广东省茂名市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学

2024年茂名市普通高中高一年级教学质量监测数学试卷本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.且2.若复数z满足，则（）A.1 B. C.3 D.53.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件4.已知函数，则的大致图象为（）A. B.C. D.5.已知，则的最小值为（）A6 B.5 C.4 D.36.将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.已知，则（）A. B.C. D.7.若是锐角三角形，，，则边c的取值范围是（）A. B. C. D.8.在四棱中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点.若，则（）A1 B. C. D.3二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知是边长为1的正三角形，，分别为，的中点，则（）A与不能构成一组基底 B.C. D.在上的投影向量为10.某学校开展“国学知识竞赛”，共有“诗经组”、“论语组”、“春秋组”、“礼记组”4个小组参赛，每组10位选手，若该组每位选手的失分不超过6分，该组获得“优秀”称号，则根据每组选手的失分情况，下列小组一定获得“优秀”称号的是（）A.诗经组中位数为3，众数为2B.论语组平均数为3，方差为1C.春秋组平均数为3，众数为2D.礼记组中位数为2，极差为411.已知是定义域为的偶函数，为奇函数，当时，，则（）A.当时，B.当时，C.在上单调递增D.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知棱长为的正方体的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为______.13.若复数是关于x的方程的一个根，则______.14.在海面上，乙船以40km/h速度朝着北偏东的方向航行，甲船在乙船的正东方向30km处.甲船上有应急物资需要运送上乙船，由于乙船有紧急任务不能停止航行，所以甲船准备沿直线方向以的速度航行与乙船相遇.为了保证甲船能在2小时内和乙船相遇，甲船航行速度的最小值为______（km/h）.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知的顶点，，.（1）若单位向量与方向相同，求的坐标；（2）求向量与的夹角.16.已知函数.（1）若，求与交点横坐标；（2）若在区间上恰有一个零点，求a的取值范围.17.如图1，菱形的边长为2，，将沿着翻折到三角形的位置，连接，形成的四面体如图2所示.（1）证明：；（2）若四面体的体积为，求二面角的大小.18.某市体质健康测试标准包括身体形态、身体机能、躯体素质、运动能力等方面.为了了解学生体质健康情况，某校随机抽取了200名学生进行测试，测试成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩不超过80分的有108人.（1）求图中a，b的值；（2）并根据频率分布直方图，估计该校学生测试分数的平均数和上四分位数（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）；（3）若抽取的200名学生中，男生120人，女生80人，其中男生分数的平均数为，方差为；女生分数的平均数为，方差为；200名学生分数的平均数为，方差为.①；②，请判断公式①和公式②是否相等，并说明理由.19.如图所示，在中，，AD平分，且.（1）若，求BC的长度；（2）求k的取值范围；（3）若，求k为何值时，BC最短.2024年茂名市普通高中高一年级教学质量监测数学试卷本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.且【答案】D【解析】【分析】由分式与二次根式有意义的条件可得、集合，结合交集定义即可得解.【详解】由，可得，，则，故且.故选：D.2.若复数z满足，则（）A.1 B. C.3 D.5【答案】A【解析】【分析】解法一：先由已知利用复数的乘除法运算求出复数，再可求出复数的模，解法二：对已知等式变形后，利用复数模的性质求解即可.【详解】解法一：由，得，所以，解法二：由，得，所以.故选：A3.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】首先求不等式，再根据集合间的关系判断选项.【详解】，则，而推不出，但，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B4.已知函数，则的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再判断在上变化情况可得答案.【详解】因为函数定义域为R，，所以为奇函数，则其图象关于原点对称，所以排除A，当时，，所以排除D，因为由幂函数的性质可知当时，在直线的上方，所以排除B，故选：C5.已知，则的最小值为（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】D【解析】【分析】借助基本不等式计算即可得.【详解】由，则，故，当且仅当时，等号成立.故选：D.6.将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.已知，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数图象变换规律结合题意求解即可.【详解】由题意可知将的图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的2倍，得，再将的图象向右平移个单位，得的图象，则，故选：B7.若是锐角三角形，，，则边c的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根据正弦定理表示，再消去，转化为关于角的三角函数，根据锐角三角形求角的范围，根据三角函数的性质求边的取值范围.【详解】由正弦定理可知，，则，因为，则，因为是锐角三角形，所以，则，，所以.故选：D8.在四棱中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点.若，则（）A1 B. C. D.3【答案】C【解析】【分析】利用线面垂直的性质定理与判定定理可得，即可设，从而可利用表示出、，再结合同角三角函数基本关系，利用余弦定理计算即可得.【详解】由底面，、平面，故，，由底面为正方形，故，又、平面，，故平面，又平面，则，由，则，由为线段的中点，则，设，则，，由，则，则由余弦定理可得，解得，故.故选：C.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知是边长为1的正三角形，，分别为，的中点，则（）A.与不能构成一组基底 B.C. D.在上的投影向量为【答案】ABD【解析】【分析】对A：由题意可得，即可得与不能构成一组基底；对B：借助平面向量线性运算计算即可得；对C：借助平面向量数量积公式计算即可得；对D：借助投影向量定义计算即可得.【详解】对A：由，分别为，的中点，则，即，故与不能构成一组基底，故A正确；对B：由题意可得，，故，故B正确；对C：，故C错误；对D：，故D正确.故选：ABD.10.某学校开展“国学知识竞赛”，共有“诗经组”、“论语组”、“春秋组”、“礼记组”4个小组参赛，每组10位选手，若该组每位选手的失分不超过6分，该组获得“优秀”称号，则根据每组选手的失分情况，下列小组一定获得“优秀”称号的是（）A.诗经组中位数为3，众数为2B.论语组平均数为3，方差为1C.春秋组平均数为3，众数为2D.礼记组中位数为2，极差为4【答案】BD【解析】【分析】利用列举法判断AC，根据方差公式，判断B，根据极差的定义，判断D.【详解】A.若该组选手的失分情况如下，1,2,2,2,3,3,4,5,6,7,满足中位数为3，众数为2，但有选手失分超过6分，故A错误；B.该组每位选手的失分情况按照从小到大排列，，，则方差，即，若，，所以每位选手的得分都不超过6分，故B正确；C.若该组选手的失分情况如下，0,2,2,2,2,2,4,4,5,7,这组数据满足平均数为3，众数为2，但有选手失分超过6分，故C错误；D.因为中位数为2，则最低分小于等于2，又因为极差为4，所以最该分小于等于6，该组选手失分没有超过6分的，故D正确.故选：BD.11.已知是定义域为的偶函数，为奇函数，当时，，则（）A.当时，B.当时，C.在上单调递增D.【答案】ACD【解析】【分析】对A：由为偶函数，结合时的解析式计算即可得；对B：由为奇函数，结合A中所得即可得；对C：由题意可得函数周期性，结合指数函数的单调性即可得解；对D：由函数周期性计算即可得.【详解】对A：由为偶函数，则，当时，，则，即当时，，故A正确；对B：由为奇函数，则有，即，即，故当时，，则，即，故B错误；对C：由，，则，，即，故为周期为的周期函数，由当时，，可得在上单调递增，故上单调递增，故C正确；对D：，故D正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知棱长为的正方体的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为______.【答案】【解析】【分析】根据正方体的体对角线即为球的直径可得答案.【详解】棱长为正方体的所有顶点都在同一个球面上，则正方体的体对角线即为球的直径，所以球的直径为，，则该球的表面积为.故答案为：.13.若复数是关于x的方程的一个根，则______.【答案】2【解析】【分析】根据题意方程的另外一个根为，利用韦达定理可得，，即得.【详解】因复数是关于x的方程的一个根，则其另外一根为，故，，得，，故，故答案为：14.在海面上，乙船以40km/h的速度朝着北偏东的方向航行，甲船在乙船的正东方向30km处.甲船上有应急物资需要运送上乙船，由于乙船有紧急任务不能停止航行，所以甲船准备沿直线方向以的速度航行与乙船相遇.为了保证甲船能在2小时内和乙船相遇，甲船航行速度的最小值为______（km/h）.【答案】【解析】【分析】画出具体图形后，借助余弦定理及二次函数性质计算即可得.【详解】如图，、分别为乙船与甲船所处位置，则km，，设点为两船相遇位置，相遇时间在小时后，则，即，则当，即时，有，即甲船航行速度的最小值为.故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知的顶点，，.（1）若单位向量与方向相同，求的坐标；（2）求向量与的夹角.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）计算出后结合单位向量定义计算即可得；（2）借助平行四边形的性质可计算出与，再结合向量夹角公式计算即可得.【小问1详解】，则，即；【小问2详解】由题意可得，，，则，故，因为，所以.16.已知函数.（1）若，求与交点的横坐标；（2）若在区间上恰有一个零点，求a的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）求出，再解与组成的方程组可得答案；（2）时不符合题意，时只须解不等式可得答案.【小问1详解】若，则，解得，所以，由解得，或，所以与交点的横坐标为或；【小问2详解】若，则在区间上没零点，不符合题意，所以，所以的图象为抛物线，对称轴为，所以要使在区间上恰有一个零点，只须，即，解得.的取值范围.17.如图1，菱形的边长为2，，将沿着翻折到三角形的位置，连接，形成的四面体如图2所示.（1）证明：；（2）若四面体的体积为，求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）或【解析】【分析】（1）取中点，连接、，借助菱形的性质可得线线垂直，结合线面垂直的判定定理与性质定理推导即可得证；（2）找出二面角的平面角后，结合体积公式计算即可得解.【小问1详解】取中点，连接、，由四边形为菱形，则，故，，又，、平面，故平面，又平面，故；【小问2详解】由，，平面平面，故为二面角的平面角，又菱形的边长为2，，则，，又，故，即或，即二面角的大小为或.18.某市体质健康测试标准包括身体形态、身体机能、躯体素质、运动能力等方面.为了了解学生体质健康情况，某校随机抽取了200名学生进行测试，测试成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩不超过80分的有108人.（1）求图中a，b的值；（2）并根据频率分布直方图，估计该校学生测试分数的平均数和上四分位数（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）；（3）若抽取的200名学生中，男生120人，女生80人，其中男生分数的平均数为，方差为；女生分数的平均数为，方差为；200名学生分数的平均数为，方差为.①；②，请判断公式①和公式②是否相等，并说明理由.【答案】（1）；；（2）平均数78.8；上四分位数87；（3）相等，理由见解析【解析】【分析】（1）先根据低于80分的人数为108求出，在根据频率之和为1求出；（2）根据平均数的公式直接计算