第三章第五节对数与对数函数

第五节对数与对数函数课程标准1.理解对数的概念及其运算性质,会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.了解对数函数的概念.能画出具体对数函数的图象,了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax(a>0,a≠1)互为反函数.考情分析考点考法:高考命题常以考查对数的运算性质为主,考查学生的运算能力;对数函数的单调性及应用是考查热点,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、逻辑推理、数学运算.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.对数的概念一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.以10为底的对数叫做常用对数,记为lgN.

以e为底的对数叫做自然对数,记为lnN.

2.对数的性质与运算性质(1)对数的性质:loga1=0,logaa=1,alogaN=N(a>0,且a≠1,(2)对数的运算性质如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:①loga(MN)=logaM+logaN;②logaMN=logaMlogaN③logaMn=nlogaM(n∈R).(3)换底公式:logab=logcblogca(a>0,且a≠1,b【微点拨】(1)换底公式的变形①logab·logba=1,即logab=1logba(a,b均大于②logambn=nmlogab(a,b均大于0且不等于1,m≠0,n∈③logNM=logaMlogaN=logbMlogb(2)换底公式的推广logab·logbc·logcd=logad(a,b,c均大于0且不等于1,d>0).3.对数函数的图象与性质y=logaxa>10<a<1图象定义域(0,+∞)值域R性质过定点(1,0),即x=1时,y=0当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数4.反函数指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12431.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的是 ()A.log2x2=2log2xB.若MN>0,则loga(MN)=logaM+logaNC.函数y=ln1+x1-x与y=ln(1+x)lnD.当x>1时,若logax>logbx,则a<b【解析】选ABD.Alog2x2=2log2|x|×B当M<0,N<0时,虽然MN>0,但loga(MN)=logaM+logaN不成立×D若0<b<1<a,则当x>1时,logax>logbx×2.(人A必修第一册P141T13(1)·变形式)设a=log0.26,b=log0.36,c=log0.46,则 ()A.a>b>c B.a>c>bC.b>c>a D.c>b>a【解析】选A.方法一:如图,作出函数y1=log0.2x,y2=log0.3x,y3=log0.4x的图象,由图可知,当x=6时,log0.26>log0.36>log0.46,即a>b>c.方法二:易知0>log60.4>log60.3>log60.2,所以1log60.即log0.46<log0.36<log0.26,即a>b>c.3.(2022·浙江高考)已知2a=5,log83=b,则4a3b= ()A.25 B.5 C.259 D.【解析】选C.由2a=5两边取以2为底的对数,得a=log25.又b=log83=log23log28=13log23,所以a3b=log25log23=log253=log453log42=2log4534.(忽视对数函数的单调性)函数y=logax(a>0,a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a的值为________.

【解析】当a>1时,依题意得loga4loga2=1,解得a=2;当0<a<1时,依题意得loga2loga4=1,解得a=12答案:2或1【巧记结论·速算】1.对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象恒过点(1,0),(a,1),(1a,1)2.如图给出4个对数函数的图象,则b>a>1>d>c>0,即在第一象限,不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大.【即时练】1.函数y=loga(x2)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点__________.

【解析】因为loga1=0,令x2=1,所以x=3,所以y=loga1+2=2,所以原函数的图象恒过定点(3,2).答案:(3,2)2.已知图中曲线C1,C2,C3,C4是函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象,则曲线C1,C2,C3,C4对应的a的值依次为 ()A.3,2,13,12 B.2,3,1C.2,3,12,13 D.3,2,1【解析】选B.方法一:可用结论2,画直线y=1,交点的位置自左向右,底数由小到大.方法二:因为C1,C2为增函数,所以它们的底数都大于1,又当x>1时,图象越靠近x轴,其底数越大,故C1,C2对应的a值分别为2,3.又因为C3,C4为减函数,所以它们的底数都大于0小于1,此时当x>1时,图象越靠近x轴,其底数越小,所以C3,C4对应的a分别为13,12.综上可得C1,C2,C3,C4对应的a值依次为2,3,13【核心考点·分类突破】考点一对数的运算[例1](1)下列运算正确的是 ()A.2log1510+log1B.log427×log258×log95=8C.lg2+lg50=10D.log(2+3)(23)(log22【解析】选D.对于A,2log1510+log150.25=log15(102×0.25)=log1552=2,A错误;对于B,log427×log258×log95=lg33lg2lg100=2,C错误;对于D,log(2+3)(23)(log22)2=1(12)2(2)计算:(1-lo【解析】原式=1=1=2(1-log6答案:1(3)已知a=log26,3b=36,则1a+2b=__________,2a【解析】a=log26,3b=36,则b=log336=2log36,则1a+2b=log62+log63=logab=log262log36=lg6lg22lg6则2ab=2lo答案:13【解题技法】对数运算的一般思路(1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再用对数的运算性质化简合并.(2)合:将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底数对数真数的积、商、幂的运算.【加练备选】1.已知a=lg2,10b=3,则log56= ()A.a+b1+a B.a+b1【解析】选B.因为a=lg2,10b=3,所以b=lg3,log56=lg6lg5=lg2+lg31-2.(2023·豫北名校联考)已知2a=7b=k,若2a+1b=1,则k的值为 (A.28 B.114 C.14 D.【解析】选A.因为2a=7b=k,所以a=log2k,b=log7k,所以1a=logk2,1b=logk7,所以2a+1b=2logk2+logk7=logk28=1,3.计算:(827)

-23+eln3+log1【解析】原式=(23)

3×(-23)+312log2(212答案:3考点二对数函数的图象及应用[例2](1)函数f(x)=2log4(1x)的大致图象是 ()【解析】选C.方法一:函数f(x)=2log4(1x)的定义域为(∞,1),排除A,B;函数f(x)=2log4(1x)在定义域上单调递减,排除D.方法二(特值法):分别取x=12及x=1验证即可(2)金榜原创·易错对对碰①当x∈(0,14]时,x<logax,则实数a的取值范围为________②当x∈(0,14]时,方程x=logax有解,则实数a的取值范围为________【解析】①若x<logax在x∈(0,14]时成立,则0<a<1,且y=x的图象在y=logax图象的下方则14<loga1所以0<a<1,a12即实数a的取值范围是(116,1)答案:(116,1②构造函数f(x)=x和g(x)=logax,当a>1时,不满足条件;当0<a<1时,由①可知,只需两图象在(0,14]上有交点即可则f(14)≥g(14),即14≥loga14,得所以a的取值范围为(0,116]答案:(0,116【解题技法】对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.【对点训练】1.(2023·东城区质检)函数y=logax与y=x+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ()【解析】选A.当a>1时,函数y=logax的图象为选项B,D中过点(1,0)的曲线,此时函数y=x+a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a>1,选项B,D中的图象都不符合要求;当0<a<1时,函数y=logax的图象为选项A,C中过点(1,0)的曲线,此时函数y=x+a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足0<a<1,只有选项A中的图象符合要求.2.已知函数f(x)=|log2x|,实数a,b满足0<a<b,且f(a)=f(b),若f(x)在[a2,b]上的最大值为2,则1a+b=__________【解析】因为f(x)=|log2x|,所以f(x)的图象如图所示,又f(a)=f(b)且0<a<b,所以0<a<1,b>1且ab=1,所以a2<a,由图知,f(x)max=f(a2)=|log2a2|=2log2a=2,所以a=12,所以b=2,所以1a+b答案:4考点三对数函数的性质及应用【考情提示】对数函数的性质及应用是高考命题的热点,多以选择题或填空题的形式呈现,重点考查比较大小、解不等式等问题,难度中档.角度1比较大小[例3](1)设a=20.1,b=ln52,c=log3910,则a,b,c的大小关系是 (A.b>c>a B.a>c>bC.b>a>c D.a>b>c【解析】选D.因为a=20.1>20=1,0=ln1<b=ln52<lne=1,c=log3910<log31=0,所以a>b(2)设a,b,c均为正数,且2a=log12a,12b=log12b,12cA.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.b<a<c【解析】选A.因为a,b,c均为正数,将a,b,c分别看成是函数图象的交点的横坐标.在同一平面直角坐标系内分别画出y=2x,y=12x,y=log2x,y=log1由图可知a<b<c.角度2解对数不等式[例4]设函数f(x)=log2x,x>0,log12(-x),xA.(1,0)∪(0,1)B.(∞,1)∪(1,+∞)C.(1,0)∪(1,+∞)D.(∞,1)∪(0,1)【解析】选C.由题意可得a>0,log2a>-log角度3对数函数性质的综合应用[例5](1)(2023·郑州模拟)设函数f(x)=ln|x+3|+ln|x3|,则f(x) ()A.是偶函数,且在(∞,3)上单调递减B.是奇函数,且在(3,3)上单调递减C.是奇函数,且在(3,+∞)上单调递增D.是偶函数,且在(3,3)上单调递增【解析】选A.函数f(x)的定义域为{x|x≠±3},f(x)=ln|x+3|+ln|x3|=ln|x29|,令g(x)=|x29|,则f(x)=lng(x),函数g(x)的单调区间由图象(图略)可知,当x∈(∞,3),x∈(0,3)时,g(x)单调递减,当x∈(3,0),x∈(3,+∞)时,g(x)单调递增,由复合函数单调性同增异减得单调区间.由f(x)=ln|(x)29|=ln|x29|=f(x)得f(x)为偶函数.(2)(2023·武汉模拟)函数f(x)=loga(32ax)在区间[1,2]上单调递增,则实数a的取值范围为()A.(0,1) B.(34,1C.(0,34) D.(【解析】选C.设u(x)=32ax(a>0且a≠1),则u(x)是减函数,要使得函数f(x)=loga(32ax)在[1,2]上单调递增,只需y=logau为减函数,且满足u(x)=32ax>0在x∈[1,2]上恒成立,所以0<a<1,u(x)min=u(2)=3(3)(2023·惠州模拟)若函数f(x)=loga(x2ax+12)(a>0,且a≠1)有最小值,则实数a的取值范围是________【解析】令u(x)=x2ax+12=(xa2)2+12a24,则u(x欲使函数f(x)=loga(x2ax+12)有最小值则有a解得1<a<2,即实数a的取值范围为(1,2).答案:(1,2)【解题技法】1.比较对数大小的类型及相应方法2.求解对数不等式的两种类型及方法类型方法logax>logab借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,那么需分a>1与0<a<1两种情况讨论logax>b需先将b化为以a为底的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解3.在