例题3.11

设加农榴弹炮发射质量

的炮弹，且以初速度

做斜抛运动如图所示，试分别应用质点动能定理、功能原理和机械能守恒定律求其上升最大高度。解：分析由质点动能定理知合力功等于质点动能的

增量，于是得:解得:(1)(2)解：分析由功能原理知质点系机械能的增量等于外力和非保守内力作功之和.取炮弹、地球为质点系，坐标原点为零势点，于是可得：解得：(3)(4)解：取炮弹、地球为质点系，坐标原点为零势点，由于：解得：故机械能守恒：即有：3.3.4功能原理机械能守恒定律(5)(6)(7)4.完全非弹性碰撞：两物体碰撞后以同一速度运动.系统动量守恒，机械能不守恒；1.碰撞：两物体作用时间极短而作用力较大的相互作用.一般有：2.完全弹性碰撞：碰撞前后机械能守恒，系统动量守恒；3.非弹性碰撞：由于非保守力作用，碰撞后机械能转换为热能、声能等其他形式的能量.系统动量守恒，机械能不守恒；3.3.5

完全弹性碰撞与完全非弹性碰撞A.碰撞现象特点：1.碰撞作用力较大，可不计外力影响；2.相互作用时间间隔较小；B.碰撞分类：1.完全弹性碰撞：系统动量、机械能均守恒；2.完全非弹性碰撞：系统动量守恒，机械能不守恒；3.非弹性碰撞：系统动量守恒，机械能不守恒；例题3.12如图所示长

的细绳子一端系着质量

的钢球，另一端固定于

点。现把绳拉至水平位置后将钢球由静止释放，钢球在最低点和质量的静止钢块发生完全弹性碰撞后反弹，求碰撞后钢球回弹的高度。解：由钢球、地球组成的系统在钢球下摆过程机械能守恒，选钢球最低位置为重力势能零点，钢球到达最低位置时速率为：则有：设钢球、钢块碰撞后速度大小分别为：

、两者完全弹性碰撞过程动量守恒、机械能守恒：设碰撞后钢球回弹高度，取其最低点为零势点，由机械能守恒定律得：故得：讨论若在上题中与钢球碰撞的是质量

静止的粘土块，碰撞后粘在钢球上与其一起运动，则又能摆起多高？3.3.5完全弹性碰撞与完全非弹性碰撞解：同上题钢球到达最低位置有：钢球和粘土块完全非弹性碰撞，设两者碰撞后速率，根据动量守恒定律得：两者碰撞后继续上摆的过程，粘土块、钢球及地球组成的系统机械能守恒，则：则有：亥姆霍兹（1821—1894），德国物理学家和生理学家，能量守恒定律的创立者之一.于1874年发表《论