高考数学一轮复习专练47利用空间向量研究直线平面的位置关系

四十七利用空间向量研究直线、平面的位置关系(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)已知平面α内有一个点A(2,1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是 ()A.(1,1,1) B.1C.1,-3,32【解析】选B.由题意可知符合条件的点P应满足PA·n=0,选项A,PA=(2,1,2)(1,1,1)=(1,0,1),PA·n=3×1+1×0+2×1=5≠0,故不在平面α内;同理可得:选项B,PA=(1,4,12),PA·n=0,故在平面α内选项C,PA=(1,2,12),PA·n=6≠0,故不在平面α内选项D,PA=(3,4,72),PA·n=12≠0,故不在平面α内2.(5分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系,E为BB1的中点,F为A1D1的中点,则下列向量中,能作为平面AEF的法向量的是 ()A.(1,2,4) B.(4,1,2)C.(2,2,1) D.(1,2,2)【解析】选B.设AB=2,则A(2,0,0),E(2,2,1),F(1,0,2),AE=(0,2,1),AF=(1,0,2),设平面AEF的法向量n=(x,y,z),则n·取y=1,得n=(4,1,2).3.(5分)已知向量m=(2,4x,1)是平面α的法向量,n=(6,12,3y)是直线l的方向向量,若l⊥α,则x+y= ()A.4 B.4 C.2 D.2【解析】选C.因为n是直线l的方向向量,m是平面α的法向量,l⊥α,所以m∥n,所以26=-4x12=1-3y,所以x+y=2.4.(5分)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=2a3,则MN与平面BB1C1C的位置关系是 (A.相交 B.平行C.垂直 D.不能确定【解析】选B.分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.因为A1M=AN=2a3,A1B=AC=2所以M(a,23a,a3),N(23a,23a所以MN=(a3,0,23a又因为C1(0,0,0),D1(0,a,0),所以C1D1=(0,a,0),所以MN所以MN⊥C1D1.因为C1D1是平面BB1C1C的一个法向量,且MN⊄平面BB1C1C,所以MN∥5.(5分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则 ()A.BD1⊥平面B1EFB.BD⊥平面B1EFC.A1C1∥平面B1EFD.A1D∥平面B1EF【解析】选C.以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=2,则B12,2,2F1,2,0,B2,2,0,A12,0,2,C1(0,2,2),D(0,0,0),D1(0,0,2).EF=-1,1,0,EB设平面B1EF的法向量为m=x,y,z,则m·EF=因为BD1与m不平行,所以BD1与平面B1EF不垂直,A因为DB与m不平行,所以BD与平面B1EF不垂直,B错误;因为A1C1·m=0,且直线A1C1在平面B1EF外,所以A1C1∥平面B1EF因为DA1·m=2≠0,所以A1D与平面B1EF不平行,D6.(5分)(多选题)如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E为BB1的中点,F为A1D1的中点,如图所示建立空间直角坐标系,则下列说法正确的有 ()A.DB1=32B.向量AE与AC1C.平面AEF的一个法向量是(4,1,2)D.A1D⊥BD1【解析】选BCD.根据空间直角坐标系Dxyz,可知D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),由于E为BB1的中点,F为A1D1的中点,所以E(2,2,1),F(1,0,2),故DB1=|DB1|=22+22+对于B,因为AE=(0,2,1),AC1所以|AE|=5,|AC1|=2故cos<AE,AC1>=AE·AC1|AE||对于C,设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),因为AE=(0,2,1),AF=(1,0,2),所以n·AE=0

n·AF=0,整理得y=-12zx=2z,令对于D,由于A1D=(2,0,2),BD故A1D·BD1=0,故A1D⊥BD1,【加练备选】(多选题)以下命题正确的是 ()A.直线l的方向向量为a=(1,1,2),直线m的方向向量b=(1,2,1),则l⊥mB.直线l的方向向量a=(0,1,1),平面α的法向量n=(1,1,1),则l⊥αC.两个不同平面α,β的法向量分别为n1=(2,1,0),n2=(4,2,0),则α∥βD.平面α经过三点A(1,0,1),B(0,1,0),C(1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,则u+t=1【解析】选CD.直线l的方向向量a=(1,1,2),直线m的方向向量b=(1,2,1),a·b=(1,1,2)·(1,2,1)=1,则l与m不垂直,所以A不正确;直线l的方向向量a=(0,1,1),平面α的法向量n=(1,1,1),a·n=(0,1,1)·(1,1,1)=0,则l∥α或l⊂α,所以B不正确;两个不同平面α,β的法向量分别为n1=(2,1,0),n2=(4,2,0),n1=12n2=(2,1,0),则α∥β,所以C正确平面α经过三点A(1,0,1),B(0,1,0),C(1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,可得n·AB=-1+u+t=0n7.(5分)已知AB=(1,5,2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x1,y,3),且BP⊥平面ABC,则x+y+z=________.

【解析】因为AB⊥BC,所以AB·BC=3+52z=0,所以z=4,所以BC=(3,1,4),又因为BP⊥平面ABC,AB,BC⊂平面ABC,所以BP⊥AB,BP⊥BC,所以BP·解得x=因此x+y+z=537答案:538.(5分)如图,在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中,点M在棱C1C上,且CM=2MC1.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.写出平面MD1B的一个法向量为________.

【解析】根据题意,在坐标系中,A(3,0,0),C(0,3,0),B(3,3,0),D1(0,0,3),C1(0,3,3),由于点M在棱C1C上,且CM=2MC1,因此M(0,3,2),则D1B=(3,3,3),D设平面MD1B的一个法向量为n=(x,y,z),则有D1令y=1可得,x=2,z=3,则n=(2,1,3),故平面MD1B的一个法向量为(2,1,3).答案:(2,1,3)(答案不唯一)9.(10分)如图,四棱锥PABCD的底面为正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H分别是线段PA,PD,AB的中点.求证:(1)PB∥平面EFH;【证明】(1)因为E,H分别是线段AP,AB的中点,所以PB∥EH.因为PB⊄平面EFH,且EH⊂平面EFH,所以PB∥平面EFH.9.(10分)如图,四棱锥PABCD的底面为正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H分别是线段PA,PD,AB的中点.求证:(2)PD⊥平面AHF.【证明】(2)建立如图所示的空间直角坐标系.则A(0,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),F(0,1,1),H(1,0,0).PD=(0,2,2),AH=(1,0,0),AF=(0,1,1),因为PD·AF=0×0+2×1+(2)×1=0,PD·AH=0×1+2×0+(2)×0=0.所以PD⊥AF,PD⊥AH,所以PD⊥AF,PD⊥AH.因为AH∩AF=A,且AH,AF⊂平面AHF,所以PD⊥平面AHF.【能力提升练】10.(5分)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=3AD=3AA1=3,点P为线段A1C上的动点,则下列结论不正确的是 ()A.当A1C=2A1P时,B1,B.当AP⊥A1C时,APC.当A1C=3A1P时,D1PD.当A1C=5A1P时,A1C⊥【解析】选B.如图,建立空间直角坐标系,则A1(1,0,1),C(0,3,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),B1(1,3,1),D(0,0,0),B(1,3,0),C1(0,3,1),当A1C=2A1P时,A1P=(DP=DA1+A1P=(12而DB1=(1,所以DP=12所以B1,P,D三点共线,A正确,不符合题意;设A1P=λA1C,A1则AP=AA1+A1P=AA1+λA1C=(当AP⊥A1C时,有AP·A1所以λ=15,所以AP=(15,35,45),D1P=D1A1所以AP·D1P=(15,35,45)·(4=15所以AP与D1P不垂直,B不正确,当A1C=3A1P时,A1P=(D1P=A1PA1D1又DB=(1,3,0),DC1=(0,所以D1P=2所以D1P,DB,D又D1P⊄平面BDC1,所以D1P∥平面BDC1,C正确,不符合题意;当A1C=5A1P时,A1P=(从而AP=(15,35,又AD1·A1C=(1,0,1)·(1,3,1)=0,所以A1CAP·A1C=(15,35,45所以A1C⊥AP,因为AD1∩AP=A,AD1,AP⊂平面D1AP,所以A1C⊥平面D1AP,D正确,不符合题意.11.(5分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM所成的角为________.

【解析】以A为原点,分别以AB,AD,AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略).设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),M(0,1,12),O(12,12,0),AM·ON=0,1,所以ON与AM所成的角为90°.答案:90°12.(5分)在正三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱长为2,底面边长为1,M为BC的中点,C1N=λNC,且AB1⊥MN,则λ的值为【解析】如图所示,取B1C1的中点P,连接MP,以MC,MA,MP的方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系,因为底面边长为1,侧棱长为2,则A(0,32,0),B1(12,0,2),C(C1(12,0,2),M设N(12,0,t),因为C1N=所以N(12,0,2所以AB1=(12,32,2),MN=(1又因为AB1⊥MN,所以AB1·所以14+41+λ=0,解得答案:1513.(5分)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是棱D1D上一点,N是A1B1的中点,则当DMDD1=________时,ON【解析】以A为坐标原点,以AB,AD,AA1的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系(设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),O(12,12,0),N(1设M(0,1,a)(0≤a≤1),则AM·ON=(0,1,a)·(0,12,1)=12+解得a=12.故当DMDD1=12时,答案:114.(10分)(2024·常州模拟)如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直,且AB∥CD,AB⊥BC,AP⊥PB,AB=2,BC=CD=1.(1)求证:AB⊥PD;【解析】(1)取AB的中点为O,连接DO,PO,因为PA=PB,所以PO⊥AB,又因为底面ABCD为直角梯形,且AB⊥BC,AB∥CD,AB=2,BC=CD=1,所以四边形OBCD为正方形,则DO⊥AB,又因为DO∩PO=O,且DO,PO⊂平面POD,所以AB⊥平面POD,又PD⊂平面POD,所以AB⊥PD;14.(10分)(2024·常州模拟)如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直,且AB∥CD,AB⊥BC,AP⊥PB,AB=2,BC=CD=1.(2)求直线PC与平面ABP所成角的余弦值;【解析】(2)PO⊥AB且PO⊂平面PAB,又因为平面PAB⊥平面ABCD,且平面PAB∩平面ABCD=AB,所以PO⊥平面ABCD,则PO⊥DO,由OA,OD,OP两两垂直,以OD,OA,OP所在直线分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz,因为△PAB为等腰直角三角形,且AB=2,BC=CD=1,所以OA=OB=OD=OP=1,则O(0,0,0),A(0,1,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),即PC=(1,1,1),平面PAB的一个法向量为OD=(1,0,0),设直线PC与平面PAB所成的角为θ,则sinθ=|cos<PC,OD>|=|PC·OD||PC|·|OD|=33,即cosθ=114.(10分)(2024·常州模拟)如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直,且AB∥CD,AB⊥BC,AP⊥PB,AB=2,BC=CD