必修二课后作业第一章　立体几何初步124第3课时

第3课时两平面垂直的性质学习目标1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理.2.能运用性质定理解决一些简单的问题.3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系．知识点平面与平面垂直的性质定理思考黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？答案容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画的直线必与地面垂直．梳理

文字语言如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面符号语言α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β图形语言类型一平面与平面垂直的性质定理例1如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．求证：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB.证明(1)由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PBG.又PB⊂平面PBG，所以AD⊥PB.反思与感悟当题目条件中有面面垂直的条件时，往往要由面面垂直的性质定理推导出线面垂直的条件，进而得到线线垂直的关系．因此见到面面垂直条件时要找准两平面的交线，有目的地在平面内找交线的垂线．跟踪训练1如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.证明如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，∴AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.类型二立体几何中的折叠问题例2如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到几何体D—ABCE.求证：BE⊥平面ADE.证明在△ADE中，AE2＝AD2＋DE2＝12＋12＝2，在△BCE中，BE2＝BC2＋CE2＝12＋12＝2，故在△AEB中，∵AE2＋BE2＝AB2，∴BE⊥AE.又平面ADE⊥平面ABCE，且平面ADE∩平面ABCE＝AE，BE⊂平面ABCE，∴BE⊥平面ADE.反思与感悟(1)抓住折叠前后的不变量与变化量，同在半平面内的两个元素之间的关系保持不变，而位于两个半平面内的两个元素之间关系改变．(2)特别要有意识地注意折叠前后不变的垂直性和平行性．跟踪训练2如图①所示，在平面四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝a，∠B＝90°，∠C＝135°.沿对角线AC将四边形折成直二面角，如图②所示．求证：平面ABD⊥平面BCD.证明∵∠ACD＝135°－45°＝90°，∴CD⊥AC.由已知得二面角B—AC—D是直二面角，过B作BO⊥AC，垂足为O，由AB＝BC知，O为AC的中点，作OE⊥AC交AD于E，则∠BOE＝90°，∴BO⊥OE.而OE∩AC＝O，∴BO⊥平面ACD.∵CD⊂平面ACD，∴BO⊥CD.又AC∩BO＝O，∴CD⊥平面ABC，∵AB⊂平面ABC，∴AB⊥CD.由已知∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.而BC∩CD＝C，∴AB⊥平面BCD.又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD.类型三线线、线面、面面垂直的综合应用例3如图，在四棱锥P—ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF.又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.反思与感悟(1)线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化：(2)在运用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．跟踪训练3如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，且SA＝AB，点E为AB的中点，点F为SC的中点．求证：(1)EF⊥CD；(2)平面SCD⊥平面SCE.证明(1)连结AC、AF、BF.∵SA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴SA⊥AC.∴AF为Rt△SAC的斜边SC上的中线，∴AF＝eq\f(1,2)SC.又∵四边形ABCD是正方形，∴BC⊥AB.而由SA⊥平面ABCD，得CB⊥SA.又SA∩AB＝A.∴CB⊥平面SAB.∵SB⊂平面SAB，∴CB⊥SB，∴BF为Rt△SBC的斜边SC上的中线，∴BF＝eq\f(1,2)SC.∴△AFB为等腰三角形，∵E为AB的中点，∴EF⊥AB.又CD∥AB，∴EF⊥CD.(2)由已知易得Rt△SAE≌Rt△CBE，∴SE＝EC，即△SEC是等腰三角形，∴EF⊥SC.又∵EF⊥CD，且SC∩CD＝C，∴EF⊥平面SCD.又EF⊂平面SCE，∴平面SCD⊥平面SCE.1．给出下列四个说法：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中正确的是________．(填序号)答案②④解析①中若两直线平行，则结论错误；②正确；在空间中③错误；④正确．2．已知平面α⊥平面β，直线a∥α，则直线a与β的位置关系可能是________．(填序号)①a⊥β；②a∥β；③a与β相交．答案①②③3．若将边长为2的正方形ABCD沿AC折叠成直二面角，则B，D两点间的距离为________．答案24.如图，在三棱锥P—ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.答案eq\r(5)解析∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5).5．如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝eq\r(3)a，AC∩BD＝E，将其沿对角线BD折成直二面角．求证：(1)AB⊥平面BCD；(2)平面ACD⊥平面ABD.证明(1)在△ABD中，AB＝a，AD＝2a，BD＝eq\r(3)a，∴AB2＋BD2＝AD2，∴∠ABD＝90°，AB⊥BD.又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面BCD.(2)折叠前四边形ABCD是平行四边形，且AB⊥BD，∴CD⊥BD.由(1)知AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.∵AB∩BD＝B，∴CD⊥平面ABD.又CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：课时作业一、填空题1．下列命题中错误的是________．(填序号)①如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β；②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β；③如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ；④如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β.答案④解析如果平面α⊥平面β，平面α内的直线有的与平面β平行，有的与平面β相交，故④错误．2．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．答案平行解析∵α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，∴n⊥α.又∵m⊥α，∴m∥n.3．已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC，D为垂足，以AD为折痕，将△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，如图所示，有下列结论：①BD⊥CD；②BD⊥AC；③AD⊥平面BCD；④△ABC是等边三角形．其中正确结论的个数为________．答案4解析①正确，因为∠BDC为二面角B－AD－C的平面角，由题意知∠BDC＝90°，所以BD⊥CD；②正确，易知BD⊥平面ACD，所以BD⊥AC；③正确，因为折叠后仍有AD⊥BD，AD⊥DC，易知AD⊥平面BCD；④正确，因为AD＝BD＝DC，且以D为顶点的三个角都是直角，由勾股定理知AB＝BC＝AC，即△ABC为等边三角形．4.如图，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.答案a解析取BC的中点M，则AM⊥BC，由题意得AM⊥平面BDC，∴△AMD为直角三角形，且AM＝MD＝eq\f(\r(2),2)a，∴AD＝a.5．设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么下列说法正确的是________．(填序号)①a与b可能垂直，但不可能平行；②a与b可能垂直，也可能平行；③a与b不可能垂直，但可能平行；④a与b不可能垂直，也不可能平行．答案③解析由题意知，当a∥l，l∥b时，a∥b；故①④错；若a⊥b，∵b与l不垂直，在b上取点A，过A作AB⊥l，由面面垂直的性质定理得AB⊥α.∵a⊂α，∴AB⊥a.又a⊥b，AB∩b＝A，∴a⊥β⇒a⊥l.这和a与l不垂直相矛盾．∴不可能a⊥b.故②错，故选③.6.如图，已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC，BD分别在α，β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝6，则CD＝________.答案eq\r(61)解析作AE∥BD，使得AE＝BD，连结DE，CE，则四边形ABDE为矩形且AE⊥AB，DE⊥CE，在Rt△ACE中，CE＝eq\r(AC2＋AE2)＝eq\r(45)，在Rt△CED中，CD＝eq\r(CE2＋DE2)＝eq\r(61).7.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cosα∶cosβ＝________.答案eq\r(5)∶2解析由题意，两个矩形的对角线长分别为5,2eq\r(5)，所以cosα＝eq\f(5,\r(25＋4))＝eq\f(5,\r(29))，cosβ＝eq\f(2\r(5),\r(29))，所以cosα∶cosβ＝eq\r(5)∶2.8.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在直线________上．答案AB解析由AC⊥BC1，AC⊥AB，得AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在交线AB上．9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列说法正确的是________．(填序号)①平面ABD⊥平面ABC；②平面ADC⊥平面BDC；③平面ABC⊥平面BDC；④平面ADC⊥平面ABC.答案④解析如图，在平面图形中CD⊥BD，折起后仍然满足CD⊥BD.由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，所以平面ADC⊥平面ABC.10．在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是________三角形．答案直角解析如图所示，连结BD，作AE⊥BD于点E，因为平面ABD⊥平面BCD，易知AE⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，所以BC⊥AE.又因为AD⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥AD.又AE∩AD＝A，所以BC⊥平面ABD.而AB⊂平面ABD，则BC⊥AB，所以△ABC为直角三角形．二、解答题11.如图，在四棱锥A—BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝eq\r(2)，AB＝AC.求证：AD⊥CE.证明如图所示，作AO⊥BC，垂足为O，连结OD.由于AO⊥BC且平面ABC⊥平面BCDE，所以AO⊥底面BCDE，且O为BC的中点，由eq\f(OC,CD)＝eq\f(CD,DE)＝eq\f(1,\r(2))知，Rt△OCD∽Rt△CDE，从而∠ODC＝∠CED，于是CE⊥OD.又∵CE⊥AO，AO∩OD＝O，∴CE⊥平面AOD.∵AD⊂平面AOD，∴AD⊥CE.12.如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝λ(0<λ<1)．(1)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ABC?(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?解(1)∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.又∵CD⊥BC且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又∵eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝λ(0<λ<1)，∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.∵EF⊂平面BEF，∴不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC.(2)由(1)知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，平面BEF∩平面ACD＝EF，∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD＝eq\r(2)，AB＝eq\r(2)tan60°＝eq\r(6)，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(7).由AB2＝AE·AC，得AE＝eq\f(6,\r(7))，∴λ＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(6,7).故当λ＝eq\f(6,7)时，平面BEF⊥平面ACD.13.如图，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰三角形，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱AA1于M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；(3)如果截面MBC1⊥侧面BB1C1C，那么AM＝MA1吗？请你叙述判断理由．(1)证明∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.∵底面ABC⊥侧面BB1C1C，平面ABC∩侧面BB1C1C＝BC，∴AD⊥侧面BB1C1C.又CC1⊂平面BB1C1C，∴AD⊥CC1.(2)证明如图，延长B1A1与BM的延长线交于点N，连结C1N.∵AM＝MA1，MA1∥BB1，∴A1M＝eq\f(1,2)BB1，NA1＝A1B1.∵A1B1＝A1C1，∴A1C1＝A1N＝A1B1，∴C1N⊥C1B1.∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，平面NB1C1∩侧面BB1C1C＝C1B1，∴C1N⊥侧面BB1C1C.又∵C1N⊂平面MBC1，∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C.(3)解过点M作ME⊥BC1于点E，连结DE.∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C，截面MBC1∩侧面BB1C1C＝BC1，∴ME⊥侧面BB1C1C.又∵AD⊥侧面BB1C1C，∴ME∥AD，∴M，E，D，A四点共面．∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE.∵AM∥CC1，∴DE∥CC1.∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点．∴AM＝DE＝eq\f(1,2)CC1＝eq