2024八年级数学上册第一章因式分解专题1因式分解的八种常见应用习题课件鲁教版五四制

鲁教版八年级上第一章因式分解专题1因式分解的八种常见应用应用1简化计算

1.

[2023·济宁期末]利用因式分解计算：(1)9002－894×906；【解】9002－894×906＝9002－(900－6)×(900＋6)＝

9002－(9002－62)＝9002－9002＋62＝36.(2)2.68×15.7－31.4＋15.7×1.32；【解】2.68×15.7－31.4＋15.7×1.32＝15.7×(2.68

－2＋1.32)＝15.7×2＝31.4.123456789(3)2022＋202×196＋982.【解】2022＋202×196＋982＝2022＋2×202×98＋982

＝(202＋98)2＝3002＝90

000.123456789应用2化简求值

123456789(2)

a4－4

a3

b

＋4

a2

b2，其中

a

＝3，

b

＝－2.【解】

a4－4

a3

b

＋4

a2

b2＝

a2(

a2－4

ab

＋4

b2)＝

a2(

a

－2

b

)2，当

a

＝3，

b

＝－2时，原式＝32×[3－2×(－2)]2＝32×(3＋4)2＝9×49＝441.123456789应用3判断整除

3.

[母题·教材P14习题T4]当

n

为整数时，(

n

＋1)2－(

n

－1)2

能被4整除吗？请说明理由.【解】能被4整除.理由：(

n

＋1)2－(

n

－1)2＝(

n

＋1＋

n

－1)(

n

＋1－

n

＋1)＝4

n

.∵

n

为整数，∴4

n

为4的整数倍，∴当

n

为整数时，(

n

＋

1)2－(

n

－1)2能被4整除.1234567894.

[新考法·阅读类比法]先阅读下列材料，然后解题：因为(

x

－2)(

x

＋3)＝

x2＋

x

－6，所以(

x2＋

x

－6)÷(

x

－2)＝

x

＋3，即

x2＋

x

－6能被

x

－2整除，所以

x

－2是

x2＋

x

－6的一个因式，且当

x

＝2时，

x2＋

x

－6＝0.123456789(1)[类比思考]因为(

x

＋2)(

x

＋3)＝

x2＋5

x

＋6，所以

x2＋

5

x

＋6能被

整除，所以

⁠

是

x2＋5

x

＋6的一个因式，且当

x

＝

⁠时，

x2＋5

x

＋6＝0；x

＋2或

x

＋3

x

＋2或

x

＋3

－2或－3

123456789(2)[拓展探究]根据以上材料，已知多项式

x2＋

mx

－14能

被

x

＋2整除，试求

m

的值.【解】因为

x2＋

mx

－14能被

x

＋2整除，所以当

x

＝－2时，

x2＋

mx

－14＝0，所以(－2)2＋

m

×(－2)－14＝0，解得

m

＝－5.123456789应用4求边长

5.

[2024·济宁任城区月考]已知

a

，

b

，

c

是△

ABC

的三边

长，

a

，

b

使等式

a2＋

b2－2

a

－6

b

＋10＝0成立，且

c

是

奇数，求△

ABC

的周长.【解】∵

a2＋

b2－2

a

－6

b

＋10＝0，∴(

a2－2

a

＋1)＋(

b2－6

b

＋9)＝0，∴(

a

－1)2＋(

b

－3)2＝0，∴

a

－1＝0，

b

－3＝0，解得

a

＝1，

b

＝3.又∵

a

，

b

，

c

是△

ABC

的三边长，∴2＜

c

＜4.又∵

c

是奇数，∴

c

＝3.∴△

ABC

的周长为1＋3＋3＝7.123456789应用5判断三角形的形状

6.

[2024·烟台莱州市期中]若△

ABC

的三边长分别为

a

，

b

，

c

，且

b2＋2

ab

＝

c2＋2

ac

，判断△

ABC

的形状.【解】∵

b2＋2

ab

＝

c2＋2

ac

，∴(

b2－

c2)＋(2

ab

－2

ac

)＝0，∴(

b

＋

c

)(

b

－

c

)＋2

a

(

b

－

c

)＝0，∴(

b

－

c

)(

b

＋

c

＋2

a

)＝0.∵△

ABC

的三边长分别为

a

，

b

，

c

，∴

a

＞0，

b

＞0，

c

＞0，∴

b

＋

c

＋2

a

＞0，∴

b

－

c

＝0，∴

b

＝

c

，∴△

ABC

为等腰三角形.123456789应用6比较大小

7.

[新考法·作差法]已知

P

＝2

x2＋4

y

＋13，

Q

＝

x2－

y2＋

6

x

－1，比较

P

，

Q

的大小.【解】

P

－

Q

＝(2

x2＋4

y

＋13)－(

x2－

y2＋6

x

－1)＝

x2－6

x

＋

y2＋4

y

＋14＝(

x

－3)2＋(

y

＋2)2＋1.∵(

x

－3)2≥0，(

y

＋2)2≥0，∴

P

－

Q

＝(

x

－3)2＋(

y

＋2)2＋1≥1.∴

P

＞

Q

.

123456789应用7判断正负

8.

若

a

，

b

，

c

为三角形的三边长，求证：(

a2＋

b2－

c2)2－

4

a2

b2的值一定为负数.【证明】(

a2＋

b2－

c2)2－4

a2

b2＝(

a2＋

b2－

c2)2－(2

ab

)2＝(

a2＋

b2－

c2＋2

ab

)(

a2＋

b2－

c2－2

ab

)＝[(

a

＋

b

)2－

c2][(

a

－

b

)2－

c2]＝(

a

＋

b

＋

c

)(

a

＋

b

－

c

)(

a

－

b

＋

c

)(

a

－

b

－

c

).123456789∵

a

，

b

，

c

为三角形的三边长，∴

a

＋

b

＋

c

＞0，

a

＋

b

－

c

＞0，

a

－

b

＋

c

＞0，

a

－

b

－

c

＜0.∴(

a

＋

b

＋

c

)(

a

＋

b

－

c

)(

a

－

b

＋

c

)(

a

－

b

－

c

)＜0，即(

a2＋

b2－

c2)2－4

a2

b2＜0.∴(

a2＋

b2－

c2)2－4

a2

b2的值一定为负数.123456789应用8探究规律

9.

[新视角·归纳猜想题]有一系列等式：1×2×3×4＋1＝52＝(12＋3×1＋1)2；2×3×4×5＋1＝112＝(22＋3×2＋1)2；3×4×5×6＋1＝192＝(32＋3×3＋1)2；4×5×6×7＋1＝292＝(42＋3×4＋1)2；…(1)根据你的观察、归纳发现的规律，写出

11×12×13×14＋1＝

⁠；(112＋3×11＋1)2

123456789(2)若

n

为正整数，试猜想

n

(

n

＋1)(

n

＋2)(

n

＋3)＋1是哪

一个数的平方，并予以证明.【解】

n

(

n

＋1)(

n

＋2)(

n

＋3)＋1是

n3＋3

n

＋1的平方.证明：

n

(

n

＋1)(

n

＋2)(

n

＋3)＋1＝

n

(

n

＋3)(