必修一课后作业第三章指数函数对数函数和幂函数321第2课时

第2课时对数的运算性质学习目标1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．知识点一对数运算性质思考有了乘法口诀，我们就不必把乘法还原成为加法来计算．那么，有没有类似乘法口诀的东西，使我们不必把对数式还原成指数式就能计算？答案有．例如，设logaM＝m，logaN＝n，则am＝M，an＝N，∴MN＝am·an＝am＋n，∴loga(MN)＝m＋n＝logaM＋logaN.得到的结论loga(MN)＝logaM＋logaN可以当公式直接进行对数运算．梳理一般地，如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．知识点二换底公式思考1观察知识点一的三个公式，我们发现对数都是同底的才能用这三个公式．而实际上，早期只有常用对数表(以10为底)和自然对数表(以无理数e为底)，可以查表求对数值．那么我们在运算和求值中遇到不同底的对数怎么办？答案设法换为同底．思考2假设eq\f(log25,log23)＝x，则log25＝xlog23，即log25＝log23x，从而有3x＝5，再化为对数式可得到什么结论？答案把3x＝5化为对数式为log35＝x，又因为x＝eq\f(log25,log23)，所以得出log35＝eq\f(log25,log23)的结论．梳理一般地，我们有logaN＝eq\f(logcN,logca)，其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1.这个公式称为对数的换底公式．类型一具体数字的化简求值例1计算：(1)log345－log35；(2)log2(23×45)；(3)eq\f(lg\r(27)＋lg8－lg\r(1000),lg1.2)；(4)log29·log38.解(1)log345－log35＝log3eq\f(45,5)＝log39＝log332＝2log33＝2.(2)log2(23×45)＝log2(23×210)＝log2(213)＝13log22＝13.(3)原式＝eq\f(lg\r(27)×8－lg10,lg\f(12,10))＝eq\f(lg×23÷,lg\f(12,10))＝eq\f(lg\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3×4,10))),lg\f(12,10))＝eq\f(\f(3,2)lg\f(12,10),lg\f(12,10))＝eq\f(3,2).(4)log29·log38＝log2(32)·log3(23)＝2log23·3log32＝6·log23·eq\f(1,log23)＝6.反思与感悟具体数的化简求值主要遵循2个原则(1)把数字化为质因数的幂、积、商的形式．(2)不同底化为同底．跟踪训练1计算：(1)2log63＋log64；(2)(lg25－lgeq\f(1,4))÷；(3)log43·log98；(4)log2.56.25＋lneq\r(e)－.解(1)原式＝log632＋log64＝log6(32×4)＝log6(62)＝2log66＝2.(2)原式＝(lgeq\f(25,\f(1,4)))÷＝lg102÷10－1＝2×10＝20.(3)原式＝eq\f(lg3,lg4)·eq\f(lg8,lg9)＝eq\f(lg3,2lg2)·eq\f(3lg2,2lg3)＝eq\f(3,4).(4)原式＝log2.5(2.5)2＋eq\f(1,2)－＝2＋eq\f(1,2)－eq\f(4,10)＝eq\f(21,10).类型二代数式的化简命题角度1代数式恒等变换例2化简logaeq\f(x2\r(y),\r(3,z)).解∵eq\f(x2\r(y),\r(3,z))>0且x2>0，eq\r(y)>0，∴y>0，z>0.logaeq\f(x2\r(y),\r(3,z))＝loga(x2eq\r(y))－logaeq\r(3,z)＝logax2＋logaeq\r(y)－logaeq\r(3,z)＝2loga|x|＋eq\f(1,2)logay－eq\f(1,3)logaz.反思与感悟使用公式要注意成立条件，如lgx2不一定等于2lgx，反例：log10(－10)2＝2log10(－10)是不成立的．要特别注意loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN.跟踪训练2已知y>0，化简logaeq\f(\r(x),yz).解∵eq\f(\r(x),yz)>0，y>0，∴x>0，z>0.∴logaeq\f(\r(x),yz)＝logaeq\r(x)－loga(yz)＝eq\f(1,2)logax－logay－logaz.命题角度2用代数式表示对数例3已知log189＝a,18b＝5，求log3645.解方法一∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b，于是log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log189×5,log1818×2)＝eq\f(log189＋log185,1＋log182)＝eq\f(a＋b,1＋log18\f(18,9))＝eq\f(a＋b,2－a).方法二∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b，于是log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log189×5,log1818×2)＝eq\f(log189＋log185,2log1818－log189)＝eq\f(a＋b,2－a).方法三∵log189＝a,18b＝5，∴lg9＝alg18，lg5＝blg18，∴log3645＝eq\f(lg45,lg36)＝eq\f(lg9×5,lg\f(182,9))＝eq\f(lg9＋lg5,2lg18－lg9)＝eq\f(alg18＋blg18,2lg18－alg18)＝eq\f(a＋b,2－a).反思与感悟此类问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元．跟踪训练3已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256.解∵log23＝a，则eq\f(1,a)＝log32，又∵log37＝b，∴log4256＝eq\f(log356,log342)＝eq\f(log37＋3log32,log37＋log32＋1)＝eq\f(ab＋3,ab＋a＋1).1．log5eq\f(1,3)＋log53等于________．答案02．lgeq\r(5)＋lgeq\r(20)的值是________．答案1解析lgeq\r(5)＋lgeq\r(20)＝lgeq\r(100)＝lg10＝1.3．log29×log34等于________．答案44．lg0.01＋log216的值是________．答案2解析lg0.01＋log216＝－2＋4＝2.5．已知lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(a,b)))2的值是________．答案2解析由已知得lga＋lgb＝2，lga·lgb＝eq\f(1,2)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(a,b)))2＝(lga－lgb)2＝(lga＋lgb)2－4lga·lgb＝4－2＝2.1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质时应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．(3)在运算过程中避免出现以下错误：①logaNn＝(logaN)n；②loga(MN)＝logaM·logaN；③logaM±logaN＝loga(M±N)．课时作业一、填空题1．若logab·log3a＝4，则b的值为________．答案81解析∵logab·log3a＝eq\f(lgb,lga)·eq\f(lga,lg3)＝eq\f(lgb,lg3)＝log3b＝4，∴b＝34＝81.2．(lg5)2＋lg2·lg50＝________.答案1解析(lg5)2＋lg2·lg50＝(lg5)2＋lg2(lg5＋lg10)＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝lg5＋lg2＝1.3．化简eq\f(log58,log52)等于________．答案3解析eq\f(log58,log52)＝log28＝log2(23)＝3.4．已知lg2＝a，lg3＝b，则用a，b表示lg15为________．答案b－a＋1解析lg15＝lg(3×5)＝lg3＋lg5＝lg3＋lgeq\f(10,2)＝lg3＋1－lg2＝b－a＋1.5．若log5eq\f(1,3)·log36·log6x＝2，则x等于________．答案eq\f(1,25)解析由换底公式，得eq\f(－lg3,lg5)·eq\f(lg6,lg3)·eq\f(lgx,lg6)＝2，lgx＝－2lg5，x＝5－2＝eq\f(1,25).6．计算(log32＋log23)2－eq\f(log32,log23)－eq\f(log23,log32)的值是________．答案2解析原式＝(log32)2＋2log32·log23＋(log23)2－(log32)2－(log23)2＝2.7．(log43＋log83)(log32＋log92)＝________.答案eq\f(5,4)解析原式＝(eq\f(log23,log24)＋eq\f(log23,log28))(eq\f(1,log23)＋eq\f(1,log232))＝eq\f(5,6)log23·eq\f(3,2log23)＝eq\f(5,4).8．(log62)2＋(log63)2＋3log62×(log6eq\r(3,18)－eq\f(1,3)log62)＝________.答案1解析(log62)2＋(log63)2＋3log62×(log6eq\r(3,18)－eq\f(1,3)log62)＝(log62)2＋(log63)2＋3log62×log6eq\f(\r(3,18),\r(3,2))＝(log62)2＋(log63)2＋3log62×log6eq\r(3,9)＝(log62)2＋(log63)2＋2log62×log63＝(log62＋log63)2＝1.9．已知lg(x＋2y)＋lg(x－y)＝lg2＋lgx＋lgy，则eq\f(x,y)＝________.答案2解析由已知条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y>0，,x－y>0，,x>0，,y>0，,x＋2yx－y＝2xy，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>y,y>0，,x＋2yx－y＝2xy，))整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>y，,y>0，,x－2yx＋y＝0，))∴x－2y＝0，∴eq\f(x,y)＝2.10．计算eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(27,8)))＋eq\f(log827,log23)＋(eq\r(2)－eq\r(3))0－log31＋2lg5＋lg4－＝________.答案eq\f(22,9)解析∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(27,8)))＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(27,8))))＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))))＝eq\f(4,9)，eq\f(log827,log23)＝eq\f(log227,log28·log23)＝eq\f(3log23,3log23)＝1，(eq\r(2)－eq\r(3))0＝1，log31＝0，2lg5＋lg4＝lg(52×4)＝lg102＝2，＝2，∴原式＝eq\f(4,9)＋1＋1－0＋2－2＝eq\f(22,9).11．若3x＝4y＝36，则eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝________.答案1解析3x＝4y＝36，两边取以6为底的对数，得xlog63＝ylog64＝2，∴eq\f(2,x)＝log63，eq\f(2,y)＝log64，即eq\f(1,y)＝log62，故eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝log63＋log62＝1.二、解答题12．若x·log32016＝1，求2016x＋2016－x的值．解方法一∵x·log32016＝log32016x＝1，∴2016x＝3，∴2016－x＝eq\f(1,3).∴2016x＋2016－x＝3＋eq\f(1,3)＝eq\f(10,3).方法二由x·log32016＝1，得x＝eq\f(1,log32016)＝log20163，∴2016x＝＝3,2016－x＝eq\f(1,2016x)＝eq\f(1,3).∴2016x＋2016－x＝3＋eq\f(1,3)＝eq\f(10,3).13．计算：(1)(log33)2＋log0.25eq\f(1,4)＋9log5eq\r(5)－logeq\r(3)1；(2)eq\f(2lg2＋lg3,1＋\f(1,2)lg0.36＋\f(1,3)lg8).解(1)(log33)2＋log0.25eq\f(1,4)＋9log5eq\r(5)－logeq\r(3)1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋1＋9×eq\f(1,2)－0＝eq\f(1,4)＋1＋eq\f(9,2)＝eq\f(23,4).(2)eq\f(2lg2＋lg3,1＋\f(1,2)lg0.36＋\f(1,3)lg8)＝eq\f(2lg2＋lg3,1＋\f(1,2)lg0.62＋\f(1,3)lg23)＝eq\f(2lg2＋lg3,1＋lg0.6＋lg2)＝eq\f(2lg2＋lg3,1＋lg6－lg10＋lg2)＝eq\f(2lg2＋lg3,lg6＋lg2)＝eq\f(2lg2＋lg3,lg2＋lg3＋lg2)＝eq\f(2lg2＋lg3,2lg2＋lg3)＝1.三、探究与拓展14．计算eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\