2024八年级数学上册阶段专训第2招因式分解中的创新题习题课件鲁教版五四制

鲁教版八年级上第2招因式分解中的创新题

应用情境题1.

[新考向·身边的数学]小南是一位密码编译爱好者，在他的

密码手册中有这样一条信息：

a

－

b

，

x

－1，3，

x2＋1，

a

，

x

＋1分别对应下列六个字：

“你”“爱”“中”“数”“学”“国”，现将3

a

(

x2－

1)－3

b

(

x2－1)因式分解，结果呈现的密码信息可能是

(

D

)123456789101112A.

你爱数学B.

你爱学C.

爱中国D.

中国爱你【点拨】3

a

(

x2－1)－3

b

(

x2－1)＝3(

x2－1)(

a

－

b

)＝3(

x

＋1)(

x

－1)(

a

－

b

).D∵3对应“中”，

x

＋1对应“国”，

x

－1对应

“爱”，

a

－

b

对应“你”，∴结果呈现的密码信息可能是中国爱你.【答案】1234567891011122.

八年级(1)班实行高效课堂教学，四人一组，每做对一道

题得0.5分，每做错一道题得0分，“奋斗组”的四名同学

做了四道因式分解题，甲：

x2－4

x

＋4＝(

x

－2)2，乙：

x2

－9＝(

x

－3)2，丙：2

x2－8

x

＋2

x

＝2

x

(

x

－4)，丁：

x2

＋6

x

＋5＝(

x

＋1)(

x

＋5).则“奋斗组”得(

B

)A.0.5分B.1分C.1.5分D.2分B1234567891011123.

在学习了因式分解后，勤奋的琪琪同学通过课余时间对因

式分解的其他方法进行了探究，如：分解因式

x2－3

x

－

4.设

x2－3

x

－4＝(

x

＋

a

)(

x

＋

b

)(

a

≤

b

)，利用多项式相

等得

a

＝－4，

b

＝1，故

x2－3

x

－4可分解为(

x

－4)·(

x

＋

1).此时，我们就说多项式

x2－3

x

－4既能被

x

－4整除，

也能被

x

＋1整除.根据上述方法，下列说法正确的个数为

(

D

)123456789101112①

x2＋3

x

＋2能被

x

＋1整除；②若

x2－4

x

－5能被

x

＋

a

整除，则

a

＝1或

a

＝－5；③若

x3＋

ax2＋

bx

－3能被

x2＋2

x

＋3整除，则

a

＝1，

b

＝1.A.0B.1C.2D.3123456789101112【点拨】因为

x2＋3

x

＋2＝(

x

＋1)(

x

＋2)，所以

x2＋3

x

＋2能被

x

＋1整除.故①正确.因为

x2－4

x

－5＝(

x

＋1)(

x

－5)，且

x2－4

x

－5能被

x

＋

a

整除，所以

x

＋1＝

x

＋

a

或

x

－5＝

x

＋

a

，所以

a

＝1或

a

＝－5.故②正确.因为

x3＋

ax2＋

bx

－3能被

x2＋2

x

＋3整除，123456789101112所以将整式

x3＋

ax2＋

bx

－3因式分解后，有一个因

式为

x2＋2

x

＋3，令

x3＋

ax2＋

bx

－3＝(

x

＋

c

)(

x2＋2

x

＋3)，则

x3＋

ax2＋

bx

－3＝

x3＋(

c

＋2)

x2＋(2

c

＋3)

x

＋3

c

，

D【答案】1234567891011124.

[新考向·身边的数学]现在人们生活已经离不开密码，如取

款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的

密码，方便记忆.原理是：如对多项式

x4－

y4因式分解的

结果是(

x

－

y

)·(

x

＋

y

)(

x2＋

y2)，若取

x

＝8，

y

＝8，则各

个因式的值是

x

－

y

＝0，

x

＋

y

＝16，

x2＋

y2＝128，把这

些值从小到大排列得到016128，于是就可以把“016128”

作为一个六位数的密码，对于多项式8

x3－2

xy2，当

x

＝

9，

y

＝2时，请你写出用上述方法产生的密

码：

⁠.161820

123456789101112【点拨】8

x3－2

xy2＝2

x

(4

x2－

y2)＝2

x

(2

x

－

y

)(2

x

＋

y

)，当

x

＝9，

y

＝2时，2

x

＝18，2

x

－

y

＝18－2＝16，2

x

＋

y

＝18＋2＝

20，把这些值从小到大排列得到161820.1234567891011125.

有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上

a2，同时B区就会自动减去3

a

，且均显示化简后的结果.

已知A，B两区初始显示的分别是25和－16.如图，第一次按键后，A，B两区分别显示：(1)从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果.【解】A区显示的结果为25＋2

a2，B区显

示的结果为－16－6

a

.123456789101112(2)从初始状态按4次后，计算A，B两区式子的和，这个和

可能为负数吗？说明理由.【解】从初始状态按4次后，A区显示的结果为25＋4

a2，B区显示的结果为－16－12

a

，∴25＋4

a2＋(－16－12

a

)＝25＋4

a2－16－12

a

＝4

a2－12

a

＋9＝(2

a

－3)2.这个和不可能为负数.理由如下：∵(2

a

－3)2≥0，∴这个和不可能为负数.123456789101112

新定义题6.

对于实数

a

，

b

，现用“☆”定义新运算：

a

☆

b

＝

a3－

ab

，那么将多项式

a

☆4因式分解，其结果为(

A

)A.

a

(

a

＋2)(

a

－2)B.

a

(

a

＋4)(

a

－4)C.(

a

＋4)(

a

－4)D.

a

(

a2＋4)【点拨】

a

☆4＝

a3－4

a

＝

a

(

a2－4)＝

a

(

a

＋2)(

a

－2).A1234567891011127.

规定新运算：

a

⊕

b

＝3

a

－2

b

，若

a

＝

x2＋2

xy

，

b

＝3

xy

＋6

y2，则把

a

⊕

b

因式分解的结果是(

A

)A.3(

x

＋2

y

)(

x

－2

y

)B.3(

x

－2

y

)2C.3(

x2－4

y2)D.3(

x

＋4

y

)(

x

－4

y

)【点拨】∵

a

＝

x2＋2

xy

，

b

＝3

xy

＋6

y2，∴

a

⊕

b

＝3(

x2＋2

xy

)－2(3

xy

＋6

y2)＝3

x2＋6

xy

－6

xy

－12

y2＝3

x2－12

y2＝3(

x2－4

y2)＝3(

x

＋2

y

)(

x

－2

y

).A1234567891011128.

对于实数

a

，

b

，

表示运算2

a

＋

b

.如

＝2×1＋3＝5；

＝2×2＋(－5)＝－1.123456789101112(1)列式计算：①

；②

.

123456789101112(2)将式子

分解因式.【解】原式＝4

ax2－2

ax

＋

a

－2

ax

＝

a

(4

x2－4

x

＋1)＝

a

(2

x

－1)2.123456789101112

图形拼组题9.

如图①，边长为

a

的大正方形中有一个边长为

b

的小正方

形(

a

＞

b

)，图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形.123456789101112(1)观察图①②，当用不同的方法表示图形中阴影部分的

面积时，可以获得一个因式分解公式，则这个公式

是

⁠；a2－

b2＝(

a

＋

b

)(

a

－

b

)

123456789101112(2)如果大正方形的边长

a

比小正方形的边长

b

多3，它们

的面积相差57，试利用(1)中的公式，求

a

，

b

的值.

123456789101112

规律探究题10.

[母题·教材P18复习题T14·2023·嘉兴]观察下面的等式：

32－12＝8×1，52－32＝8×2，72－52＝8×3，92－72＝

8×4，….(1)尝试：132－112＝8×

⁠；(2)归纳：(2

n

＋1)2－(2

n

－1)2＝8×

(用含

n

的代数

式表示，

n

为正整数)；6

n

123456789101112(3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是

正确的.【解】(2

n

＋1)2－(2

n

－1)2＝(2

n

＋1＋2

n

－1)(2

n

＋1－2

n

＋1)＝4

n

×2＝8

n

.12345678910111211.

观察下列式子的因式分解做法：①

x2－1＝(

x

－1)(

x

＋1)；②

x3－1＝

x3－

x

＋

x

－1＝

x

(

x2－1)＋(

x

－1)＝(

x

－

1)(

x2＋

x

＋1)；③

x4－1＝

x4－

x

＋

x

－1＝

x

(

x3－1)＋(

x

－1)＝(

x

－

1)(

x3＋

x2＋

x

＋1)；……123456789101112(1)模仿上述做法，尝试对

x5－1进行因式分解；(2)观察以上结果，猜想：

xn

－1＝