华师版数学八上-第13章《全等三角形》完整课件

华东师大版·八年级上册第13章全等三角形（完整课件273）华东师大版·八年级上册第13章全等三角形13.1命题、定理与证明（共2课时）华东师大版·八年级上册第一课时命题新课导入问题：说一说，下面哪些句子具有判断功能？（1）两点之间，线段最短;（2）画直线AB;（3）对顶角相等吗？（4）同位角相等，两直线平行．√√探究新知说一说，我们已经学习了哪些图形的特性？（1）三角形的内角和等于180°；（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；（3）两直线平行，同位角相等；（4）直角都相等.它们都是判断某一件事情的语句。像这样表示判断的语句叫做命题.命题的两层含义:1.命题必须是一个完整的句子，通常是一个陈述句，

包括肯定句和否定句；2.命题必须是对某件事情作出肯定或否定的判断．判断下列语句是不是命题？（1）你饭吃了吗？（2）请画出两条互相平行的直线。（3）如果两个角的和是90º，那么这两个角互余。××√命题的构成:1.命题是由条件和结论两部分组成的，条件是已知事项，

结论是由已知事项推出的事项．2.命题通常可写成“如果……，那么……”的形式．用

“如果”开始的部分就是条件，用“那么”开始的部分就是结论．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；条件结论命题改写的原则如果命题不是“如果……，那么……”的形式，可将其进行改写，改写的原则是不改变命题的原意，必要时可添加一些“修饰”成分使句子完整、语言通顺．改写：直角都相等.如果两个角都是直角，那么这两个角相等.例1解：这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”.该命题的条件是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”.把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出该命题的条件与结论.命题的分类命题分为真命题和假命题.有些命题，如果条件成立，那么结论一定成立，像这样的命题称为真命题；而有些命题，条件成立时，不能保证结论总是正确，也就是说结论不成立，像这样的命题，称为假命题．两直线平行，内错角相等.同位角相等.真命题假命题真假命题的判断:（1）要判断一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证．（2）要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子就可以了.在数学中，这种方法称为“举反例”.例如，要说明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，只需举出一个反例(某一锐角与某一钝角的和不是180°):___________________________________________锐角是30°，钝角是120，和为150°.判断下列命题是真命题还是假命题.试一试1.（1）如果一个数是偶数，那么这个数是4的倍数；

（2）等角的余角相等；（3）同位角相等；（4）

若xy＝0，则x＝0．分析:对于（1），这个数若是2，那么它就不是4的倍数，结论不正确，故是假命题.判断下列命题是真命题还是假命题.试一试1.（1）如果一个数是偶数，那么这个数是4的倍数；

（2）等角的余角相等；（3）同位角相等；（4）

若xy＝0，则x＝0．对于（3），要对构成同位角的几条直线的位置关系分类讨论，如果两直线不平行，那么这个判断是错误的，故是假命题.判断下列命题是真命题还是假命题.试一试1.（1）如果一个数是偶数，那么这个数是4的倍数；

（2）等角的余角相等；（3）同位角相等；（4）

若xy＝0，则x＝0．对于（4），有可能y＝0，结论不正确，故是假命题．解:（1）（3）（4）是假命题；（2）是真命题．2.试用举反例的方法说明下列命题是假命题．（1）如果a＋b≥0，那么ab＞0；（2）两个锐角的和是锐角．解:（1）取a＝2，b＝－1，则a＋b＝2＋(－1)＝1＞0，但是ab＝2×(－1)＝－2＜0，所以此命题是假命题．2.试用举反例的方法说明下列命题是假命题．（1）如果a＋b≥0，那么ab＞0；（2）两个锐角的和是锐角．（2）取两个锐角的度数分别为30°,60°,则30°＋60°＝90°是直角，而不是锐角,所以此命题是假命题．把下列命题改写成“如果……，那么…….”的形式，并分别指出它们的条件和结论:

（1）全等三角形的对应边相等；

（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.解:（1）如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应边相等．条件：“两个三角形全等”，结论：“对应边相等”.随堂练习把下列命题改写成“如果……，那么…….”的形式，并分别指出它们的条件和结论:

（1）全等三角形的对应边相等；

（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.随堂练习解:（2）如果在同一平面内两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．条件：“同一平面内两条直线垂直于同一条直线”，结论：“两条直线互相平行”.指出下列命题中的真命题和假命题:

（1）同位角相等，两直线平行；（2）多边形的内角和等于180°；（3）三角形的外角和等于360°；（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行.真命题四边形的内角和是360°.假命题真命题真命题如图,从①∠1＝∠2；②∠C＝∠D

；③∠A

＝∠F

三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（）A.

0

B.

1

C.2

D.3D课堂小结命题概念：组成条件：已知事项结论：由已知事项推出的事项分类表示判断得语句真命题：条件成立时，结论一定成立假命题：条件成立时，结论不一定成立课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.华东师大版·八年级上册第二课时定理与证明新课导入问题1：什么是命题？命题的结构是什么？定义：判断一件事情的语句.构成：每个命题都是由题设、结论两部分组成.命题常写成“如果……那么……”的形式.问题2：命题如何分类？如何证明一个命题是假命题？真命题和假命题举反例探究新知（1）两点确定一条直线；（2）两点之间，线段最短；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；（5）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.回忆一下，我们学过哪些真命题？这些都是公认的真命题，我们把它视为基本事实.基本事实：公认的真命题视为基本事实.它们是用来判断其他命题真假的原始依据，即出发点．定理：数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．1.下列命题中属于基本事实的是（）A.内错角相等，两直线平行B.三角形的外角和等于360°C.两点确定一条直线D.直角三角形两锐角互余试一试C2.下列命题是定理的是（）A.两点之间，线段最短B.两直线平行，内错角相等C.两点确定一条直线D.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B基本事实、定理、真命题之间的联系与区别：命题真命题定理从基本事实或其他真命题出发可以作为进一步判断其他命题真假的依据基本事实与定理的联系与区别：定理与基本事实都是真命题，都是我们解决问题的依据，它们的区别是:基本事实是公认的真命题，不需要推理论证；定理是由基本事实直接或间接推理论证得到的.思考（1）一位同学在钻研数学题时发现:于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论:从质数2开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定也是质数.他的结论正确吗？2+1=3，2×3+1=7，2×3×5+1=31，2×3×5×7+1=211计算一下2×3×5×7×11+1与2×3×5×7×11×13+1，你发现了什么？（2）如图所示，一位同学在画图时发现:三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.于是他得出结论:任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.他的结论正确吗？（3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论:n边形的内角和等于(n-2)×180°.这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？实际上，这是一个正确的结论.上面几个例子说明:通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，通过这种方式得到的结论，还需进一步加以证实.根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明．证明：证明必须做到“言必有据”，每步推理都要有依据，它们可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、已经学过的定理，以及等式的性质、等量代换等．证明的依据：已知:如图，在△ABC中，∠C=90°.求证:∠A+∠B=90°.直角三角形的两个锐角互余.证明:∠A＋∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)，又∵∠C=90°(已知)，∴∠A+∠B=180°-∠C=90°(等式的性质).证明的一般步骤是：①审清题意，找出命题中的条件和结论;②根据题意画出图形，图形要正确且具有一般性，不能画特殊图形;③用数学语言写出“已知”“求证”;④找出证明思路;⑤写出证明过程，每一步都要有理有据;⑥检查表达过程是否正确、完整．求证:平行线的内错角的平分线互相平行．解:已知:如图，AB∥CD

，EF

交AB于点E，交CD

于点F，EM

平分∠BEF，FN

平分∠EFC．求证:EM∥FN

．证明:∵AB∥CD(已知)，∴∠BEF＝∠CFE(两直线平行，内错角相等)．∵EM

平分∠BEF，FN

平分∠EFC(已知)，∴∠2＝∠BEF，∠1＝∠CFE(角平分线的定义)．∴∠1＝∠2(等量代换)．∴EM

∥FN(内错角相等，两直线平行)．把下列定理改写成“如果……，那么……”的形式，指出它们的条件和结论，并用演绎推理证明题（1）所示的定理:（1）同旁内角互补，两直线平行；（2）三角形的外角和等于360°.练习解:（1）如果同旁内角互补，那么两条直线平行．条件是“同旁内角互补”，结论是“两条直线平行”．已知:如图，直线AB、CD

和直线EF

交于点G、H

，∠BGH

＋∠GHD

＝180°，求证:AB∥CD

．证明:∵∠BGH＋∠GHD

＝180°，∠1＋∠BGH＝180°,∴∠1＝∠GHD(等角的补角相等)，∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)（1）同旁内角互补，两直线平行；（2）三角形的外角和等于360°.已知:如图，△ABC

中，∠DAC，∠EBA

，∠BCF

为△ABC

的外角．求证:∠DAC＋∠EBA

＋∠BCF＝360°．证明:由题意，可得∠BAC＋∠CAD

＝180°，∠ABC＋∠EBA

＝180°，∠BCA

＋∠BCF＝180°，∴∠BAC＋∠CAD

＋∠ABC

＋∠EBA

＋∠BCA

＋∠BCF＝540°．由三角形内角和定理知∠BAC

＋∠ABC

＋∠ACB＝180°，∴∠DAC＋∠EBA

＋∠FCB＝540°－180°＝360°．即三角形外角和等于360°．习题13.1判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例加以说明:

（1）两个锐角的和等于直角;（2）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.解:（1）假命题，例:50°和20°是两锐角，但50°＋20°＝70°≠90°．（2）假命题，例:如图，直线AB、CD

被EF所截，但AB

不平行于CD

，此时，∠EMB≠∠END

．2.把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式:（1）全等三角形的对应角相等;

（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.解:（1）如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等．（2）如果一个等腰三角形有一个角等于60°，那么它是等边三角形．3.如图，已知AB⊥MN，CD⊥MN，垂足分别为点E、F，直线PQ分别交AB、CD于点S、T.求证:∠AST=∠STD.对于上述问题，请将下列证明过程补充完整.证明AB⊥MN，CD⊥MN(已知)，∴AB∥CD(在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行)，____________________________________________________________________________________________________________________________∵AB

和CD

被PQ

所截,∴∠AST

＝∠STD(两直线平行,内错角相等)．课堂小结定理与证明基本事实定理定义常见的几条基本事实证明定义与基本事实的区别定义证明的一般步骤课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.华东师大版·八年级上册第13章全等三角形13.2三角形全等的判定

（完整课件101页）华东师大版·八年级上册1.全等三角形2.全等三角形的判定条件新课导入下图中的几组图形有怎样的关系？（1）（2）（3）探究新知全等三角形能够完全重合的两个三角形是全等三角形．ABCA′B′C′能相互重合的顶点是对应顶点．能相互重合的边是对应边．能相互重合的角是对应角．A与A′、B与B′、C与C′AB与A′B′、BC与B′C′、CA与C′A′∠A与∠A′、∠B与∠B′、∠C与∠C′ABCA′B′C′全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.全等三角形的表示:“全等”用符号“≌”来表示，读作“全等于”.记两个三角形全等时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.记作△ABC≌△A′B′C′做一做如图，以直线l为对称轴，画出△ABC的对称图形，并指出它们的对应顶点﹑对应边和对应角.若已知∠A=60°，∠B=80°，则∠D=_____，∠E=_____，∠F=_____.60°80°40°1.如图，将△ABC

绕点B

按顺时针方向旋转60°后得△A′BC′．指出对应顶点、对应边和对应角．练习解:对应顶点:A

与A′，B

与B，C

与C′；对应边:AB

与A′B，AC与A′C′，BC与BC′．对应角:∠CBA

与∠C′BA′，∠A

与∠A′，∠C

与∠C′．【解析】∵△ABC≌△DEF，∴∠ACB＝∠DFE．∴∠DFE

＝180°－(∠A

＋∠B)＝85°.2.如图，已知△ABC≌△DEF，∠A

＝40°，∠B

＝55°，则∠DFE

的度数是________．85°全等三角形的判定条件对于全等三角形，从它的边、角来看，我们知道:若两个三角形的三条边与三个角都分别对应相等，那么这两个三角形一定可以互相重合，即全等.能否再减少一些条件？对两个三角形来说？六个元素(三条边、三个角)中至少要有几个元素分别对应相等，这两个三角形才全等呢？思考探索对应相等的元素三角形是否全等如果两个三角形只有一组对应相等的元素，那么会出现几种情况？这两个三角形会全等吗？一条边不一定一个角不一定如果只知道两个三角形有一组对应相等的元素(边或角)﹐那么这两个三角形不一定全等.探索如果两个三角形有两组对应相等的元素，那么会出现几种可能的情况呢？这时，这两个三角形会全等吗？由于一个三角形有三条边、三个角共六个元素，所以可能出现的情况会较多.可能的情况有:__________________________________________________________________________________两个角对应相等两条边对应相等一个角对应相等和一条边对应相等如果只知道两个三角形有两组对应相等的元素(边或角)，那么这两个三角形不一定全等.试一试分别按照下面的条件，用刻度尺或量角器画三角形，并和周围的同学比较一下，所画的图形是否全等.（1）三角形的两个内角分别为30°和70°.（2）三角形的两条边分别为3cm和5cm.（3）三角形的一个内角为60°，一条边为3cm.（i）这条长3cm的边是60°角的邻边；

（ii）这条长3cm的边是60°角的对边.（1）三角形的两个内角分别为30°和70°.（2）三角形的两条边分别为3cm和5cm.（3）三角形的一个内角为60°，一条边为3cm.（i）这条长3cm的边是60°角的邻边；

（ii）这条长3cm的边是60°角的对边.你一定会发现，如果只知道两个三角形有两组对应相等的元素，那么这两个三角形是否全等的情况为:对应相等的元素三角形是否全等两个角不一定两条边不一定一个角和一条边不一定由以上的探索与发现，我们知道两个三角形只有一组或两组对应相等的元素(边或角)，那么这两个三角形不一定全等.概括三角都对应相等的三角形不一定全等．如果两个三角形有三组对应相等的元素(边或角)，又会如何呢？三边都对应相等的三角形全等．练习如图，将△AOB绕点O

旋转180°，得到△COD，这时△AOB≌△_____.这两个三角形的对应边是：AO与______，OB与_______，BA与_______；

对应角是：∠AOB与_______，∠OBA与______，

∠BAO与________.CODCOODDC∠COD∠ODC∠DCO2.如图，AD//BC，AD=BC，AE⊥BC，将△ABE沿

AD方向平移，使点A与点D重合，点E平移至点F，

则△ABE≌______，∠F=_____°.△DCF903.如图，点D是△ABC内一点，∠BAC=90°，AB=AC，将△ABD绕点A逆时针旋转90°，点D旋转至点E，则△ABD≌______，AD=______，BD=______.△ACEAECE课堂小结全等三角形定义性质1.全等三角形的对应边相等2.全等三角形的对应角相等探究三角形全等的条件能够完全重合的两个三角形1.一个元素（边或角）两个三角形不一定全等2.两个元素（边或角）两个三角形不一定全等3.三个元素（边或角）两个三角形可能全等课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.华东师大版·八年级上册3.边角边新课导入问题：因铺设电线的需要，要在池塘两侧A

、B

处各埋设一根电线杆(如图)，现有一足够长的米尺却无法直接量出A

、B

两点间的距离．同学们,你们知道怎样测出A

、B

两点之间的距离吗？探究新知探索为了探索三角形全等的条件，现在我们考虑两个三角形有三组对应相等的元素，那么此时会出现几种可能的情况呢？将六个元素(三条边、三个角)分类组合，可能出现:两边一角对应相等，两角一边对应相等，三角对应相等，三边对应相等.你认为这些情况下，两个三角形会全等吗？下面将对这四种情况分别进行讨论.先让我们观察两个三角形有两条边和一个角分别对应相等的情况，这时这两个三角形一定全等吗？边—角—边边—边—角做一做如图，已知两条线段和一个角,试画一个三角形，使这两条线段为其两边，这个角为这两边的夹角.把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，看看是否完全重合.下面我们用叠合的方法，看看你和你同伴所画的两个三角形是否可以完全重合.如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB=A′B′，∠A=∠A′，AC=A'C'.△ABC与△A′B′C′重合，这就说明这两个三角形全等.由此可得判定三角形全等的一种简便方法：基本事实两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.简记为S.A.S（或边角边）“边角边”判定定理用符号语言表示为：例如：在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠A=∠A′，AC=A′C′则△ABC≌△A′B′C′（S.A.S.）.例1如图，已知线段AC、BD

相交于点E，AE=DE，BE=CE.求证:△ABE≌DCE.证明：在△ABE和△DCE中，∵AE=DE(已知)，∠AEB=∠DEC(对顶角相等)，BE=CE(已知)，∴△ABE≌DCE(S.A.S.).如图，有一池塘.要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD=CA.连结BC并延长到E，使CE=CB.连结DE，那么DE的长就是A、B的距离.你知道其中的道理吗？例2已知:AD与BE相交于点C，CA=CD，CB=CE.求证:AB=DE.证明：在△ACB和△DCE中，∵CA=CD(已知)，∠1=∠2(对顶角相等），CB=CE(已知)，∴∠ACB≌△DCE(S.A.S.).∴AB=DE(全等三角形的对应边相等).做一做如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形.此时(即“边边角”对应相等)两个三角形不一定全等.ABCD练习1.根据下面的条件，能否判断如图所示的两个三角形全等？（1）AC=DF，∠C=∠F，BC=EF；（2）BC=BD，∠ABC=∠ABD.（1）（2）能能证明:在△ADC

和△AEB中，∵AD

＝AE，∠A

＝∠A

，AC＝AB，∴△ADC≌△AEB(S.A.S.).2.如图，在△ABC中，AB=AC，在AB、AC上分别截取相等的两条线段AD、AE，并连结BE、CD.求证:△ADC≌△AEB.3.如图所示，小明想设计一种测零件内径AB的卡钳.在卡钳的设计中，要使测出的DC长度恰好为内径AB的长度，那么卡钳各部分的尺寸应满足什么条件呢？请提出你的想法.解:满足OA

＝OC，OB＝OD

．∵OA

＝OC，OB＝OD

，∠AOB＝∠COD

，∴△AOB≌△COD(S.A.S.)，∴AB＝CD

．课堂小结边角边判定定理两边及其夹角分别相等的两个三角形全等应用边角边证明全等，解决问题应用课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.华东师大版·八年级上册4.角边角新课导入问题：如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪一块去呢？你能帮这位同学出主意吗？探究新知前面我们已经讨论，当两个三角形有两边一角对应相等时，这两个三角形是否全等的两种情况，得到了全等三角形的一种判定方法.现在，我们讨论两角一边的情况:如果两个三角形有两个角、一条边分别对应相等，那么这两个三角形全等吗？角—边—角角—角—边做一做如图，已知两个角和一条线段，试画一个三角形，使这两个角为其内角，这条线段为这两个角的夹边.步骤:1.画一条线段AB，使它等于3cm；2．画∠MAB=60°，∠NBA=40°，MA与NB交于点C.△ABC即为所求.把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，或将你画的三角形剪下，放到其他同学画的三角形上，看看是否完全重合.所画的三角形都全等吗？△ABC与△A′B′C′重合，说明这两个三角形全等.

基本事实两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简记为A.S.A.（或角边角）“角边角”判定定理用符号语言表示为:例如:在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，AB＝A′B′，∠B＝∠B′，则△ABC≌△A′B′C′(A.S.A.)例3如图，已知∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC．求证:△ABC

≌△DCB，AB=DC.解：在△ABC和△DCB中，∵∠ABC=∠DCB

（已知），BC=CB（公共边），∠ACB=∠DBC（已知），∴△ABC≌△DCB（A.S.A.）.∴AB=DC（全等三角形的对应边相等）.如图，如果两个三角形有两个角分别对应相等，且其中一组相等的角的对边相等，那么这两个三角形是否一定全等？思考分析：因为三角形的内角和等于180°，因此有两个角分别对应相等，那么第三个角必定对应相等，于是由“角边角”，便可证得这两个三角形全等.下面我们证明这个定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简记为A.A.S（或角角边）.已知:如图，∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′.求证:△ABC≌△A'B'C'.证明:∵∠A=∠A′，∠B=∠B′

(已知)，∠A′

+∠B′

+∠C′

=180°(三角形的内角和等于180°)，∴∠A+∠B+∠C′

=180°(等量代换).又∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°），∴∠C=∠C′(等式的性质).在△ABC和△A′B′C′中，∵∠ABC=∠A′B′C′，BC=

B′C′，∠C=∠C′，∴△ABC≌△A′B′C′（A.S.A.）.“角边角”中的边必须是两组对应相等的角的夹边．特别提醒“角角边”中的边是其中一组等角的对边．1.如图，∠A=∠B，CA=CB，△CAD和△CBE全等吗？

CD和CE相等吗？试说明理由.解:△CAD≌△CBE，CD＝CE．理由:在△CAD和△CBE

中，∵∠C＝∠C，CA＝CB，∠A＝∠B，∴△CAD≌△CBE(A.S.A.)，∴CD＝CE.练习2.已知四边形ABCD，对角线BD将其分成两个三角形，其中∠ABD=∠C，∠ADB=∠DBC.此时这两个三角形全等吗？请画出图形，并说说你的想法.不一定全等．不满足全等的判定条件．3.课间，小明和小聪在操场上突然争论起来，他们都说自己比对方长得高.这时数学老师走过来，笑着对他们说:“你们不要争了，其实你们一样高，瞧瞧地上，你俩的影子一样长!”你知道数学老师为什么能从他们的影长相等就断定它们的身高相同吗？你能运用全等三角形的有关知识说明其中的道理吗？(假定太阳光线是平行的)解:由于人站立时，垂直于地面，当太阳光线照射人头顶到落到地面上时，太阳光与地面所成的夹角相等，当影长相等时，由身高、影长、太阳光线所形成的两个三角形全等．所以两人身高相同．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE//AB，交AD的延长线于点E．求证:AD=ED.例4证明:

CE//AB(已知)，∵∠ABD=∠ECD，∠BAD=∠CED(两直线平行，内错角相等).在△ABD与△ECD中，∵∠ABD=∠ECD，∠BAD=∠CED(已证)，BD=CD(已知)，∴△ABD≌△ECD(A.A.S.)，∴AD=ED(全等三角形的对应边相等).概括要证明两条线段AD、ED相等，我们发现它们分别属于△ABD与△ECD，若能证明这两个三角形全等，便可利用全等三角形的对应边相等得到要证明的结论.这就是通常证明两条线段相等的一个重要方法.可以采用类似的方法证明两个角相等.求证:全等三角形对应边上的高相等.已知:如图，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC的BC边和△A′B′C′的B′C′边上的高.求证:AD=A′D′.例5分析：从图中可以看出，AD、A′D分别属于△ABD与△A′B′D′，要证AD=A′D′，只需证明这两个三角形全等即可.证明：∵△ABC≌△A′B′C′(已知)，∴AB=A′B′

(全等三角形的对应边相等)，∠B=∠B′

(全等三角形的对应角相等).在△ABD和△A′B′D′中，∵∠ADB=∠A′D′B′

=90°(已知)，∠B=∠B′(已证)，AB=A′B′(已证)，∴△ABD≌A′B′D′(A.A.S.)，∴AD=A′D′(全等三角形的对应边相等).求证:全等三角形对应边上的高相等.已知:如图，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC的BC边和△A′B′C′的B′C′边上的高.求证:AD=A′D′.例5思考全等三角形对应边上的中线、对应角的平分线又有什么关系呢？你能说明其中的道理吗？△ABC≌△A′B′C′AD、AD′分别是对应边上中线AD=AD′是中线△ABC≌△A′B′C′BD、BD′分别是对应角的平分线BD=BD′是中线练习1.如图，∠1=∠2，∠C

=∠D.求证:AC=AD.证明:在△ABC和△ABD中，∵∠1＝∠2，∠C＝∠D

，AB＝AB，∴△ABC≌△ABD(A.A.S.)，∴AC＝AD

．2.如图，AB//CD，AE//CF，BF=DE.试找出图中

其他的相等关系，并给出证明.解:AB=CD；AE=CF；∠A=∠C.提示:利用已知条件证明△ABE≌△CDF.课堂小结角边角判定定理角边角应用角边角、角角边判定三角形全等应用角角边应用角边角、角角边解决问题课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.华东师大版·八年级上册5.边边边复习导入问题：目前我们已经学习了几种三角形全等的判定方法？3种，分别是S.A.S.、A.S.A.、A.A.S.有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等S.A.S.A.S.A.A.A.S.探究新知如果两个三角形有三个角分别对应相等，那么这两个三角形一定全等吗？不一定，如下面的两个三角形就不全等。如果将上面的三个角换成三条边，结果又如何呢？做一做如图，已知三条线段，试画一个三角形，使这三条线段分别为其三条边.把你画的三角形与你同伴画的三角形进行比较，或将你画的三角形剪下，放到你同伴画的三角形上，看看是否完全重合.所画的三角形都全等吗？

基本事实三边分别相等的两个三角形全等.简记为S.S.S.（或边边边）用符号语言表示为:例如:在△ABC

和△A′B′C′中，若AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，则△ABC≌△A′B′C′(S.S.S.)例6如图，在四边形ABCD中，AD=CB，AB=CD.求证:∠B=∠D.证明：在△ABC

和△CDA

中，∵CB=AD

，AB=CD(已知)，AC=CA(公共边)，

∴△ABC≌△CDA(S.S.S.).∴∠B=∠D(全等三角形的对应角相等).读一读至此，我们已经学习了关于全等三角形的三个基本事实，这是进行演绎推理的重要依据.它们是从静态的角度探索发现的判定方法，其本质与动态的全等三角形定义是一致的，即在这些条件下，两个三角形一定可以通过图形的基本变换(轴对称、平移与旋转)而相互重合.概括我们可以将前面关于全等三角形判定的探索得到的结论归纳成下表(请补充完整表格中的内容):对应相等的元素两边一角两角一边三角三边两边及其夹角两边及其中一边的对角两角及其夹边两角及其中一角的对边三角形是否一定全等一定（S.A.S.）一定（A.S.A.）不一定（S.S.A.）一定（A.A.S.）不一定（A.A.A.）一定（S.S.S.）三角形全等的判定思路为:（1）已知两边:①找夹角（S.A.S.）；②找第三边（S.S.S.）．（2）已知一边一角:①边为角的对边时找任一角（A.A.S.）；②边为角的邻边时，可找夹角的另一边（S.A.S.），也可以找

任一角（A.A.S.或A.S.A.）．（3）已知两角:①找夹边（A.S.A.）②找其中一角的对边（A.A.S.）练习1．如图，根据相应的条件，能否判定下面分别给出的两个三角形全等？（1）线段AD与BC相交于点O，AO=DO，BO=CO.△ABO与△DCO.（2）AC=AD，BC=BD.△ABC与△ABD.△ABO≌△DCO；△ABC≌△ABD;（1）（2）（3）线段AC与BD相交于点O，∠A=∠C，∠B=∠D.

△ABO与△CDO.（4）∠CAB=∠DBA，∠1=∠2.△ABC与△BAD.（3）（4）不全等．(缺少对应边相等的条件);△ABC≌△BAD．2.如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，

BE=CF．求证:∠A=∠D.并找出图中相互平行的线段，说明

你的理由.证明:∵BE＝CF，∴BE＋CE＝FC＋EC，∴BC＝EF．在△ABC

和△DEF中，∵AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF(S.S.S.)，∴∠A

＝∠D

．AC∥DF．因为∠ACB＝∠DFE，所以AC∥DF．AB∥DE．因为∠B＝∠DEF，所以AB∥DE．课堂小结边边边判定定理三边分别相等的两个三角形全等应用应用S.S.S.判定三角形全等三角形全等的判定方法的综合应用课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.华东师大版·八年级上册6.斜边直角边新课导入问题：证明一般三角形全等有哪些方法？1.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.简记为S.A.S.（或边角边）2.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简记为A.S.A.（或角边角）3.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的

两个三角形全等.简记为A.A.S.（或角角边）.4.三边分别相等的两个三角形全等.简记为S.S.S.（或边边边）探究新知我们已经知道，对于两个三角形，如果有“边边角”分别对应相等，那么不能保证这两个三角形全等.在两个直角三角形中，当斜边和一条直角边分别对应相等时，也具有“边边角”对应相等的条件，这时这两个直角三角形是否全等呢？做一做如图，已知两条线段(这两条线段长不相等)，试画一个直角三角形，使长的线段为其斜边、短的线段为其一条直角边.步骤:1.画一条线段AB，使它等于2cm;2.画∠MAB=90°(用量角器或三角尺);3.以点B为圆心、3cm长为半径画圆弧,交射线AM于点C;4.连结BC.△ABC即为所求.把你画的直角三角形与其他同学画的直角三角形进行比较，或将你画的直角三角形剪下，放到其他同学画的直角三角形上，看看是否完全重合.所画的直角三角形都全等吗？换两条线段，试试看，是否有同样的结论？斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简记为H.L.（或斜边直角边）.例7如图，已知AC=BD，∠C=∠D=90°.求证:BC=AD.证明：

∵∠C=∠D=90°(已知)，∴△ABC与△BAD

都是直角三角形(直角三角形的定义).在Rt△ABC

与Rt△BAD

中，∵AB=BA(公共边)，AC=BD(已知)，∴Rt△ABC

≌Rt△BAD(H.L.)BC=AD(全等三角形的对应边相等).1.一般三角形的全等与直角三角形的全等是从一般到特殊的关系，二者之间的联系为:一般三角形的判定方法同样适用于直角三角形．2.判定一般三角形的全等与直角三角形的全等的区别:（1）一般三角形全等的条件“S.S.S.”在直角三角形中被“H.L.”代替，无需找第三条边对应相等；（2）“两边及其中一边的对角对应相等”不能判定一般三角形全等，但能判定直角三角形全等．练习如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F为垂足，DE=DF.求证:△BED≌△CFD.证明:∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED

＝∠CFD

＝90°，∴△BED与△CFD

都是直角三角形．∵D

为BC

的中点,∴BD

＝CD．在Rt△BED

与Rt△CFD

中，∵BD

＝CD

，DE＝DF，∴Rt△BED≌Rt△CFD(H.L.)．2.如图，AC=AD，∠C=∠D=90°．求证:BC=BD.证明:在Rt△ACB和Rt△ADB中,∵AB＝AB，AC＝AD

，∴Rt△ACB≌Rt△ADB(H.L.)．∴BC＝BD

．如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的跨度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B与∠F的大小有什么关系？说说你的想法和理由.解:∠B＋∠F

＝90°．可以利用已知条件证明Rt△ABC≌Rt△DEF(H.L.)，∴∠B

＝∠DEF，∴∠B＋∠F

＝90°．习题13.21.如图，已知AB=DC，

AC=DB.求证:△ABC≌△DCB.证明:在△ABC

和△DCB

中，∵AB＝DC，AC＝DB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB(S.S.S.)．2.如图，已知∠1=∠2，AO=BO.求证:△AOP≌△BOP.证明:在△AOP

和△BOP中，∵OP＝OP

，∠1＝∠2，OA

＝OB，∴△AOP≌△BOP(S.A.S.)．3．如图，要使各对三角形全等，还需要增加什么条件？（1）∠A=∠D，∠B=∠F；（2）∠A=∠D，AB=DE.（1）（2）解:（1）AB＝DF(或AC＝DE

或BC＝FE);（2）∠B＝∠E(或∠C＝∠F或AC＝DF)．4.如图，已知AB与CD相交于点O，∠A=∠D，

CO=BO.求证:△AOC≌△DOB.证明:在△AOC

和△DOB

中，∵∠A

＝∠D

，∠AOC＝∠DOB，CO＝BO，∴△AOC≌△DOB(A.A.S.)5.如图，∠1=∠2，∠3=∠4

.求证:AB=AC.证明:∵∠3＝∠4，∴∠ADC＝∠ADB．在△ADC

和△ADB中，∵∠1＝∠2，AD

＝AD，∠ADC＝∠ADB，∴△ADC≌△ADB(A.S.A.)，∴AB

＝AC．6.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是边BC上的高.求证:（1）BD=DC；（2）∠BAD=∠CAD.证明:∵AD

是BC

边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．在Rt△ADB

和Rt△ADC

中，AB＝AC，AD

＝AD，∴Rt△ADB≌Rt△ADC(H.L.)，∴BD

＝DC，∠BAD

＝∠CAD

．一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成两块，他是否可以只带其中一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？他该带哪块去呢？请用数学知识解释你的结论.解:可以．带右边的一块去．这样可以根据三角形全等的判定方法可知，具有全等的3个条件，即A.S.A.课堂小结斜边直角边判定定理形式斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等H.L.（斜边直角边），存在于直角三角形中判定直角三角形全等与判定一般三角形全等的联系与区别应用用H.L.解决问题课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.华东师大版·八年级数学上册第13章

全等三角形（共2课时）华东师大版·八年级数学上册第一课时新课导入法国巴黎的卢浮宫城市大桥建筑探究新知等腰三角形

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。ABC如图，AB＝AC，△ABC是等腰三角形。腰腰底边顶角底角底角做一做

剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD.你能发现什么现象吗?ABCD折叠的两个部分互相重合。轴对称图形对称轴∠B＝∠CABCD等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等.（简写成“等边对等角”）你还有什么方法可以证明“等边对等角”呢？ABC已知：如图，在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C证明：画∠BAC的平分线AD.D12在△ABD和△ACD中，∵AB＝AC（已知）∠1＝∠2（角平分线的定义）AD＝AD（公共边）∴△ABD≌△ACD（S.A.S）∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）从这里你还可以得到什么结论？ABCD12AD既是底边上的中线，又是顶角的平分线和底边上的高。ABCD12等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线相互重合。等腰三角形的性质：（简称“三线合一”）已知：在△ABC中，AB＝AC，∠B＝80°.求∠C和∠A的大小.∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C=80°（等边对等角）又∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°）∴∠A＝180°－∠B－∠C（等式的性质）

＝180°－80°－80°=20°如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30°.求：（1）∠ADC的大小；（2）∠1的大小.2（1）∵AB＝AC，BD＝DC（已知）∴AD⊥BC（等腰三角形的“三线合一”）∴∠ADC＝∠ADB＝90°.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30°.求：（1）∠ADC的大小；（2）∠1的大小.2（2）∵∠1＋∠B＋∠ADB＝180°（三角形的内角和等于180°），∠B＝30°（已知），∴∠1＝180°－∠B－∠ADB（等式的性质）

＝180°－30°－90°=60°ABC等腰三角形AB＝ACABCAB＝AC＝BC等边三角形ABCAB＝AC＝BC

三条边都相等的三角形是等边三角形.在等边三角形中，每个角的度数是多少呢？ABC显然，AB＝AC，根据“等边对等角”，可以得到∠B＝∠C同理可得∠A＝∠B∴∠A＝∠B＝∠C而∠A＋∠B＋∠C＝180°∴∠A＝∠B＝∠C＝60°ABC等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.等边三角形的性质：正三角形随堂练习1.填空：（1）如果等腰三角形的一个底角为50°，那么其余两个角的大小分别为_____和______；（2）如果等腰三角形的顶角为80°，那么它的一个底角的大小为______.50°80°50°2.如图，点E在BC上，AE//DC，

AB=AE.求证：∠B=∠C.ADCEB证明：∵AE//DC，∴∠C=∠AEB.又∵AB=AE，∴∠B=∠AEB，∴∠B=∠C.3.如图，在△ABC中，AB=AC，BD

⊥AC，CE

⊥AB，垂足分别为点D、E.求证：BD=CE.证明：∵AB＝AC，∴∠EBC＝∠DCB，∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC＝∠CDB＝90°.在△BEC和△CDB中，∠BEC＝∠CDB，∠EBC＝∠DCB，BC＝CB∴△BEC≌△CDB（A.A.S.），∴BD＝CE.4.如图，AB=AC，∠B=40°，点D在BC上，且∠DAC=50°．求证：BD=CD.ABCD证明：∵AB＝AC，∠B＝40°，∠C＝40°，∴∠BAC＝100°.∵∠DAC＝50°∴∠BAD＝∠CAD＝50°.∵AB＝AC，∴BD＝CD（等腰三角形的“三线合一”）课堂小结等腰三角形底与腰不相等定义等边对等角→证明角相等三线合一底与腰相等→等边三角形定义等腰三角形的所有性质特有性质：三边相等；三个角都等于60°华东师大版·八年级数学上册第二课时复习导入ABC等腰三角形的性质：等腰三角形两腰相等。等腰三角形两底角相等（等边对等角）。等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合（三线合一）。等腰三角形是轴对称图形。探究新知

对于一个三角形，怎样判定它是不是等腰三角形呢？

按定义，看它是否有两条边相等。你还能找到其他的判定方法吗？探索

我们知道，等腰三角形的两个底角相等.反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗？画画看，你发现了什么？如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.探索如何证明这一结论？ABC设法构造两个全等三角形.已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=ACABC证明：画∠BAC的平分线交BC于点D.12D在△BAD和△CAD中，∵∠B＝∠C（已知），∠1＝∠2（角平分线的定义）AD＝AD（公共边）∴△BAD≌△CAD（A.A.S.）∴

AB＝

ACABC

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.（简写成“等角对等边”)。几何语言：∵∠B=∠C

（已知）

∴AB=AC（等角对等边）如图，在△ABC中，已知∠A＝40°，∠B＝70°．求证：AB＝AC.ABC40°70°证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°∠A＝40°，∠B＝70°∴∠C＝180°－∠A－∠B

＝180°－40°－70°＝70°∴∠C＝∠B∴AB＝AC（等角对等边）ABC由“等角对等边”可知：三个角都相等的三角形是等边三角形.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.顶角、底角都可判定如图，AB//CD，∠1＝∠2.求证：AB＝AC.ABCD21证明：∵AB∥CD∴∠B＝∠2（两直线平行，同位角相等）又∵∠1＝∠2（已知）∴∠B＝∠1（等量代换）∴AB＝AC（等角对等边）

如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.B′C′A′BABCC′(C)A′(A)证明：由于直角边AC＝A′C′，我们移动Rt△ABC，使点A与点A′、点C与点C′重合，且使点B与点B′分别位于A'C'的两侧.∵∠A′C′B＝∠A′C′B′＝90°，C′(C)A′(A)

如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.B′B∴∠B′C′B＝∠A′C′B′＋∠A′C′B＝180°，即点B′、C′、B在同一条直线上.在△A′B′B中，∵A′B′＝AB＝A′B，∴∠B＝∠B′（等边对等角）C′(C)A′(A)

如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.B′B在△ABC和△A′B′C′中，∵∠B＝∠B′∠ACB＝∠A′C′B′∴

Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.（A.A.S.）AC＝A′C′随堂练习1.如图，∠A=72°，∠B=36°，CD平分∠ACB.试指出图中的哪些三角形是等腰三角形，并说明理由.ABCD72°36°72°36°36°∠ACB＝72°∠BCD＝∠ACD＝36°△ACD，△BCD，△ABC都是等腰三角形。2.如图，AB=DC，∠ABC=∠DCB，AC、BD相交于点E.求证：EB=EC.BAEDC证明:在△ABC和△DCB中，∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB（S.A.S.），∴∠ECB＝∠EBC，∴EB=EC.3.如图，∠A=∠B，CE∥DA.求证：CE=CB.需再增加什么条件，可使△BCE成为等边三角形?BADCE证明:∵CE∥DA，∴∠A＝∠CEB.∵∠A=∠B，∴∠CEB＝∠B，∴CE＝CB.再增加∠B＝60°，可使△BCE成为等边三角形（答案不唯一）课堂小结等腰三角形判定→等角对等边应用→证明同一个三角形中两边相等等边三角形→判定方法证三个角都相等或有两个角等于60°先证等腰三角形，再证有一个角等于60°华东师大版·八年级数学上册1.尺规作图（1）第13章

全等三角形新课导入刻度尺三角尺量角器圆规探究新知没有刻度的直尺圆规

只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具作几何图形的方法叫做尺规作图.基本的尺规作图：作一条线段等于已知线段作一个角等于已知角作已知角的平分线经过一已知点作已知直线的垂线作已知线段的垂直平分线尺规作图时通常保留作图痕迹.如图，已知：线段a.求作：线段AB﹐使AB＝a.a作法：（1）作射线ACAC（2）以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线AC于点B.B线段AB就是所求作的线段作线段的和与差：如图，已知线段a、b，求作一条线段AB，使AB=2a－b.（保留作图痕迹）AMCaDaBb线段AB就是所求作的线段.作线段的和与差的方法：先画一条射线，然后在这条射线上顺次截取相应的线段，求和时顺次截取叠加，求差时从所画的线段中截去．如图，已知：∠AOB

.求作：∠A′O′B′，使∠AOB=∠A′O′B′.还记得如何作吗？试一试.AOBAOBO′A′（1）首先作射线O′A′；作法：（2）以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交∠AOB的两边于点E、D；DEAOBO′A′（3）以点O′为圆心、OD的长为半径画弧﹐交O′A′于点N；作法：（4）以点N为圆心、DE的长为半径画弧﹐交前一条弧于点M;NM（5）过点M作射线O′B′，则∠A′O′B′就是所求作的角.B′DE作角的和与差：如图，已知∠1和∠2.求作：∠AOB，使∠AOB＝∠1＋∠2.作角的和与差：分析：先作一个角等于∠1，再以∠1一条边作一个角等于∠2.①在一个角的外部以这个角的一边为边作另外一个角，则两个角的另一边组成的角就是这两个角的和.②在较大的角的内部以较大角的一边为边作较小的角﹐则两个角的另一边组成的角就是这两个角的差.利用尺规作图作三角形已知：线段a及∠1，∠2（如图）.求作：△ABC，使∠B=∠1，∠C=∠2，BC＝a.先作一个角等于∠1，再在∠1的一边上截取长度为a的线段，然后在线段另一端作一个角等于∠2，即可得.随堂练习1.任意画出两条线段AB和CD，再作一条线段，使它等于AB+2CD.MNABCDCDH线段MH就是所求作的线段.2.任意画出两个角∠1和∠2，其中∠1＞∠2，再作一个角，使它等于∠1－∠2.121212课堂小结尺规作图工具→没有刻度的直尺、圆规作图1.作一条线段等于已知线段→作线段的和与差2.作一个角等于已知角→作角的和与差3.作三角形华东师大版·八年级数学上册2.尺规作图（2）新课导入数学家欧几里得用圆规和直尺能不能作出正七边形、正九边形、正十一边形、正十三边形、正十七边形呢?两千年来，这一直是个未解之谜.新课导入高斯

出乎人意料之外的是，这个难题竞被年仅19岁的高斯解决了.他用直尺和圆规作出了正十七边形.探究新知AOB如图，已知∠AOB.求作：∠AOB的平分线.AOB作法：（1）在射线OA、OB上