专题02比和比例全章复习与难点强化训练（原卷版）

专题02比和比例全章复习攻略与难点强化训练目录考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升学以致用：真题感知+提升专练，全面突破一．比的意义比的意义是两个数相除又叫做两个数的比，比是表示两个数相除，有两项；比是由一个前项和一个后项组成的除法算式，只不过把“÷”（除号）改成了“：”（比号）而已，但除法算式表示的是一种运算，而比则表示两个数的关系．和分数的分数线类似．二．比的基本性质“比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变．最简比的前项和后项互质，且比的前项、后项都为整数．比值通常用整数表示，也可以用分数或小数表示．比的后项不能为0．比的后项乘以比值等于比的前项．比的前项除以后项等于比值．”三．最简整数比“最简整数比，是指比的前项和后项都是整数，且这两个整数互素．”四．化简比1、整数比化简：把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数．2、分数比化简：把比的前项和后项同时乘分母的最小公倍数，如果还不是最简比，再按整数比的化简方法进行化简．五．比的应用1、比的第一种应用：已知两个或几个数量的和，这两个或几个数量的比，求这两个或者几个数量是多少？2、比的第二种应用：已知一个数量是多少，两个或几个数的比，求另外几个数量是多少？3、比的第三种应用：已知两个数量的差，两个或几个数的比，求这两个或者几个数量是多少？六．比例的意义比例（proportion）是一个数学术语，表示两个或多个比相等的式子．在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积，叫做比例的基本性质．在数学中，如果一个变量的变化总是伴随着另一个变量的变化，则两个变量是成比例的，并且如果变化总是通过使用常数乘数相关联，那么常数称为比例系数或比例常数．七．比例的基本性质比例的性质是指组成比例的四个数，合分比性质、等比性质以及它们的推广．这四条性质多用于分式的计算和证明，以及三角函数、相似三角形、平行线分线段成比例定理的应用中．其中尤其以等比性质的应用最为广泛．八．解比例解比例常用于解决比例关系明显的问题，如相似三角形（图形），线段分割，三角函数，化学方程式计算等．比例的基本性质是两个外项的积等于两个内项的积．九．比例的应用1．工程领域中的比例应用在工程领域中，比例应用非常常见．例如，在电路设计中，电流和电压之间的关系通常是正比例的．根据欧姆定律，当电阻不变时，电流和电压成正比．2．经济学中的比例应用在经济学中，正比例应用也非常常见．十．比例尺“比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比．公式为：比例尺＝图上距离与实际距离的比．”十一．百分数的认识百分数是以分母是100的特殊分数，其分子可不是整数．百分数表示一个数是另一个数的百分之几，表示一个比值不带单位名称．百分比是一种表达比例、比率或分数数值的方法十二．百分数的应用超市卖货中的打折（折扣）问题，如一件上衣400元，现八折（80%）出售．成数问题，如这次小麦收成是上次的二成（20%）．事物配制问题：如水占8伤，药占水的20%等．十三．含百分数的一元一次方程含有百分数的一元一次方程是指方程中包含一个未知数和一个或多个百分数的方程．十四．等可能事件在一次试验中发生的可能性相等的事件，称为等可能性事件．等可能事件P＝发生的结果数/所有等可能的结果数．如果一次试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都是相等的，那么每一个基本事件互为等可能事件．十五．可能性的大小可能性的大小一般是用0、1和分数来表示，如确定事件的可能性大小是1；不可能事件可能性是0，不确定事件用分数表示可能性大小；设计方案时，一般是用它们的面积之比来代表它们的可能性大小．十六．概率的认识概率是用来描述一个事件发生的可能性大小的，通常用0到1之间的小数来表示．在统计学、数理逻辑和其他科学领域中广泛应用．概率不仅仅是用来定量描述随机事件发生的可能性，还可以把概率看作自然界和社会现象中的规律性．在统计学中，概率通常表示为一个实数，范围在0到1之间．其中，0表示事件不可能发生，1则表示事件一定能够发生．题型一：比例应用技巧1.小杰读一本书，第一天读完后，已读和未读的页数比是1:5，第二天又读了30页，已读和未读的页数的比变为3:5，求这本书共多少页？．2.甲、乙、丙是三个互相咬合的齿轮，若甲齿轮转5圈时，乙齿轮转4圈，丙齿轮转6圈，则三个齿轮的齿数比是多少？．3.农场养了若干鸡和兔，已知全部的鸡和兔的头和脚的数量之比是2:5，求鸡和兔的数量之比．4.某团体有100名会员，男女会员人数之比是14:11，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，各组男女会员人数之比依次为12:13，5:3，2:1，那么丙组有多少名男会员？5.某服装厂生产一批服装，其中88名工人采用流水作业方式生产，需要经过三道工序，第一道工序每个工人每小时可以生产8套，第二道工序每个工人每小时可以生产24套，第三道工序每个工人每小时可以生产5套，要使生产均衡进行，每道工序应各分配多少人？6.甲、乙两人各加工100个零件，甲比乙迟小时开工，结果同时结束．甲、乙两人的工作效率之比为5:2，甲每小时加工多少个零件？7.某工厂共有86个工人，已知每个工人每天加工甲种零件15个或乙种零件12个，或丙种零件9个，而3个甲种零件，2个乙种零件，1个丙种零件恰好配成一套，问如何安排工人工作才可使加工好的零件配套？8.有三个梯形甲、乙、丙，它们的高之比依次是1:2:3，上底之比依次是6:9:4，下底之比依次是12:15:10．已知梯形甲的面积是30平方厘米，那么乙、丙两个梯形的面积之和是多少平方厘米？9.一列快车的长是150米，一列慢车的长是200米，两车分别在两条平行的轨道上相向而行，若坐在慢车上的人看见快车驶过窗的时间是6秒，那么坐在快车上的人看见慢车驶过窗需要多少秒？10.一个长方形的长与宽之比为15:7，现截取一个边长与原矩形的宽相等的正方形，剩下的新的长方形的周长为30厘米，求原长方形的长与宽各是多少厘米？11.有理数a、b、c满足a:b:c=2:3:5，且，求的值．12.古时，某河边有一渡口，车、马、人过河分别要交3文、2文、1文的渡河费，某天过河的车和马的数目比为2:9，马和人的数目比为3:7，共收得渡河费945文．问这天渡河的车、马、人的数目各多少？13.若正整数a、b满足，且，求a+b的值．14.在抗洪救灾捐款活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80元．已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐的和与乙、丙所捐的和之比是10:7，则甲、乙、丙各捐了多少元？15.公园里有一圆形花坛，甲、乙两人从同一点反向而行，15秒后相遇，其中甲绕花坛一圈需要40秒，则乙绕花坛一圈需要多少秒？16.四年级、五年级和六年级这三个年级参加植树活动，共有720人，已知六年级与五年级人数的比是3:2，六年级比四年级多80人，三个年级参加植树的各有多少人？17.从A地到B地，甲需要40分钟，乙需要30分钟．如果甲出发5分钟后，乙才出发，那么乙多久可以追上甲？18.甲、乙两车分别从A、B两地出发，相向而行，出发时甲、乙的速度比是5:4，相遇后，甲的速度减少了20%，乙的速度增加了20%．当甲到达B地时，乙离A地还有10千米，问A、B两地相距多少千米？19.一条猎狗发现在离它10米远的前方有一只兔子，马上紧追上去，猎狗的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但兔子的动作快，猎狗跑2步的时间，兔子却能跑3步．猎狗至少跑多少米才能追上兔子？题型二：百分比应用技巧1.一件衣服打八八折的售价比原来售价少72元，随后又打了九折，这时这件衣 服的售价是多少元？2.利民粮店原有大米和面粉共480袋，卖出大米的30%，卖出面粉的40%，还剩下大米和面粉308袋，原有的大米和面粉各多少袋？3.某种型号的电视机由于销售不畅，厂家决定降价出售，如果打九折出售，可盈 利215元，若打八折出售，会亏损125元，问这种电视机的成本价是多少元？4.张先生向商店订购某种商品80件，每件定价100元，张先生向商店经理说：“如果你肯降价，每降1元，我就多订购4件．”商店经理算了一下，如果减价5%， 由于张先生多订购，仍可获得与原来一样的利润．问：这种商品的成本是多少元？5.某校六年级共有学生250人，其中是女生，全体六年级学生参加体育锻炼 达标测验，结果男生中的10%和女生中的15%未达标，问六年级体育锻炼达标率是多 少？6.某种商品按原价出售，每件利润为成本的25%，后来按原定价打九折出售， 结果每天售出的件数比降价前增加了1.5倍，每天经营这种商品的总利润比降价前增加 了百分之几？7.小明家已经订购了一套商品房，到结算时还差10万元，他的父母准备向银行贷款或者向亲戚朋友借用．第一种办法：向银行贷款10万元，年利率为5.5%，贷款一年；第二种办法：向朋友借5万，两年后归还，年利率为3%；剩下的5万向亲戚借，不付利息，但在归还时小明的父母准备给亲戚买2000元的礼物作为酬谢金．为了节省开支，请通过计算说明，李平的父母应该采取哪种办法解决这笔资金？8.《中华人民共和国个人所得税法》中的个人所得税税率表（工资、薪金所得适用）如下：级数全月应纳税所得额税率（%）1不超过1500元的部分32超过1500元至4500的部分103超过4500至9000的部分20其中“全月应纳税所得额”是指从工资、薪金收入中减去3500元的余额．（1）若某人一月份的收入为6000元，他应交税多少元？（2）若某人一月份扣除税后拿了6575元，他交了多少税？（3）若某人一月份纳税额为400元，他的收入是多少？9.元旦将至，某商场搞促销活动，已知一种服装每套标价600元，第一次打8折出售，每套能盈利25%，店家售出这样的服装100套后，对剩下的8套服装再打8.5折出售，当服装全部售完后，商店共可盈利多少元？10.国家规定个人发表文章、出版图书获得稿费的纳税计算方式是：a)、稿费不高于800元的不纳税；b)、稿费高于800元又不高于4000元，应缴纳超过800元的那一部分稿费的14%的税；c)、稿费高于4000的应先算出全班稿费的80%部分，然后以此为基数缴纳14%的税．（1）若周老师获得一笔税前稿费3200元，他应缴税多少元？（2）若周老师获得一笔稿费，并缴纳个人所得税420元，问周老师的这笔稿费有多少元？一．比的意义（共1小题）1．（2023秋•道里区校级期中）如果一个比的后项是，比值是，这个比的前项是．二．比的基本性质（共1小题）2．（2022秋•杜尔伯特县期末）把3：8的前项加上9后，要使比值不变，后项应该（）A．加上9 B．乘3 C．乘4 D．乘9三．最简整数比（共4小题）3．（2023秋•道里区校级期中）下列比中，最简整数比是3：4的为（）A． B．6：8 C． D．21：354．（2021秋•徐汇区校级期末）把：化成最简整数比是，比值是．5．（2021秋•徐汇区校级期末）化简最简整数比：750毫升：1.25升＝．6．（2021秋•普陀区期末）化成最简整数比：1：0.8＝．四．化简比（共4小题）7．（2023秋•杨浦区校级期中）求比值：20cm：0.35m＝．8．（2022秋•浦东新区校级期末）化简比：48：64＝．9．（2022秋•青浦区校级期末）求比值：0.25：1.25＝．10．（2022秋•杨浦区期末）求比值：32分：1小时20分＝．五．比的应用（共4小题）11．（2022秋•青浦区校级期末）甲存款的与乙存款的2倍同样多，则甲与乙存款的比为（）A．2：3 B．3：2 C．1：6 D．6：112．（2023秋•北林区校级期中）打一份稿件，甲用3小时，乙用2小时，甲、乙两人工作效率之比是（）A．3：2 B．2：3 C．4：913．（2022秋•青浦区校级期末）某车间有男工18名，其中女工与男工人数之比是3：2，则车间工人一共有名．14．（2023秋•普陀区期中）学校买来足球、篮球、排球若干个，其中足球75个，篮球数量是足球数量的倍，排球数量是篮球数量的，求三种球一共买来多少个？六．比例的意义（共3小题）15．（2021秋•徐汇区校级期末）下列四个数，不能组成比例的是（）A．2，6，4，12 B．，2，3， C．0.2，，2.5，1.2 D．4.5，2.5，5，916．（2021秋•徐汇区校级月考）已知三个数为3、4、8，若再添加一个数，使这四个数能组成一个比例，那么这个数可以是（）A．3 B．6 C．9 D．1217．（2023秋•香坊区校级期中）下列第（）组中的两个比可以组成比例．A．5：9和15：19 B．2：3和4：5 C．2：14和14：2 D．12：4和15：5七．比例的基本性质（共6小题）18．（2022秋•杨浦区期末）已知a：b＝1.2：1.6，b：c＝，求a：b：c．19．（2022秋•徐汇区期末）已知：x：y＝3：4，y：z＝：0.2，求x：y：z的最简整数比．20．（2022秋•松江区期末）已知a：b＝3：5，b：c＝0.2：，求a：b：c．21．（2022秋•闵行区校级月考）已知，，求a：b：c．22．（2022秋•闵行区期末）已知x：y＝0.5：0.3，x：z＝，求最简整数比x：y：z．23．（2022秋•浦东新区校级期末）已知：，，求a：b：c的最简整数比．八．解比例（共6小题）24．（2022秋•青浦区校级期末）已知8是x和16的比例中项，那么x的值为．25．（2022秋•松江区期末）求x的值：12：1＝x：50%．26．（2022秋•徐汇区期末）求x的值：6：x＝1：75%．27．（2022秋•宝山区期末）已知：，求x的值．28．（2022秋•闵行区期末）已知，求x的值．29．（2022秋•浦东新区校级期末）已知：，求x的值．九．正比例的应用（共2小题）30．（2023秋•黄浦区期中）“Citywalk”即“城市漫游”是在当代年轻人中流行的一种城市微旅游方式．国庆假期期间，小明和一群年轻人相约在上海进行“城市漫游”，他们小时走了千米的路程，以此速度他小时走多少千米的路程？31．（2022秋•闵行区校级期中）小明和一群年轻人—起去郊外骑自行车旅游，小时骑了千米的路程，以此速度他小时骑多少千米的路程？一十．比例尺（共2小题）32．（2023秋•青神县期中）在比例尺是1：15000000的地图上，测得甲乙两地的距离是3厘米，那么甲乙两地的实际距离是千米．33．（2022秋•宝山区期末）在一幅比例尺为1：50000000的地图上，测量得到A市到B市之间的距离为4.2厘米，则A市与B市之间的实际距离是千米．一十一．百分数的认识（共2小题）34．（2023秋•肇源县期中）2.5后面添上一个%，这个数就（）A．扩大原来的100倍 B．大小不变 C．缩小到原来的1%35．（2021秋•嘉定区期末）百分数90%不是分数．（判断对错）一十二．百分数的应用（共3小题）36．（2022秋•闵行区期末）小明将2000元存入银行，年利率为2.75%，存满三年，那么到期后小明可以拿到本利和（不计利息税）的列式为（）A．2000×（1+2.75%×3） B．2000×2.75%×3 C．2000+2000×2.75% D．2000×2.75%37．（2022秋•浦东新区校级期末）王叔叔做种子发芽试验，已知100粒种子发芽了，25粒种子没有发芽，这批种子的发芽率是．38．（2022秋•宝山区期末）李华将5000元人民币存入建设银行，存期一年，年利率是2.3%．到期时，他实际得到的本