1332等边三角形（讲练）-2022-2023学年八年级数学上册重要考点(人教版)（原卷版）

13.3.2等边三角形等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.注意：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．题型1：等边三角形的性质求角度1.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，若∠BEC＝90°，则∠ACE的度数（）A．60° B．45° C．30° D．15°【变式11】如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD，则下列结论错误的是（）A．∠CED=30° B．∠BDE=120° C．DE=BD D．DE=AB【变式12】如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠BAE=20°，则∠DCE等于()A．30° B．40° C．50° D．60°题型2：等边三角形的性质证明问题2.如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD．求证：DB＝DE．【变式21】如图，已知等边ΔABC，D，E分别在BC、AC上，且BD=CE，连接BE、AD交F点．求证：∠AFE=【变式22】如图，△ABC是等边三角形，点D为BC上一点（与点B不重合），过点C作∠ACE＝60°，且CE=BD（点E与点A在射线BC同侧），连接AD，ED.求证：AD=DE.等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．题型3：等边三角形的判定3.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．【变式31】如图，△ABC≌△ADE，∠BAD＝60°．求证：△ACE是等边三角形．【变式32】如图，在△ABC中，∠B＝60°，过点C作CD∥AB，若∠ACD＝60°，求证：△ABC是等边三角形.题型4：等边三角形与多选项问题4.如图所示，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是()①点P在∠A的平分线上；②AS=AR；③QP//AR；④△BRP≌△QSP．A．全部正确 B．①②正确 C．①②③正确 D．①③正确【变式41】已知，如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE=∠C，②AQ=BQ，③BP=2PQ，④AE+BD=AB，其正确的个数有（）个A．1 B．2 C．3 D．4【变式42】如图点A，B，C在同一条直线上，△CBE，△ADC都是等边三角形，AE，BD相交于点O，且分别与CD，CE交于点M，N，连接M，A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型5：等边三角形的判定与性质综合5.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．（1）判断△DEF的形状，并说明理由；（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．【变式51】如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，连接CD，BE交于点F．求证：（1）∠BFC＝120°；（2）FA平分∠DFE．【变式52】如图，点O是等边△ABC内一点，点D是△ABC外一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）当α＝∠AOB，AO＝8cm时，求OC的长度．题型6：等边三角形动点问题6.如图，等边△ABC，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，分别连结AP、BP、AQ、CQ，∠ABP=∠ACQ，BP=CQ.（1）求证：△ABP≅△ACQ；（2）连结PQ，说明△APQ是等边三角形；【变式61】如图，在△ABC中，∠B＝60°，点M从点B出发沿线段BC方向，在线段BC上运动．在点M运动的过程中，连结AM，并以AM为边在线段BC上方，作等边△AMN，连结CN．（1）当∠BAM＝°时，AB＝2BM；（2）请添加一个条件：▲，使得△ABC为等边三角形；当△ABC为等边三角形时，求证：CN+CM＝AC．【变式62】三条边都相等的三角形叫做等边三角形，它的三个角都是60°．△ABC是等边三角形，点D在BC所在直线上运动，连接AD，在AD所在直线的右侧作∠DAE=60°，交△ABC的外角∠ACF的角平分线所在直线于点E．（1）如图1，当点D在线段BC上时，请你猜想AD与AE的大小关系，并给出证明；（2）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上时，依据题意补全图形，请问上述结论还成立吗？请说明理由．题型7：等边三角形探究性问题（提升）7.问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．（1）特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝；如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝；这两个图中，∠D与∠A度数的比是；（2）猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．【变式71】“魅力数学”社团活动时，张老师出示了如下问题：如图①，已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=120°，∠B与∠D互补，试探究线段AB，AD，AC之间的数量关系；小敏反复探索，不得其解，张老师提示道：“数学中常通过把一个问题特殊化来找到解题思路”，于是，小敏想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决问题：

（1）特殊情况入手添加条件：“∠B=∠D”，如图②易知在Rt△CDA中，∠DCA=30°，所以，写出边AD与AC之间的数量关系，同理可得AB与AC的数量关系，由此得AB，AD，AC之间的数量关系；（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题上，添加辅助线，过点C分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E、F，如图③，请写出探究过程；（3）解后反思“一题多解”是数学解题的魅力之一，小敏在张老师的引导下，受探究结论的启发，结合图中的60°角，通过构造等边三角形，利用三角形全等同样解决了该问题，请在图①中作出辅助线，并简述你的探究过程．一、单选题1．下列说法正确的是（）A．所有的等边三角形都是全等三角形B．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点C．已知两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等D．三角形的任意一条中线一定将这个三角形的面积等分2．下列命题正确的是（）A．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合B．在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上C．有一个角是60°的三角形是等边三角形D．有两边及一边的对角对应相等的两个三角形全等3．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则△ABC是（）A．等腰三角形 B．等边三角形C．不等边三角形 D．不能确定4．如图，△ABC是等边三角形，BC⊥CD，且AC=CD，则∠BAD的度数为（）

A．50° B．45° C．40° D．35°5．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A．13 B．12 C．26．如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，下面四个结论:①△ABQ≌△CAP；；②∠CMQ的度数不变，始终等于60°③BP＝CM；正确的有几个()A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题7．如图矩形ABCD中，AD=2，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，则AB=．8．如图，已知O是等边△ABC内一点，D是线段BO延长线上一点，且OD=OA，∠AOB=120°，那么∠BDC=．9．如图，将边长为4个单位的等边ΔABC沿边BC向右平移3个单位得到ΔA′B′C三、解答题10．如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC、DE要多长？11．如图，在等边ΔABC中，D,E分别是BC,AC上的点，且AE=CD,AD与BE相交于点F,CF⊥BE，求AF:BF的值.

12．已知:在ΔABC中,AB=AC,D为AC的中点,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为点E,F,且DE=DF.求证:ΔABC是等边三角形.13．如图，等边三角形ABC内有一点P，PE⊥AB，PF⊥AC，PD⊥BC，垂足分别为E，F，D，且AH⊥BC于H，试用三角形面积公式证明：PE+PF+PD=AH．四、综合题14．如图,△ABC是等